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Organização e Arquitetura de Computadores I Aritmética para Computadores Parte I Ivan Saraiva Silva.

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Apresentação em tema: "Organização e Arquitetura de Computadores I Aritmética para Computadores Parte I Ivan Saraiva Silva."— Transcrição da apresentação:

1 Organização e Arquitetura de Computadores I Aritmética para Computadores Parte I Ivan Saraiva Silva

2 Representação Binária A representação em complemento de dois é mais adequada –Única representação para o zero –Realização de subtrações de forma mais simples

3 Representação Binária

4 Carry e Overflow Carry = vai-um nas operações de soma Overflow = estouro no limite de representação p.ex + 50 não pode ser representado em 6 bits Carry Overflow pode ser igual eventualmente em determinadas operações

5 Carry e Overflow Soma de dois números positivos nenhum Carry sem Overflow 1 Carry Overflow - 30

6 Carry e Overflow – – – 5 Soma de números com sinais opostos 2 Carry sem Overflow nenhum Carry sem Overflow

7 Carry e Overflow – 5 – – 10 – 24 – 34 Soma de dois números negativos 2 Carry sem Overflow 1 Carry Overflow + 30

8 Carry e Overflow determinação do Overflow a partir dos sinais –se forem somados 2 números com mesmo sinal, e o resultado tiver o mesmo sinal, não há Overflow –se forem somados 2 números com mesmo sinal, e o resultado tiver sinal contrário, há Overflow –se forem somados 2 números com sinais opostos, nunca há Overflow determinação do Overflow a partir do Carry –se houver número par de Carry: não há Overflow –se houver número ímpar de Carry: há Overflow

9 1. Meio Somador X0011X0011 Y0101Y0101 S0110S0110 C0001C0001 S = XY + XY = X Y C = X. Y HA X S CY XYXY S C

10 2. Somador Completo FA X S C out Y X X Y Y C in S S C out S = XYC in + XYC in + XYC in + XYC in C out = XYC in + XYC in + XYC in + XYC in C in

11 YC in X YC in X não há aparentemente nenhuma minimização a fazer no entanto S = X Y C in XOR é comutativo e associativo C out : Solução 1 C out = XY + XC in + YC in = XY + C in (X+Y) S

12 C out : Solução YC in X 1 C out = XY + C in (X Y) solução é preferível porque usa XOR também existente na expressão de S Para comprovar que as 2 soluções são equivalentes C out = XY + C in (X Y) não é =1 se X=1 e Y=1, mas este caso já é coberto pelo 1º termo pode-se portanto reduzir X+Y para X Y C out = XY + C in (X+Y)igual a 1 se X=1, ou Y=1, ou X=1 e Y=1

13 Circuito obtido a partir das expressões para S e C out HA XYXY C in S C out

14 Se reconhece dois HAs HA 1 HA 2 XYXY C in S C1C1 S1S1 S2S2 C2C2 C out S 1 = X Y C 1 = X. Y S = S 2 = S 1 C in C 2 = S 1. C in C out = C 1 + C 2

15 3. Somador de N Bits FA 0 FA 1 FA 2 S0S0 S1S1 S2S2 C1C1 C2C2 C3C3 C in =0 X0X0 Y0Y0 X1X1 Y1Y1 X2X2 Y2Y2 4. Subtratores X0011X0011 Y0101Y0101 D0110D0110 B0100B0100 D = Diferença B = Borrow D = X Y B = X. Y Meio Subtrator ( X – Y )

16 Subtrator Completo X X Y Y B in D B out D = X Y B in B out = XYB in + XYB in + XYB in + XYB in YB in X 1 B out = XY + XB in + YB in = XY + B in (X + Y)

17 5. Somador com Carry Look-Ahead (vai-um antecipado) Problema com Somador Anterior p.ex Existe um carry em cada estágio Bits de carry e soma do último estágio só estão disponíveis após os tempos de propagação dos estágios anteriores Este somador usa o que se chama Ripple Carry

18 Alternativa 1 Calcular cada S i diretamente em função de X i, Y i, X i -1,Y i -1,... construir tabela-verdade implementar circuito com lógica de 2 níveis p.ex. soma com 2 estágios X 0 0 : Y : X : Y : S101101:S101101: Vantagem: Tempo de propagação só de 2 portas Desvantagem: Equações muito grandes quando N é grande Exige muitas portas, com muitas entradas

19 Alternativa 2 Um estágio causa carry se a) GERAR um carry, pois X i = 1 e Y i = 1 ou b) PROPAGAR um carry vindo do estágio anterior C i = 1 e (X i = 1 ou Y i = 1) G i = X i. Y i P i = X i Y i mas não ambos, pois então recai-se no caso a SiSi PiPi GiGi BiBi AiAi CiCi Unidade Somadora

20 Expandindo as Equações C 1 = G 0 + P 0 C 0 C 2 = G 1 + P 1 C 1 = G 1 + P 1 (G 0 + P 0 C 0 ) C 3 = G 2 + P 2 C 2 = G 2 + P 2 (G 1 + P 1 (G 0 + P 0 C 0 )) = G 2 + P 2 G 1 + P 2 P 1 G 0 + P 2 P 1 P 0 C 0 ou seja C 3 = 1 se for gerado carry no estágio 2 (G 2 ), ou for propagado carry do estágio 2, gerado no estágio 1 (P 2 G 1 ), ou for propagado carry dos estágios 2 e 1, gerado no estágio 0 (P 2 P 1 G 0 ), ou etc.

21 P 2 = A 2 B 2 P 1 = A 1 B 1 P 0 = A 0 B 0 P 2 = A 2 B 2 G 0 = A 0. B 0 P 1 = A 1 B 1 P 2 = A 2 B 2 G 1 = A 1. B 1 C0C0 G 2 = A 2. B 2 C3C3 Analisando tempo de propagação: C i em cada estágio tem tempo de propagação de 3 portas C i em cada estágio não depende de C i-1 C i é calculado em função de A i, B i, A i-1, B i-1,… S i em cada estágio tem tempo de propagação de 4 portas

22 Solução intermediária por exemplo supondo um somador de 16 bits somador 4 bits com carry antecipado A 0-3 B 0-3 S 0-3 C0C0 somador 4 bits com carry antecipado A 4-7 B 4-7 S 4-7 C3C3 somador 4 bits com carry antecipado A B S C 11 dentro de cada somador de 4 bits as equações não crescem demais gasto moderado de portas e entradas tempo de propagação = 4 x tempo de um somador com carry antecipado


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