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1 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 3. Transformada Z 3.1. Definição Seja um sistema discreto LTI: x[n]y[n]h[n] Com: A saída y[n] pode ser.

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1 1 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 3. Transformada Z 3.1. Definição Seja um sistema discreto LTI: x[n]y[n]h[n] Com: A saída y[n] pode ser calculada como:

2 2 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR

3 3 Definindo: Temos que: Cte complexa Logo: z n é autofunção do sistema Discreto LTI e H(z) seu autovalor correspondente.

4 4 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Logo, definimos Transformada Z do sinal discreto x[n] como: Transformada Z Unilateral: Equivalente à TZ bilateral quando x[n]=0 n<0 ; Usada p/ analisar EDCC com condições iniciais não nulas.

5 5 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Escrevendo o número complexo z na sua forma polar: Temos: Logo: Se r=1: Transformada de Fourier

6 6 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Logo: Transformada Z pode ser obtida a partir da Transformada de Fourier fazendo: O inverso nem sempre é verdade!!! Pois: Pode fazer com que alguns sinais se tornem convergentes

7 7 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Analogia Contínuo Discreto Contínuo: Transformada de Laplace: Fazendo: Obtemos a Transformada de Fourier: j s Eixo j Se eixo j ROC 0

8 8 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR z 1 Re{z} Im{z} Discreto: Transformada Z: Fazendo: Obtemos a Transformada de Fourier: Circulo Unitário Se circulo unitário ROC r0r0

9 9 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ex.: PG: =a.z -1 a 0 =1 n= Converge se:

10 10 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Neste caso: z 1 Re{z} Im{z} a Se |a|<1 T.Fourier |a|>1 T.Fourier

11 11 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ex.2: PG: =a -1.z a 0 = a -1.z n= Converge se:

12 12 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Neste caso: z 1 Re{z} Im{z} a Se |a|>1 T.Fourier |a|<1 T.Fourier

13 13 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Conclusão: Sinais diferentes podem ter a mesma expressão algébrica de X(z). Logo uma Transformada Z só é completamente definida se especificarmos: - Expressão algébrica de X(z) - Região de Convergência(ROC)

14 14 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Qualquer sinal que pode ser representado como um somatório de exponenciais complexas, poderá ser representado por uma Transformada Z composta de uma razão de dois polinômios. Raízes de N(z) Zeros da X(z) Raízes de D(z) Pólos da X(z) Nos exemplos: Zero: z=0 Pólo: z=a Valores que fazem X(z) igual a ZERO Valores que fazem X(z) igual a INFINITO

15 15 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Diagrama de pólos e zeros: Representação gráfica no plano z dos pólos e zeros. z 1 Re{z} Im{z} a

16 16 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ex.3:

17 17 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR

18 18 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR z 1 Re{z} Im{z} 1/2 z 1 Re{z} Im{z} -1/3 z 1 Re{z} Im{z} 1/2 -1/3 1/12

19 19 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ex.4: Usando os resultados das análises anteriores e a Propriedade de Linearidade da Transformada Z. Logo:

20 20 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR z 1 Re{z} Im{z} 1/2 -1/3 1/12

21 21 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ex.5: PG: a 0 =1 =a.z -1 n=N X(z) converge se Isto é:

22 22 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Pólos da X(z): Zeros da X(z): Quando k=0: zero em z=a logo cancela com o pólo em z=a

23 23 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Logo tem-se: N-1 pólos em z=0 N-1 zeros distribuídos uniformemente sobre um círculo de raio a z 1 Re{z} Im{z} (7) a p/ N=8 2 k/8 ROC: Todo plano z com exceção de z=0

24 24 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 3.2. Propriedades da ROC Considerando X(z) uma função racional em z e x[n] finito p/n finito 1) A ROC de X(z) é um anel ou disco centrado na origem (z=0) 2) A Transformada de Fourier de x[n] converge absolutamente se e somente se a ROC de X(z) inclui a circunferência unitária. 3) A ROC não contém pólos de X(z) 4) Se x[n] tem duração finita, x[n] 0 p/ -

25 25 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 7) Se x[n] é definida à esquerda e à direita, a ROC será um anel compreendido entre 2 pólos. 8) A ROC deve ser uma região conexa. 5) Se x[n] é definida à direita, x[n]=0 p/ nN 2 >, a ROC será |z|

26 26 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 3.3. Transformada Z Inversa Demonstração da fórmula de inversão.

27 27 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Mudança de variáveis: Variando de 0 a 2 z varia sobre uma circunferência de raio r. |z|=r ROC de X(z) Resolve-se utilizando o Teorema dos Resíduos

28 28 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Pares de Transformadas Z

29 29 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR

30 30 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR

31 31 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Inversão por Inspeção Consiste no uso eficiente das tabelas e propriedades da Transformada Z

32 32 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Expansão em Frações Parciais Revisão: Dado G(v) função racional em v com grau N(v) < grau D(v) Pode ser escrita na forma Onde: r = número de pólos i = multiplicidade do pólo i A ik = coeficiente relativo a k-ésima parcela do pólo i

33 33 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Onde: Ex.: Pólos: duplos em s=-2 e complexo s=-1 j r=4 1 =2 2 =1 3 =1

34 34 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR

35 35 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Pólo complexo: No caso:

36 36 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR P/ funções com coeficientes reais: sempre B=A * Logo: Assim: Matlab: função residue [r,p,k]=residue(n,d)

37 37 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR No caso específico da Transformada Z Como as funções básicas são na forma: A expansão em frações parciais não pode ser aplicada diretamente na X(z). Soluções: 1) Aplicar o método na função: 2) Aplicar o método na função: Matlab: função residuez [r,p,k]=residuez(n,d)

38 38 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ex.: Método 1:

39 39 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Logo: Por tabela temos:

40 40 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Método 2:

41 41 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Por tabela temos:

42 42 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Expansão em Série de Potência Definição da Transformada Z Série de Laurent

43 43 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ex.: Sabemos por tabela: Isto é: Podemos calcular a série de potência de uma razão de polinômios por divisões sucessivas:

44 44 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR

45 45 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ex.2: Pólos somente em z=0, frações parciais não é apropriado. Multiplicando todos os termos: De tabela temos: Ex.3:

46 46 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 3.4.Propriedades da Transformada Z

47 47 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Exercícios: 1) 2) 3) Verificar as respostas usando Divisões Sucessivas


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