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1 BCC101 – Matemática Discreta Lógica de Predicados Regras de Inferência.

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1 1 BCC101 – Matemática Discreta Lógica de Predicados Regras de Inferência

2 2... mais as regras de inferência do cálculo proposicional Que regras provocam descarga? x. F(x) {universo não vazio} -- { E} F(w) F(y) {y arbitrária} { I} x. F(x) x. F(x) F(y) |– A {y não é livre em A} { E} A F(w) {x é uma variável nova} { I} x. F(x) x e y são variáveis

3 3 Variáveis Arbitrárias Em uma prova, uma variável é arbitrária se ela não ocorre livre em nenhuma hipótese não descartada Exemplos x. F(x) { E} F(p) G(p, q) { I} y. G(p, y) p é arbitrária? P(x) Q { E L } P(x) { I} P(x) Q P(x) { I} x. P(x) Q P(x) x é arbitrária? descarregada Sim Não Sim

4 4 { E} y.F(p,y) { ok } x. y.F(x,y) { ok } Uma Prova fácil - para esquentar... usando { I} e { E} Teorema ( comuta) x. y. F(x,y) |– y. x. F(x,y) prova { E} F(p,q) { p arbitrária } { I} x. F(x,q) { q arbitrária } { I} y. x. F(x,y) x.F(x) {…….} { E} F(p) faz papel de F(x) na regra { E} F(x) {x arb.} { I} x.F(x)

5 5 x. F(x) F(y) |– A {y não é livre em A} { E} A x. P(x) Q(x) { ok } { E} P(y) Q(y) Eliminação do Existencial semelhante a { E} Teorema x. P(x), x. P(x) Q(x) |– x. Q(x) Prova { E} Q(y) { E} x. Q(x) {y não é livre em x.Q(x)} x. P(x) descarga P(y) x. Q(x) x U. Q(x) faz papel de A na regra { E} { I}

6 6 Teorema Ruim x. P(x), x. P(x) Q(x) |– x. Q(x) Uma Prova Incorreta Protanto, { I} não é usada de maneira adequada. F(y) {y arbitrária} { I} x. F(x) y é livre nessa hipótese Problema é aqui { I} x. Q(x) x. P(x) Q(x) { E} P(y) Q(y) { E} Q(y) { E} x. Q(x) x. P(x) P(y) Purported proof

7 7 y. F(x, y) { ok } { E} F(x, y) Quantificador Universal move para fora mas não pode ser movido para dentro Teorema x. y.F(x, y) |– y. x. F(x, y) { ok } { I} x. F(x, y) { E} y. x.F(x, y) x. y.F(x, y) { I} y. x. F(x, y) {y arb} F(y) {y arb} { I} x. F(x) x. F(x) F(x) |– A {x não livre em A} { E} A y. F(y) { …… } { E} F(w) F(w) {x é variável nova } { I} x. F(x)

8 Exercícios Prove os seguintes sequentes: x.P(x) x. Q(x) |– x. P(x) Q(y) x.P(x) Q(x), x.P(x) |– x. Q(x) 8


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