Prof. Eduardo Henrique Couto

Apresentação em tema: "Prof. Eduardo Henrique Couto"— Transcrição da apresentação:

1 Prof. Eduardo Henrique Couto
Universidade do Estado de Santa Catarina – UDESC Centro de Ciências Tecnológicas – CCT Departamento de Engenharia Mecânica – DEM Sistemas de Controle (CON) Modelagem de Sistemas de Rotação e Eletromecânicos Aula 03 e /2 Prof. Eduardo Henrique Couto

2 Plano de Aula Sistemas mecânicos de rotação Engrenagens ideais
Sistemas eletromecânicos Sistemas de nível de líquido Sistemas térmicos Exemplos

3 Sistemas Mecânicos de Rotação
Lei fundamental da mecânica de rotação torques =momento de inércia∙aceleração angular

4 Sistemas de Rotação Básicos
Sistema torque - momento de inércia 𝝉 𝒕 =𝐽𝜶 𝒕 =𝐽 𝑑𝝎 𝒕 𝑑𝑡 =𝐽 𝑑 2 𝜽 𝒕 𝑑 𝑡 2 𝜶(𝒕): vetor aceleração angular resultante em função do tempo 𝝎(𝒕): vetor velocidade angular resultante em função do tempo 𝜽(𝒕): vetor deslocamento angular resultante em função do tempo 𝝉(𝒕): vetor torque resultante em função do tempo 𝐽: momento de inércia total do eixo

5 Sistemas de Rotação Básicos
Sistema torque - mola 𝝉 𝒕 =𝐾𝜽 𝒕 =𝐾 𝝎 𝒕 𝑑𝑡=𝐾 𝜶 𝒕 𝑑𝑡 𝜶(𝒕): vetor aceleração angular resultante em função do tempo 𝝎(𝒕): vetor velocidade angular resultante em função do tempo 𝜽(𝒕): vetor deslocamento angular resultante em função do tempo 𝝉(𝒕): vetor torque resultante em função do tempo 𝐾: constante elástica de torção da mola

6 Sistemas de Rotação Básicos
Sistema torque - amortecedor 𝝉 𝒕 =𝐵𝝎 𝒕 =𝐵 𝑑𝜽 𝒕 𝑑𝑡 =𝐵 𝜶 𝒕 𝑑𝑡 𝜶(𝒕): vetor aceleração angular resultante em função do tempo 𝝎(𝒕): vetor velocidade angular resultante em função do tempo 𝜽(𝒕): vetor deslocamento angular resultante em função do tempo 𝝉(𝒕): vetor torque resultante em função do tempo 𝐵: constante de atrito viscoso do amortecedor

7 Rotação - Engrenagens Ideais
Supostas rígidas Não possuem atrito Não possuem momento de inércia

8 Rotação - Engrenagens Ideais
Conjugado: 𝝉 𝟐 (𝒕) 𝝉 𝟏 (𝒕) = 𝑟 2 𝑟 1 = 𝑁 2 𝑁 1 Potência: 𝝉 𝟏 (𝒕) 𝝎 𝟏 𝒕 = 𝝉 𝟐 (𝒕) 𝝎 𝟐 𝒕 𝝎(𝒕): vetor velocidade angular em função do tempo 𝒗(𝒕): vetor velocidade no ponto de contato em função do tempo 𝝉(𝒕): vetor torque em função do tempo 𝒇(𝒕): vetor força no ponto de contato em função do tempo 𝑁: número de dentes da engrenagem 𝑟: raio da engrenagem

9 Sistemas Mecânicos de Rotação
Exemplo 1 𝐽 𝑟𝑒𝑓 = 𝐽 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑁 𝑟𝑒𝑓 𝑁 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 2 Na figura, temos a representação de um sistema de rotação dotado de um jogo de engrenagens supostas ideais. Os vetores de movimento e as constantes envolvidas, bem como o torque (conjugado motor) 𝐶 𝑚 , que age sobre o primeiro rotor, estão devidamente indicados. Note que o segundo eixo, ao contrário do primeiro que é rígido, apresenta uma constante elástica de torção 𝐾. Desenvolva as equações que modelam esse sistema.

10 Sistemas Eletromecânicos
Associação de dispositivos elétricos ou eletromagnéticos com dispositivos mecânicos. Variáveis de entrada e saída: Exemplo clássico: alto-falante Grandeza Elétrica Grandeza Mecânica

11 Sistemas Eletromecânicos
Servomotor de corrente contínua controlado pelo circuito de armadura 𝒊 𝒂 (𝒕): vetor corrente de armadura 𝒆(𝒕): vetor força eletromotriz 𝝎(𝒕): vetor velocidade angular resultante 𝑪 𝒎 (𝒕): vetor conjugado motor (torque) 𝐽: momento de inércia do motor 𝐾 𝑚 : constante de ganho do motor 𝐵: constante de atrito viscoso do motor

12 Sistemas Eletromecânicos
Equação do circuito de armadura 𝒗 𝒂 (𝒕)= 𝐿 𝑎 𝑑 𝒊 𝒂 (𝒕) 𝑑𝑡 + 𝑅 𝑎 𝒊 𝒂 (𝒕)+𝒆(𝒕) Equação da força eletromotriz induzida 𝒆 𝒕 = 𝐾 𝑚 𝝎(𝒕) Equação do conjugado eletromagnético 𝑪 𝒎 (𝒕)= 𝐾 𝑚 𝒊 𝒂 (𝒕) Equação do conjugado eletromecânico 𝑪 𝒎 (𝒕)=𝐽 𝑑𝝎(𝒕) 𝑑𝑡 +𝐵𝝎(𝒕)

13 Sistemas Eletromecânicos
Funcionamento em regime permanente 𝑑𝝎(𝒕) 𝑑𝑡 = 𝑑 𝒊 𝒂 (𝒕) 𝑑𝑡 =0 𝒗 𝒂 = 𝑅 𝑎 𝒊 𝒂 +𝒆 𝒆= 𝐾 𝑚 𝝎 𝑪 𝒎 = 𝐾 𝑚 𝒊 𝒂 𝑪 𝒎 =𝐵𝝎

14 Sistemas Eletromecânicos
Característica de conjugado em regime permanente 𝑪 𝒎 (𝝎)= 𝐾 𝑚 𝑅 𝑎 ( 𝒗 𝒂 − 𝐾 𝑚 𝝎)

15 Sistemas Eletromecânicos
Característica de velocidade em regime permanente 𝝎( 𝒗 𝒂 )= 𝐾 𝑚 𝐾 𝑚 2 +𝐵𝑅 𝑎 𝒗 𝒂

16 Sistemas Eletromecânicos
Característica de potência em regime permanente 𝑃 𝝎 = 𝐾 𝑚 𝒗 𝒂 𝑅 𝑎 − 𝐾 𝑚 2 𝑅 𝑎 𝝎 𝝎 𝑃 𝑟𝑒𝑠𝑡 =𝐵 𝝎 2 𝝎 𝑚á𝑥 = 𝒗 𝒂 𝐾 𝑚 𝑃 𝑚á𝑥 = 𝒗 𝒂 𝑅 𝑎

17 Sistemas Eletromecânicos
Exemplo 2 Um servomotor de imã permanente tem resistência de armadura de 𝑅 𝑎 =2,33 Ω, conjugado máximo (para 𝜔=0), 𝐶 𝑚á𝑥 =0,25 𝑁𝑚 e tensão nominal de 𝑣 𝑎 =14 𝑉. Determine para essa tensão: a) a velocidade máxima ( 𝜔 𝑚á𝑥 ); b) a característica de conjugado; c) a potência máxima; d) o ponto de operação (𝜔, 𝑃) para um conjugado de carga constante 𝐶 0 =0,001 𝑁𝑚.

18 Sistemas de Nível de Líquidos
Equação de variação de volume vazões =𝜟volume

19 Elementos Básicos de Nível
Resistência (de válvulas) 𝑅= 𝑑𝒉(𝒕) 𝑑𝒒(𝒕) Fluxo Laminar 𝒒 𝒕 ∝𝒉 𝒕 →𝒒 𝒕 =𝐾𝒉(𝒕)→𝑅= 𝒉(𝒕) 𝒒(𝒕) Fluxo Turbulento 𝒒 𝒕 ∝ 𝒉 𝒕 →𝒒 𝒕 =𝐾 𝒉 𝒕 →𝑅(𝑡)= 2𝒉(𝒕) 𝒒(𝒕) 𝒉(𝒕): nível de fluido em função do tempo 𝒒(𝒕): vazão de fluido em função do tempo 𝑅: resistência à passagem de fluido

20 Elementos Básicos de Nível
Capacitância (de reservatórios) 𝐶= 𝑑𝒗(𝒕) 𝑑𝒉(𝒕) Reservatórios com seção transversal constante 𝐶= 𝑑𝒗(𝒕) 𝑑𝒉(𝒕) = 𝐴𝑑𝒉(𝒕) 𝑑𝒉(𝒕) =𝐴 𝒗(𝒕): volume de fluido em função do tempo 𝒉(𝒕): nível de fluido em função do tempo 𝐴: área da seção transversal do reservatório 𝐶: capacitância do reservatório

21 Sistemas de Nível de Líquidos
Exemplo 1 Considere o sistema de nível composto por dois tanques, como ilustrado. Adotando os referenciais nulos no ponto de equilíbrio da planta, desenvolva as equações que relacionam a vazão de entrada do primeiro tanque 𝑞 𝑖𝑛 (𝑡) com o nível ℎ 2 (𝑡) do segundo tanque.

22 Sistemas Térmicos fluxo de calor ∝𝜟temperatura
Transferência de calor por condução ou convecção fluxo de calor ∝𝜟temperatura fluxo de calor =𝐾𝜟temperatura =𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎∙𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜∙taxa variação temperatura [kcal/s]

23 Sistemas Térmicos Transferência de calor por condução ou convecção
Coeficiente 𝐾 para condução [kcal/soC] 𝐾=𝑘 𝐴 𝑋 Coeficiente 𝐾 para convecção [kcal/soC] 𝐾=𝐻𝐴 𝑘: condutividade térmica [kcal/msoC] 𝐴: área normal ao fluxo de calor [m2] 𝑋: espessura do condutor [m] 𝐻: coeficiente de convecção [kcal/m2soC]

24 Elementos Térmicos Básicos
Resistência térmica 𝑅= 𝑑𝜟𝜽(𝒕) 𝑑𝒒(𝒕) = 1 𝐾 = 𝜟𝜽(𝒕) 𝒒(𝒕) 𝜟𝜽(𝒕): diferença de temperatura em função do tempo [oC] 𝒒(𝒕): fluxo de calor em função do tempo [kcal/s] 𝐾: coeficiente de condução ou convecção [kcal/soC] 𝑅: resistência térmica [oC/kcal]

25 Elementos Térmicos Básicos
Capacitância térmica 𝐶=𝑀𝑐 𝑀: massa do meio térmico considerado [kg] 𝑐: calor específico do meio térmico [kcal/kgoC] 𝐶: capacitância térmica [kcal/oC]

26 Sistemas Térmicos Exercício 2
Considere um sistema formado por um termômetro de mercúrio de parede muito fina de vidro. Supondo que ele esteja a uma temperatura constante 𝜃 e seja mergulhado em um banho com temperatura 𝜃 𝑏 obtenha o modelo matemático desse sistema. Estabeleça nesse sentido condições iniciais nulas, ou seja, considere a temperatura inicial do termômetro zero (ou de outro modo, considere 𝜃 a variação de temperatura com relação ao equilíbrio).