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Árvores David Menotti Algoritmos e Estruturas de Dados I DECOM – UFOP.

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Apresentação em tema: "Árvores David Menotti Algoritmos e Estruturas de Dados I DECOM – UFOP."— Transcrição da apresentação:

1 Árvores David Menotti Algoritmos e Estruturas de Dados I DECOM – UFOP

2 © David Menotti Algoritmos e Estrutura de Dados I Conceitos básicos Organiza um conjunto de acordo com uma estrutura hierárquica. Contém elementos que são chamados de nós O pai de todos é a raiz – 1º. da hierarquia O contéudo de um nó pode ser de qualquer tipo que se deseje representar

3 © David Menotti Algoritmos e Estrutura de Dados I Definição (Aho, Hopcroft e Ullman ) Um único nó é uma árvore. Este nó é raiz da árvore. Suponha que n é um nó e T 1, T 2,..., T k sejam árvores com raizes n 1, n 2,..., n k, respectivamente. Podemos construir uma nova árvore tornando n a raiz e T 1, T 2,...., T k sejam subárvores da raiz. Nós n 1, n 2,..., n k são chamados filhos do nó n.

4 © David Menotti Algoritmos e Estrutura de Dados I Caminho Um caminho de n i a n k, onde n i é antecedente a n k, é a sequência de nós para se chegar de n i a n k. Se n i é antecedente a n k, n k é descendente de n i O comprimento do caminho é o número de nós do caminho – 1.

5 © David Menotti Algoritmos e Estrutura de Dados I Outros conceitos Nó que não tem antecedente: raiz; Nós que não tem descendentes são chamados de nós folhas. (Os outros são os nós internos) A altura de um nó na árvore é o caminho de maior comprimento que se pode fazer deste nó a uma folha. A altura da árvore é a altura de sua raiz. A profundidade de um nó é o comprimento da raiz até o nó (só existe um caminho)

6 © David Menotti Algoritmos e Estrutura de Dados I Caminhamento A ordem dos filhos dos nós em uma árvore pode ser ou não significativa. Exemplos, no heap, a ordem dos filhos não tem significado Outros casos, pode se ter um significado (como veremos em pesquisa em árvores binárias) Considera-se que se a e b são nós irmãos, e a está à esquerda de b, então todos seus descendentes estão à esquerda de b e todos os descendentes de b.

7 © David Menotti Algoritmos e Estrutura de Dados I Caminhamento Diversas formas de percorrer ou caminhar em uma árvore listando seus nós, as principais: Pré-ordem (Pré-fixa) Central (Infixa) Pós-ordem (Pós-fixa) Para todas elas: Se T é uma árvore nula, então a lista é nula. Se T é uma árvore de um único nó então a lista contém apenas este nó. O tratamento é diferenciado para os filhos O que muda é a ordem de apresentação da raiz.

8 © David Menotti Algoritmos e Estrutura de Dados I Pré-Ordem Pré-ordem: lista o nó raiz, seguido de suas subárvores (da esquerda para a direita), cada uma em pré-ordem. Procedimento PREORDEM (n: TipoNo); Início Lista(n); Para cada filho f de n, da esquerda para direita faça PREORDEM(f); Fim

9 © David Menotti Algoritmos e Estrutura de Dados I Central Central: lista os nós da 1ª. subárvore à esquerda usando o caminhamento central, lista o nó raiz n, lista as demais subárvores (a partir da 2ª.) em caminhamento central (da esquerda para a direita) Procedimento CENTRAL (n: TipoNo); Início Se Folha(n) então /* Folha retorna se n é uma folha da árvore ou não */ Lista(n); Senão CENTRAL (FilhoMaisEsquerda(n)); Lista (n); Para cada filho f de n, exceto o mais à esquerda, da esquerda para a direita faça CENTRAL (f); Fim;

10 © David Menotti Algoritmos e Estrutura de Dados I Pós-Ordem Pós-ordem: Lista os nós das subárvores (da esquerda para a direita) cada uma em pós-ordem, lista o nó raiz. Procedimento POSORDEM Início Para cada filho f de n, da esquerda para direita faça POSORDEM(f); Lista(n); Fim;

11 © David Menotti Algoritmos e Estrutura de Dados I Exercício Crie um TAD TArvoreBin em C cuja informação seja um inteiro e possua ponteiros para duas sub-árvores: esquerda e direita; Escreva funções que recebam um ponteiro para a raiz da árvore e façam: o caminhamento pré-ordem o caminhamento pós-ordem o caminhamento central

12 © David Menotti Algoritmos e Estrutura de Dados I TAD TArvoreBin typedef int TItem; typedef struct TArvoreBin* Apontador; typedef struct TArvoreBin { TItem Item; Apontador pEsq; Apontador pDir; } TArvore;

13 © David Menotti Algoritmos e Estrutura de Dados I Caminhamento: PreOrder void PreOrderRec(TArvoreBin* pRaiz) { if (pRaiz == NULL) return; printf(%d\t,pRaiz->Item); PreOrderRec(pRaiz->pEsq); PreOrderRec(pRaiz->pDir); }

14 © David Menotti Algoritmos e Estrutura de Dados I Caminhamento: InOrder void InOrderRec(TArvoreBin* pRaiz) { if (pRaiz == NULL) return; InOrder(pRaiz->pEsq); printf(%d\t,pRaiz->Item); InOrder(pRaiz->pDir); }

15 © David Menotti Algoritmos e Estrutura de Dados I Caminhamento: PostOrder void PostOrderRec(TArvoreBin* pRaiz) { if (pRaiz == NULL) return; PostOrder(pRaiz->pEsq); PostOrder(pRaiz->pDir); printf(%d\t,pRaiz->Item); }

16 © David Menotti Algoritmos e Estrutura de Dados I Caminhamento: PreOrder não recursivo void PreOrderIt(TArvoreBin* pRaiz) { TArvoreBin* pAux; TPilha P; FPVazia(&P); PEmpilha(&P,&pRaiz); while(!PEhVazia(&P)) { PDesempilha(&P,&pAux); if (pAux == NULL) continue; printf(%d\t,pAux->Item); PEmpilha(&P,pAux->pDir); PEmpilha(&P,pAux->pEsq); }

17 © David Menotti Algoritmos e Estrutura de Dados I Caminhamento: InOrder não recursivo void InOrderIt(TArvoreBin* pRaiz) { TArvoreBin* pAux; TPilha P; FPVazia(&P); PEmpilha(&P,pRaiz); pAux = pRaiz->pEsq; while(!PEhVazia(&P) || pAux != NULL) { if (pAux == NULL) { PDesempilha(&P,&pAux); printf("%d\t",pAux->Item); pAux = pAux->pDir; } else { PEmpilha(&P,pAux); pAux = pAux->pEsq; }

18 © David Menotti Algoritmos e Estrutura de Dados I Caminhamento: PostOrder não recursivo void PostOrderIt(TArvoreBin* pRaiz) { TArvoreBin *pAux; TPilha P1,P2; FPVazia(&P1); FPVazia(&P2); PEmpilha(&P2,pRaiz); pAux = pRaiz; while(!PEhVazia(&P2) ) { PDesempilha(&P2,&pAux); PEmpilha(&P1,pAux); if (pAux->pEsq != NULL) PEmpilha(&P2,pAux->pEsq); if (pAux->pDir != NULL) PEmpilha(&P2,pAux->pDir); } while(!PEhVazia(&P1) ) { PDesempilha(&P1,&pAux); printf("%d\t",pAux->Item); }

19 © David Menotti Algoritmos e Estrutura de Dados I Classificação de Árvores Árvore Estritamente Binária Se cada nó não-folha em uma árvore binária não tem subárvores esquerda e direita vazias

20 © David Menotti Algoritmos e Estrutura de Dados I Classificação de Árvores Árvore Binária Completa Uma árvore binária completa de nível n é a árvore estritamente binária, onde todos os nós folhas estão no nível n.

21 © David Menotti Algoritmos e Estrutura de Dados I Classificação de Árvores Árvore Binária Quase Completa Uma árvore binária de nível n é uma árvore binária quase completa se: Cada nó folha na árvore esta no nível n ou no nível n-1 Para cada nó nd na árvore com um descentente direito no nível n, todos os descendentes esquerdos de nd que são folhas estão também no nível n


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