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Capítulo 4 Distribuições de Probabilidade ESTATÍSTICA APLICADA.

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1 Capítulo 4 Distribuições de Probabilidade ESTATÍSTICA APLICADA

2 Variável Aleatória 1.Um resultado numérico de um experimento 2.Pode ser discreta ou contínua 3.Variável aleatória discreta Número contável de valores Número contável de valores Exemplo: Número de peças defeituosas em um lote Exemplo: Número de peças defeituosas em um lote 4.Variável aleatória contínua Número infinito de valores dentro de um intervalo Número infinito de valores dentro de um intervalo Exemplo: Diâmetro externo de uma peça Exemplo: Diâmetro externo de uma peça

3 Variáveis Aleatórias Discretas

4 Variável Aleatória Discreta 1. Tipo de variável aleatória 2.Número inteiro (0, 1, 2, 3 etc.) 3.Obtido por contagem 4.Usualmente número finito de valores A variável aleatória de Poisson é exceção ( ) A variável aleatória de Poisson é exceção ( )

5 Exemplos de Variáveis Aleatórias Discretas Variável Aleatória Valores Possíveis Fazer 100 contatos N o vendas 0, 1, 2,..., 100 Inspecionar 70 peças N o defeit. 0, 1, 2,..., 70 Responder 33 perg. N o corretas 0, 1, 2,..., 33 Contar carros no pedágio N o carros 0, 1, 2,..., Experimento

6 Distribuição Discreta de Probabilidade 1.Lista de todos os pares possíveis [x, p(x)] x = Valor da variável aleatória (resultado) x = Valor da variável aleatória (resultado) p(x) = Probabilidade associada ao valor x p(x) = Probabilidade associada ao valor x 2.Mutuamente exclusivos (sem interseção) 3.Coletivamente exaustivos (nada esquecido) 4. 0 p(x) 1 5. p(x) = 1

7 Exemplo de Distribuição Discreta de Probabilidade Distribuição de Probabilidades Valores, x Probabilidades, p(x) 01/4 = 0,25 01/4 = 0,25 12/4 = 0,50 12/4 = 0,50 21/4 = 0,25 21/4 = 0,25 Exemplo: Jogar 2 moedas. Contar n o caras. © T/Maker Co.

8 Visualizando Distribuições Discretas de Probabilidade ListagemTabela GráficoEquação N o caras f(x) Cont. p(x) 010,25 120,50 210,25 px n xnx pp xnx () ! !()! () 1 0,00 0,25 0, x p(x)

9 Medidas 1.Valor esperado Média da distribuição de probabilidades Média da distribuição de probabilidades Média ponderada de todos os valores possíveis Média ponderada de todos os valores possíveis = E(X) = x p(x) = E(X) = x p(x) 2.Variância Média ponderada dos desvios quadráticos em relação à média Média ponderada dos desvios quadráticos em relação à média 2 = E[ (X (x p(x) 2 = E[ (X (x p(x)

10 Tabela para Cálculo de Medidas xp(x)xp(x)x - (x- ) 2 ( x - ) 2 p( p( x ) Total ( x - )2 x ) xp(x)

11 Questão Você joga 2 moedas. Você está interessado no número de caras. Qual é o valor esperado e o desvio padrão desta variável aleatória, número de caras? © T/Maker Co.

12 Solução do Valor Esperado e da Variância 00,250-1,001,000,25 10,500, ,250,501,001,000,25 = 1,0 = 1,0 2 = 0,50 = 0,50 xp(x)xp(x)x - (x- ) 2 ( x - ) 2 p( p( x )

13 Função Distribuição de Probabilidade Discreta

14 1.Tipo de modelo Representação de algum fenômeno Representação de algum fenômeno 2.Fórmula matemática 3.Representa variável aleatória discreta 4.Usada para obter probabilidades exatas PXx x () ! x e -

15 Distribuição Binomial

16 Variável Aleatória Binomial N o caras em 15 jogadas de uma moeda N o caras em 15 jogadas de uma moeda N o itens defeituosos em lote de 20 itens N o itens defeituosos em lote de 20 itens N o corretas em prova com 33 questões N o corretas em prova com 33 questões N o clientes que compram entre 10 clientes contatados N o clientes que compram entre 10 clientes contatados 1.Número de sucessos em n observações (tentativas) 2.Exemplos

17 Características da Distribuição Binomial 1.Seqüência de n tentativas iguais 2.Cada tentativa tem apenas 2 resultados Sucesso (resultado desejado) ou fracasso Sucesso (resultado desejado) ou fracasso 3.Probabilidade de sucesso é constante em cada tentativa 4.Tentativas são independentes

18 Função da Distribuição Binomial p(x) = Probabilidade de x sucessos n= Número de tentativas p=Probabilidade de sucesso x=Número de sucessos (x = 0, 1, 2,..., n)

19 Características da Distribuição Binomial Média Desvio Padrão

20 Características da Distribuição Binomial n = 5 p = 0.1 n = 5 p = 0.5 Média Desvio Padrão

21 Exemplo da Distribuição Binomial Experimento: Jogar 1 moeda 5 vezes. Anote n o caras. Qual é a probabilidade de 3 caras?

22 Questão Você é um vendedor contatanto clientes. Você efetuou 20 vendas nos últimos 100 contatos (p = 0,20). Se você contatar 12 clientes hoje, qual é a probabilidade de: A. Nenhuma venda? B. Exatamente 2 vendas? C. No máximo 2 vendas? D. No mínimo 2 vendas?

23 Solução da Distribuição Binomial Usando a fórmula da Binomial: A. p(0) = 0,0687 B. p(2) = 0,2835 C. p(no max 2)= p(0) + p(1) + p(2) = 0, , ,2835 = 0,5584 D. p(no min 2)= p(2) + p(3)...+ p(12) = 1 - [p(0) + p(1)] = 1 - 0, ,2062 = 0,7251


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