£ { f(t) } = F (s) = 0+ f(t) e-st dt

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1 £ { f(t) } = F (s) = 0+ f(t) e-st dt
1. TRANSFORMADA DE LAPLACE DEFINIÇÃO: Seja f(t) a função real de uma variável real t, definida para t>0. Então: £ { f(t) } = F (s) = 0+ f(t) e-st dt onde: s = variável complexa =  + j ,  = números reais j =  (-1) A Transformada de Laplace é usada para converter um sinal no domínio de tempo em uma função de variáveis complexas. A variável real t sempre representa o tempo. SISTEMAS I

2 2. TABELA SISTEMAS I TABELA COM ALGUNS PARES
DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE: 1. Delta de Dirac:  (t) 2. Degrau: u-1 (t) 3. Rampa: u-2 (t) 4. Multiplicação por tn 5. Exponencial: e-at 6. Senóide: sin  (t) 7. Cossenóide: cos  (t) Referência: SPIEGEL, Murray R. Transformadas de Laplace – Coleção Schaum. São Paulo: Mc Graw Hill, 1979. SISTEMAS I

3 3. PROPRIEDADES SISTEMAS I 1. Definição 2. Linearidade 3. Superposição
TEOREMAS: 1. Definição 2. Linearidade 3. Superposição 4. Deslocamento em freqüência 5. Deslocamento no tempo 6. Escalonamento Diferenciação no tempo 10. Integração no tempo 11. Valor final 12. Valor inicial SISTEMAS I

4 4. TEOREMA DO VALOR FINAL SISTEMAS I
Teorema que permite que se conheça o valor da função f(t) no tempo t =  (tempo infinito), através da função F(s). O comportamento da f(t) em regime permanente é igual ao comportamento de s.F(s) na vizinhança de s = 0. Este teorema só é aplicável se e somente se o limite de s. F(s), quando s tender a zero, existir. Portanto: o teorema do valor final só é aplicável para sistemas estáveis. SISTEMAS I

5 5. TEOREMA DO VALOR INICIAL
Teorema que permite que se conheça o valor da função f(t) no instante t = 0+ (tempo inicial), diretamente da Transformada de Laplace de f(t). Ao contrário do Teorema do Valor Final, este teorema não apresenta limitações quanto a posição dos pólos de F(s). SISTEMAS I

6 6. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA: expressão polinomial de F(s). F(s) = N(s) / D(s) = Numerador (s) / Denominador (S), onde: Singularidades: raízes de N(s) ou D(s). Zeros: raízes de N(s)  levam a expressão F(s) a zero. Pólos: raízes de D(s)  levam F(s) ao infinito. SISTEMAS I

7 7. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
TRANSFORMADA DE LAPLACE: transforma um problema da variável no domínio tempo para o domínio da variável complexa s. SOLUÇÃO: é obtida uma solução do problema transformado, em termos de s. TRANSFORMADA INVERSA: inversão da solução transformada (no domínio da variável complexa s), a fim de se obter a solução no domínio do tempo. SISTEMAS I

8 8.a. TRANSFORMADA INVERSA: REALIZAÇÃO
1. EMPREGO DE TABELAS: as tabelas de pares de transformadas podem ser usadas para inverter a Transformada de Laplace, desde que o caso dado encontre-se tabulado. Referência: SPIEGEL Murray R. Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas - Coleção Schaum. São Paulo: Mc Graw Hill, 1973. 2. CONVOLUÇÃO: desde que seja possível decompor uma transformada num produto de duas outras transformadas cujas inversões sejam conhecidas, a mesma consitirá na resolução de uma integral de convolução. Se: f1(t)  F1(s); f2(t)  F2(s) então: f1(t) * f2(t)  F1(s) . F2(s) * = símbolo da convolução. SISTEMAS I

9 8.b. TRANSFORMADA INVERSA: REALIZAÇÃO
3. DECOMPOSIÇÃO DA FUNÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS: H(s) = (a0 + a1s + a2s ansn) / (b0 + b1s + b2s bnsn) ou na forma fatorada: H(s) = N(s) / D(s) = N(s) / [(s-p1)(s-p2)...(s-pn)] onde: grau do numerador N(s) < grau do denominador D(s) H(s) = [K1/(s-p1)] + [K2/(s-p2)] [Kn/(s-pn)] onde: Ki = resíduos dos pólos pi Obs.: Se o grau de N(s) é igual ou maior do que o grau de D(s), então N(s) deverá ser dividido por D(s), onde obtém-se: H(s) = q(s) + [ N`(s) / D(s) ] onde N`(s) tem grau menor que D(s) SISTEMAS I

10 8.c. TRANSFORMADA INVERSA: REALIZAÇÃO
3.1. RECOMPOSIÇÃO DA FUNÇÃO NO DOMÍNIO TEMPO: Ki = resíduos dos pólos pi = H(s).(s-pi) |s=pi ou seja: cada termo na forma [Ki / (s-pi)] se transforma num par de função do tipo: Fi (s) = Ki / (s-pi) = Ki [1 / (s-pi)] Pela tabela de transformadas de Laplace: fi(t) = Ki epit A função f(t) obtém-se, finalmente, por recomposição: f(t) = f1(t) + f2(t) fn(t) SISTEMAS I

11 8.d. TRANSFORMADA INVERSA: REALIZAÇÃO
3.2. DECOMPOSIÇÃO DA FUNÇÃO PARA PÓLOS MÚLTIPLOS: Se a função H(s) contém um pólo múltiplo de ordem n em p1, o termo correspondente na expansão em frações parciais será: [K11 / (s-p1)] + [K12 / (s-p1)2] [K1n / (s-p1)n] A constante K1i nesta equação é dada por: K1i = [1 / (n-i)!] [dn-i / dsn-i] H(s).(s-p1)n |s = p1 SISTEMAS I