Capítulo 5 A Distribuição Normal de Probabilidade

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1 Capítulo 5 A Distribuição Normal de Probabilidade
ESTATÍSTICA APLICADA Capítulo 5 A Distribuição Normal de Probabilidade

2 Variáveis Aleatórias Contínuas
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3 Variáveis Aleatórias Contínuas
1. Variável aleatória Um resultado numérico de um experimento Peso de uma peça (ex.: 115 kg; 156,8 kg etc.) 2. Variável aleatória contínua Número inteiro ou fracionário Obtido por medida Número infinito de valores num intervalo Muito numerosos para listar como variável discreta

4 Exemplos de Variáveis Aleatórias Contínuas
Experimento Variável Valores Aleatória Possíveis Pesar 100 peças Peso 45,1; 78; ... Medir vida da peça Horas 900; 875,9; ... Medir gasto com manut. Gasto 54,12; 42; ... Medir tempo entre Tempo entre 0; 1,3; 2,78; ... chegadas chegadas

5 Função Densidade de Probabilidade Contínua
1. Fórmula matemática 2. Mostra todos valores, x e freqüências, f(x) f(x) não é probabilidade 3. Propriedades Freqüência (Valor, Freqüência) f(x) f ( x ) dx = 1 x a b todo X (área sob curva) Valor f ( x ) 0, a x b

6 Cálculo de Probabilidade em Variáveis Aleatórias Contínuas
( c x d ) = f ( x ) dx Probabilidade é área sob curva! c f(x) X c d © T/Maker Co.

7 Distribuição Uniforme
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8 Distribuição Uniforme
1. Resultados igualmente prováveis 2. Densidade de probabilidade 3. Média e desvio padrão f(x) x c d Média Mediana

9 Exemplo de Distribuição Uniforme
Você é o gerente de produção de uma fábrica de refrigerante. Você acredita que quando uma máquina está regulada para 12 oz., na realidade coloca de 11.5 a 12.5 oz. inclusive. Suponha que a quantidade colocada tem uma distribuição uniforme. Qual é a probabilidade que menos que 11,8 oz. seja colocada? SODA

10 Solução da Distribuição Uniforme
f(x) 1.0 x 11,5 11,8 12,5 P(11,5 £ X £ 11,8) = (Base)(Altura) = (11,8 - 11,5)(1) = 0,30

11 Distribuição Normal 9

12 Importância da Distribuição Normal
1. Descreve muitos processos aleatórios ou fenômenos contínuos 2. Pode ser usada para aproximar distribuições de probabilidade discretas Exemplo: binomial 3. Base para Inferência Estatística

13 Distribuição Normal 1. ‘Forma de sino’ e simétrica
2. Média, mediana, moda são iguais 3. Variável aleatória tem intervalo infinito Média Mediana Moda

14 Função Densidade de Probabilidade
f(x) = Freqüência da variável aleatória x s = Desvio padrão populacional p = 3,14159; e = 2,71828 x = Valor da variável aleatória (-¥ < x < ¥) m = Média populacional

15 Efeito de Variar Parâmetros (m e s)

16 Cálculo de Probabilidade na Distribuição Normal
Probabilidade é área sob curva!

17 Tabelas da Distribuição Normal
Cada distribuição necessitaria sua própria tabela. Distribuições Normais diferem entre si pela média e desvio padrão. Isto é um número infinito!

18 Padronizar a Distribuição Normal
Distribuição Normal Padrão Uma tabela!

19 Exemplo de Padronização
Distribuição Normal Distribuição Normal Padrão

20 Obtendo a Probabilidade
Tabela da Distribuição Normal Padrão (Parte) .02 0,0478 0.1 .0478 Área hachurada exagerada Probabilidades

21 Exemplo: P(3,8 £ X £ 5) 0,0478 Distribuição Normal
Distribuição Normal Padrão 0,0478 Área hachurada exagerada

22 Exemplo: P(2,9 £ X £ 7,1) 0,1664 Distribuição Normal
Distribuição Normal Padrão 0,1664 .0832 .0832 Área hachurada exagerada

23 Exemplo: P(X ³ 8) 0,3821 Distribuição Normal
Distribuição Normal Padrão .5000 0,3821 .1179 Área hachurada exagerada

24 Exemplo: P(7,1 £ X £ 8) 0,0347 Distribuição Normal
Distribuição Normal Padrão .1179 0,0347 .0832 Área hachurada exagerada

25 Questão Você trabalha no Controle de Qualidade. A vida de uma lâmpada tem uma distribuição normal com m = 2000 horas e s = 200 horas. Qual é a probabilidade que uma lâmpada durará: A. entre 2000 e 2400 horas? B. menos que 1470 horas? Allow students about minutes to solve this.

26 Solução: P(2000 £ X £ 2400) 0,4772 Distribuição Normal
Distribuição Normal Padrão 0,4772

27 Solução: P(X £ 1470) 0,0040 Distribuição Normal
Distribuição Normal Padrão .5000 0,0040 .4960

28 Achando o Valor de Z para Probabilidades Dadas
Qual é Z dado P(Z) = 0,1217? 0,1217 Área hachurada exagerada

29 Achando o Valor de Z para Probabilidades Dadas
Qual é Z dado P(Z) = 0,1217? Tabela da Distribuição Normal Padrão (Parte) .01 0,1217 0.3 .1217 Área hachurada exagerada

30 Achando o Valor de Z para Probabilidades Dadas
Qual é Z dado P(Z) = 0,1217? Tabela da Distribuição Normal Padrão (Parte) .01 0,1217 0.3 .1217 Área hachurada exagerada

31 Achando o Valor de X Para Probabilidades Dadas
Distribuição Normal 0,1217 Área hachurada exagerada

32 Achando o Valor de X Para Probabilidades Dadas
Distribuição Normal Distribuição Normal Padrão 0,1217 0,1217 Área hachurada exagerada

33 Achando o Valor de X Para Probabilidades Dadas
Distribuição Normal Distribuição Normal Padrão 0,1217 0,1217 Área hachurada exagerada

34 Distribuições Amostrais
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35 Distribuição Amostral
1. Distribuição de probabilidade teórica 2. Variável aleatória é estatística amostral Média amostral, proporção amostral etc. 3. Resulta de se retirar todas as amostras possíveis de um tamanho fixo 4. Lista de todos possíveis pares [`x, P(`x) ]

36 Amostragem de Populações Normais
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37 Amostragem de Populações Normais
Tendência Central Dispersão Distribuição Populacional Distribuição Amostral n = 4 s`X = 5 n =16 s`X = 2,5

38 Padronizando a Distribuição Amostral da Média
Distribuição Normal Padrão

39 Questão A duração das ligações telefônicas que você recebe tem distribuição normal com m = 8 min e s = 2 min. Se você selecionar uma amostra de 25 chamadas, qual é a probabilidade da média amostral estar entre 7,8 e 8,2 minutos? © T/Maker Co.

40 Solução da Distribuição Amostral
Distribuição Normal Padrão 0,3830 .1915 .1915

41 Amostragem de Populações Não-Normais
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42 Amostragem de Populações Não-Normais
Tendência Central Dispersão Distribuição Populacional Distribuição Amostral n = 4 s`X = 5 n = 30 s`X = 1,8

43 Teorema do Limite Central
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44 Teorema do Limite Central
Quando a amostra é grande (n ³ 30) ... a distribuição amostral aproxima-se da normal.