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MEC114 – MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 1 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural ANÁLISE.

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1 MEC114 – MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 1 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural ANÁLISE NÃO LINEAR DE E. F. EM SÓLIDOS E MECÂNICA ESTRUTURAL MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA – MEC 114 Carlos Eduardo Henke Viganico Porto Alegre – RS 27 de Novembro de 2006

2 MEC114 – MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 2 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural Objetivos: Utilizar a análise linear para introduzir os conceitos e parâmetros da análise não linear. Descrever as várias não linearidades e a forma básica das equações de elementos finitos, que são usadas para analisar a resposta não linear de um sistema estrutural. 6.1 – Introdução a Análise Não Linear

3 MEC114 – MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 3 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural Introdução Na análise linear consideramos que os deslocamentos são pequenos e o material é linearmente elástico. Condições limites não alteram-se com a aplicação das cargas. Eq. de equilíbrio na análise linear: Deslocamento U função linear do vetor cargas R, quando este não é o caso temos uma análise não linear. Todas as integrações são executadas sobre o volume original de E.F., porque os deslocamentos são considerados pequenos. Material elástico linear implica no uso da matriz C, fazendo que condições limites permaneçam sem mudanças. A Tabela 6.1 dá a classificação usada usando os efeitos de não linearidade material e efeitos não lineares cinemáticos.

4 MEC114 – MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 4 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural Tabela Classificação de análises não linear Tipo de análiseDescriçãoFormulação utilizada Medidas de tensão e deformação Materialmente não linear apenas. Deslocamentos e deformações infinitesimais. Relação tensão-deformação é não linear. Materialmente não linear apenas. (MNO) Tensão e deformação de engenharia Grandes deslocamentos, rotações mas pequenas deformações. Deslocamentos e rotação das fibras são grandes. Extensões e mudanças de ângulos entre fibras são pequenos. Relação tensão- deformação pode ser linear ou não linear. Lagrangeana Total (TL) Lagrangeana Atualizada (UL) Tensão 2° Piola- Kirchhoff, Deformação de Green-Lagrange. Tensão Cauchy, Deformação de Almansi Grandes deslocamentos, rotações e grandes deformações. Extensão das fibras e mudanças entre ângulos das fibras são grandes. Deslocamentos e rotações das fibras podem ser grandes. Relação tensão- deformação pode ser linear ou não linear. Lagrangeana Total (TL) Lagrangeana Atualizada (UL) Tensão 2° Piola- Kirchhoff, Deformação de Green-Lagrange. Tensão Cauchy, Deformação Logarítimica

5 MEC114 – MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 5 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural Exemplo 6.1 Pequenas tensões e deformações e carga aplicada lentamente. Calcular deslocamento do ponto de aplicação da carga. Relações deformação seções A e B: Relações de equilíbrio: Relações constitutivas sob condições de carregamento: Região Elástica Região Plástica (i) Seções A e B Elásticas:

6 MEC114 – MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 6 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural (ii) Seção A elástica e B plástica: B torna-se plástica no tempo: t* Seção A torna-se plástica quando: ou Desde que a carga não alcance este valor, a seção A permanece elástica. (iii) Descarregando ambas seções atuam elasticamente: O problema básico na análise não linear é encontrar o estado de equilíbrio de um corpo correspondente as cargas aplicadas.

7 MEC114 – MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 7 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural Quando a análise inclui não linearidade geométrica, condições materiais ou fenômeno tempo dependente, as relações de equilíbrio em precisam ser resolvidas para a escala completa de tempo. A resposta é calculada usando uma solução incremental passo a passo. A solução para o tempo t é conhecido e a solução para o tempo discreto t+ t é requerido, onde t é o incremento de tempo. Onde F é o incremento no ponto de forças nodais correspondente ao incremento do desloc. E tensões no elemento de tempo t para tempo t+ t. Onde U é um vetor de incremento ponto nodal de deslocamentos. Resolvendo para U, aproximação para o deslocamento no tempo t+ t. No MEF, os métodos de iteração são baseados na clássica técnica de Newton- Rapson. Requisitos: # Avaliação da Matriz Rigidez # Avaliação do Vetor força nodal

8 MEC114 – MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 8 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural Objetivos: Mostrar procedimentos de análise simplificando as equações de Elementos Finitos, dando um argumento físico do porque a resposta é não linear. Apresentar as equações governantes da mecânica do contínuo para uma solução de Elementos Finitos baseada em deslocamentos. 6.2 – Formulação das eqs. Incrementais da Mecânica do contínuo

9 MEC114 – MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 9 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural – O Problema Básico Na análise não linear emprega-se uma formulação incremental onde a variável tempo é usada para descrever o carregamento e movimento do corpo. Este princípio requer que: Considerações: 1. Variáveis estáticas e dinâmicas para passos tempo de 0 a t foram obtidos. 2. Posição de equilíbrio no tempo t+ t, aplicada repetidamente até desenvolver a solução completa. 3. Formulação Lagrangeana 4. O equilíbrio do corpo no tempo t+ t é expresso usando o princípio dos deslocamentos virtuais. onde: Componentes tensor- deformação correspondem aos deslocamentos virtuais impostos Deslocamentos virtuais podem ser considerados variação nos deslocamentos reais

10 MEC114 – MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 10 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural Variações de deslocamentos resultam em variações na deformação do corpo e estas devem ser usadas nas componentes de deformação Green-Lagrange, correspondente a u i. O cálculo da tensão de Cauchy no tempo t+ t deve levar em conta a rotação de corpo rígido, porque componentes do tensor tensão de Cauchy também mudam. Medidas de tensão e deformação adequadas são usadas para a configuração do corpo que muda continuamente na análise de grandes deformações – O Gradiente deformação, deformação e tensor tensão O objetivo é obter um procedimento de FEA, com poucas medidas de tensão e deformação. 1° considera-se o movimento de um corpo e define-se medidas cinemáticas deste movimento. 2° Introduzir deformações apropriadas e o correspondente tensor deformação. Na seção anterior o trabalho virtual interno foi expresso em termos de integral sobre o volume que é conhecido e habilitado a incrementalmente decompor tensões e deformações de maneira efetiva.

11 MEC114 – MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 11 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural O gradiente de deformação descreve o estiramento e rotações que as fibras do material sofrem de um tempo 0 a um tempo t. Para um corpo num tempo t, a medida de deformação é dada pelo gradiente de deformação dado por:

12 MEC114 – MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 12 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural – Incremental total Mecânica do contínuo e atualização das formulações lagrangeanas. Análise apenas não linear material. Para desenvolver a eq. Governante linearizada, precisamos que as soluções de todos os tempos 0, t, 2 t... já tenham sido calculadas e empregadas nas eqs. A eq. Básica a ser resolvida é: A qual expressa os requerimentos de equilibrio e compatibilidade de um corpo considerado na configuração num tempo t+ t. Uma solução aproximada pode ser obtida referenciando todas variáveis para uma configuração de equilíbrio conhecida e calculada linearizando as eqs. Resultantes. e referenciar tensões e deformações nestas configurações de equilíbrio conhecidas.

13 MEC114 – MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 13 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural Na prática utilizamos 2 formulações chamadas de : TL – Total Lagrangian (L. Total) UL – Updated Lagrangian (L. Atualizada) Ambas formulações TL e UL incluem todos os efeitos cinemáticos não lineares devido a grandes deslocamentos, rotações e deformações, mas se o comportamento de grandes deformações é modelado apropriadamente, depende apenas das relações constitutivas especificadas. A única vantagem de usar as formulações ao invés de outras é sua grande eficiência numérica. Usando (6.70) na formulação TL, consideramos a eq. Básica: Eq.6.72 Na formulação UL, consideramos : Eq.6.73 Onde é o trabalho virtual externo Carregamento independente da deformação. Ou seja independente da resposta estrutural.

14 MEC114 – MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 14 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural Formulação Lagrangeana Total - TL Passo 1 – Eq. De movimento (6.72) Passo 2 – Decompor tensões e deformações p/ eq. movimento Passo 3 – Usar Porque a variação é tomada no tempo t+ t Passo 4 – Linerizar a expressão usando a série de Taylor. Formulação Lagrangeana Atualizada - UL As duas formulações são bastante análogas, apenas a diferença teórica na escolha de diferentes configurações de referência para variáveis cinemáticas e estáticas. A escolha de usar formulações UL ou Tl na solução E.F. depende na prática de sua efetividade numérica, a qual depende do M.E.F. e lei constitutiva usada. Aproximações de deslocamento para t+ t são obtidas adicionando incrementos no tempo t Aproximações de deformações são avaliadas usando relações cinemáticas.

15 MEC114 – MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 15 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural Para uma análise incremental certas medidas de tensão e deformação podem ser empregadas, levando a transformação de (6.13) nas formas Lagrangeanas UL e TL. Até agora consideramos que o carregamento é independente da deformação. Mas avaliando a Eq. (6.81), abaixo Consideramos que para certos tipos de carregamentos concentrados onde a direção não muda em função das deformações. Força de carregamento da inércia para ser incluído na análise dinâmica. Eq. (6.82) O objetivo maior é resolver a relação de equilíbrio em (6.13) A linearização destas eqs. Tem resultados nas eqs. (6.78) e (6.79). A solução de (6.78) e (6.79) corresponde a solução da relação em (6.13). Usando rel. constitutivas adequadas, resultados idênticos serão obtidos.

16 MEC114 – MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 16 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural Na análise dinâmica a matriz massa de elementos isoparamétricos pode ser calculada por solução passo-a-passo. Assim na prática as vezes é suficiente levar em conta apenas os efeitos de não linearidade material. Desde que não-linearidades cinemáticas sejam consideradas em (6.85) Considerando também que o material é linear eléstico, (6.85) é identico ao princípio dos trab. Virtuais, caindo em uma solução de FEA linear. E portando, a matriz massa pode ser avaliada usando as configurações do corpo. Para obter um esquema interativo que usualmente converge em poucas iterações, o efeito dos deslocamentos desconhecidos nos termos de carga precisam ser incluídos na matriz de rigidez. UL e TL, incluem todos efeitos não lineares devido a grandes deslocamentos, deformações e não linearidade material.

17 MEC114 – MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM DINÂMICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 17 Análise não linear de E. F. em sólidos e mecânica estrutural O trabalho virtual externo deve incluir forças de inércia correspondentes ao tempo t e a solução correspondente ao algoritmo sem interações de equilíbrio. Se a análise dinâmica é executada usando método de integração explícito, a eq. governante, usando a formulação TL, é (6.86) Usando a formulação UL é (6.87) E usando apenas a análise de não linearidade material (6.89): Por estas razão carregamentos dependente da deformação podem ser diretamente incluídos pela simples atualização da intensidade de carga e usando uma nova geometria na avaliação de R.


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