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ANÁLISE NÃO LINEAR DE E. F. EM SÓLIDOS E MECÂNICA ESTRUTURAL

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Apresentação em tema: "ANÁLISE NÃO LINEAR DE E. F. EM SÓLIDOS E MECÂNICA ESTRUTURAL"— Transcrição da apresentação:

1 ANÁLISE NÃO LINEAR DE E. F. EM SÓLIDOS E MECÂNICA ESTRUTURAL
MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA – MEC 114 Carlos Eduardo Henke Viganico Porto Alegre – RS de Novembro de 2006 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural

2 6.1 – Introdução a Análise Não Linear
Objetivos: Utilizar a análise linear para introduzir os conceitos e parâmetros da análise não linear. Descrever as várias não linearidades e a forma básica das equações de elementos finitos, que são usadas para analisar a resposta não linear de um sistema estrutural. Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural

3 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural
Introdução Na análise linear consideramos que os deslocamentos são pequenos e o material é linearmente elástico. Condições limites não alteram-se com a aplicação das cargas. Todas as integrações são executadas sobre o volume original de E.F., porque os deslocamentos são considerados pequenos. Eq. de equilíbrio na análise linear: Material elástico linear implica no uso da matriz “C”, fazendo que condições limites permaneçam sem mudanças. A Tabela 6.1 dá a classificação usada usando os efeitos de não linearidade material e efeitos não lineares cinemáticos. Deslocamento “U” função linear do vetor cargas “R”, quando este não é o caso temos uma análise não linear. Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural

4 Tabela 6.1 - Classificação de análises não linear
Tipo de análise Descrição Formulação utilizada Medidas de tensão e deformação Materialmente não linear apenas. Deslocamentos e deformações infinitesimais. Relação tensão-deformação é não linear. Materialmente não linear apenas. (MNO) Tensão e deformação de engenharia Grandes deslocamentos, rotações mas pequenas deformações. Deslocamentos e rotação das fibras são grandes. Extensões e mudanças de ângulos entre fibras são pequenos. Relação tensão-deformação pode ser linear ou não linear. Lagrangeana Total (TL) Lagrangeana Atualizada (UL) Tensão 2° Piola-Kirchhoff, Deformação de Green-Lagrange. Tensão Cauchy, Deformação de Almansi Grandes deslocamentos, rotações e grandes deformações. Extensão das fibras e mudanças entre ângulos das fibras são grandes. Deslocamentos e rotações das fibras podem ser grandes. Relação tensão-deformação pode ser linear ou não linear. Tensão Cauchy, Deformação Logarítimica Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural

5 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural
Exemplo 6.1 Relações de equilíbrio: Relações constitutivas sob condições de carregamento: Região Elástica Pequenas tensões e deformações e carga aplicada lentamente. Calcular deslocamento do ponto de aplicação da carga. Região Plástica (i) Seções ‘A’ e ‘B’ Elásticas: Relações deformação seções ‘A’ e ‘B’: Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural

6 (ii) Seção ‘A’ elástica e ‘B’ plástica:
Desde que a carga não alcance este valor, a seção ‘A’ permanece elástica. ‘B’ torna-se plástica no tempo: t* (iii) Descarregando ambas seções atuam elasticamente: O problema básico na análise não linear é encontrar o estado de equilíbrio de um corpo correspondente as cargas aplicadas. Seção ‘A’ torna-se plástica quando: ou Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural

7 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural
Quando a análise inclui não linearidade geométrica, condições materiais ou fenômeno tempo dependente, as relações de equilíbrio em precisam ser resolvidas para a escala completa de tempo. Onde ‘U’ é um vetor de incremento ponto nodal de deslocamentos. Resolvendo para ‘U’, aproximação para o deslocamento no tempo ‘t+Dt’. A resposta é calculada usando uma solução incremental passo a passo. A solução para o tempo ‘t’ é conhecido e a solução para o tempo discreto ‘t+Dt’ é requerido, onde ‘Dt’ é o incremento de tempo. No MEF, os métodos de iteração são baseados na clássica técnica de Newton-Rapson. Requisitos: # Avaliação da Matriz Rigidez # Avaliação do Vetor força nodal Onde ‘F’ é o incremento no ponto de forças nodais correspondente ao incremento do desloc. E tensões no elemento de tempo ‘t’ para tempo ‘t+Dt’. Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural

8 6.2 – Formulação das eqs. Incrementais da Mecânica do contínuo
Objetivos: Mostrar procedimentos de análise simplificando as equações de Elementos Finitos, dando um argumento físico do porque a resposta é não linear. Apresentar as equações governantes da mecânica do contínuo para uma solução de Elementos Finitos baseada em deslocamentos. Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural

9 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural
6.2.1 – O Problema Básico Este princípio requer que: Na análise não linear emprega-se uma formulação incremental onde a variável tempo é usada para descrever o carregamento e movimento do corpo. onde: Considerações: 1. Variáveis estáticas e dinâmicas para passos tempo de ‘0 a t’ foram obtidos. 2. Posição de equilíbrio no tempo ‘t+Dt’, aplicada repetidamente até desenvolver a solução completa. 3. Formulação Lagrangeana 4. O equilíbrio do corpo no tempo ‘t+Dt’ é expresso usando o princípio dos deslocamentos virtuais. Componentes tensor-deformação correspondem aos deslocamentos virtuais impostos Deslocamentos virtuais podem ser considerados variação nos deslocamentos reais Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural

10 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural
Variações de deslocamentos resultam em variações na deformação do corpo e estas devem ser usadas nas componentes de deformação Green-Lagrange, correspondente a dui. 6.2.2 – O Gradiente deformação, deformação e tensor tensão Na seção anterior o trabalho virtual interno foi expresso em termos de integral sobre o volume que é conhecido e habilitado a incrementalmente decompor tensões e deformações de maneira efetiva. O cálculo da tensão de Cauchy no tempo ‘t+Dt’ deve levar em conta a rotação de corpo rígido, porque componentes do tensor tensão de Cauchy também mudam. Medidas de tensão e deformação adequadas são usadas para a configuração do corpo que muda continuamente na análise de grandes deformações. O objetivo é obter um procedimento de FEA, com poucas medidas de tensão e deformação. 1° considera-se o movimento de um corpo e define-se medidas cinemáticas deste movimento. 2° Introduzir deformações apropriadas e o correspondente tensor deformação. Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural

11 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural
Para um corpo num tempo ‘t, a medida de deformação é dada pelo gradiente de deformação dado por: O gradiente de deformação descreve o estiramento e rotações que as fibras do material sofrem de um tempo ‘0’ a um tempo ‘t’. Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural

12 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural
6.2.3 – Incremental total Mecânica do contínuo e atualização das formulações lagrangeanas. Análise apenas não linear material. A eq. Básica a ser resolvida é: Para desenvolver a eq. Governante linearizada, precisamos que as soluções de todos os tempos “0, Dt, 2Dt ...” já tenham sido calculadas e empregadas nas eqs. A qual expressa os requerimentos de equilibrio e compatibilidade de um corpo considerado na configuração num tempo ‘t+Dt’. Uma solução aproximada pode ser obtida referenciando todas variáveis para uma configuração de equilíbrio conhecida e calculada linearizando as eqs. Resultantes. e referenciar tensões e deformações nestas configurações de equilíbrio conhecidas. Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural

13 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural
Na prática utilizamos 2 formulações chamadas de : TL – Total Lagrangian (L. Total) UL – Updated Lagrangian (L. Atualizada) Usando (6.70) na formulação TL, consideramos a eq. Básica: Eq.6.72 Ambas formulações TL e UL incluem todos os efeitos cinemáticos não lineares devido a grandes deslocamentos, rotações e deformações, mas se o comportamento de grandes deformações é modelado apropriadamente, depende apenas das relações constitutivas especificadas. Na formulação UL, consideramos : Eq.6.73 Onde é o trabalho virtual externo A única vantagem de usar as formulações ao invés de outras é sua grande eficiência numérica. Carregamento independente da deformação. Ou seja independente da resposta estrutural. Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural

14 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural
Formulação Lagrangeana Total - TL Formulação Lagrangeana Atualizada - UL Passo 1 – Eq. De movimento (6.72) Passo 2 – Decompor tensões e deformações p/ eq. movimento Passo 3 – Usar As duas formulações são bastante análogas, apenas a diferença teórica na escolha de diferentes configurações de referência para variáveis cinemáticas e estáticas. A escolha de usar formulações UL ou Tl na solução E.F. depende na prática de sua efetividade numérica, a qual depende do M.E.F. e lei constitutiva usada. Porque a variação é tomada no tempo ‘t+Dt’ Passo 4 – Linerizar a expressão usando a série de Taylor. Aproximações de deslocamento para ‘t+Dt’ são obtidas adicionando incrementos no tempo ‘t’ Aproximações de deformações são avaliadas usando relações cinemáticas. Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural

15 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural
O objetivo maior é resolver a relação de equilíbrio em (6.13) Até agora consideramos que o carregamento é independente da deformação. Mas avaliando a Eq. (6.81), abaixo Para uma análise incremental certas medidas de tensão e deformação podem ser empregadas, levando a transformação de (6.13) nas formas Lagrangeanas UL e TL. Consideramos que para certos tipos de carregamentos concentrados onde a direção não muda em função das deformações. A linearização destas eqs. Tem resultados nas eqs. (6.78) e (6.79). A solução de (6.78) e (6.79) corresponde a solução da relação em (6.13). Força de carregamento da inércia para ser incluído na análise dinâmica. Eq. (6.82) Usando rel. constitutivas adequadas, resultados idênticos serão obtidos. Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural

16 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural
E portando, a matriz massa pode ser avaliada usando as configurações do corpo. Assim na prática as vezes é suficiente levar em conta apenas os efeitos de não linearidade material. Desde que não-linearidades cinemáticas sejam consideradas em (6.85) Na análise dinâmica a matriz massa de elementos isoparamétricos pode ser calculada por solução passo-a-passo. Para obter um esquema interativo que usualmente converge em poucas iterações , o efeito dos deslocamentos desconhecidos nos termos de carga precisam ser incluídos na matriz de rigidez. Considerando também que o material é linear eléstico, (6.85) é identico ao princípio dos trab. Virtuais, caindo em uma solução de FEA linear. UL e TL, incluem todos efeitos não lineares devido a grandes deslocamentos, deformações e não linearidade material. Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural

17 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural
Se a análise dinâmica é executada usando método de integração explícito, a eq. governante, usando a formulação TL , é (6.86) O trabalho virtual externo deve incluir forças de inércia correspondentes ao tempo ‘t’ e a solução correspondente ao algoritmo sem interações de equilíbrio. Por estas razão carregamentos dependente da deformação podem ser diretamente incluídos pela simples atualização da intensidade de carga e usando uma nova geometria na avaliação de ‘R’. Usando a formulação UL é (6.87) E usando apenas a análise de não linearidade material (6.89): Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural


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