A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

Transformações Geométricas Coordenadas Homogêneas e Rotações.

Cópias: 3
Transformações Geométricas Coordenadas Homogêneas e Rotações.

MGattass Rotações e Quatérnios. MGattass Objetos compostos hierarquicamente.

Transformações Geométricas na Imagem Amostragem e Reconstrução.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "Transformações Geométricas Coordenadas Homogêneas e Rotações."— Transcrição da apresentação:

1 Transformações Geométricas Coordenadas Homogêneas e Rotações

2 Motivação: representação de movimentos e formas

3 Objetos compostos hierarquicamente Hieraquia de movimentos Base Braço 1 Braço 2 Braço 3 Dedo Hieraquia de transformações

4 Transformações R 2 R 2 Exemplos: x y x´ y´ p´p´ = x y x y p =

5 Transformações lineares R 2 R 2 x y m 11 x´ y´ = m 21 m 22 m 12 Mostre que: 1 0 x y 0 1 m 11 m T = m 12 m T = T (0) = 0 A) B)

6 Transformações lineares: escala x y a = x y x´ y´ a´a´ = Redução (0< s x <1), Aumento (s y >1) c b x y i j

7 Transformações lineares: espelhamento x´ = -1x y´ = y x y x´ y´ p' = = p x y x y i j

8 Transformações lineares: rotação x´ y´ p' = x´ y´ r x´ = x.cos - y.sen y´ = x.sen + y.cos x y p = x y r rr

9 Transformações Lineares: matriz derivada pela geometria x y i j

10 Mudança de referêncial x y p = x y x y cos u v = sen cos -sen u v u v ou x y p = x´ y´ p' = x y x y uxux u v = vxvx vyvy uyuy Para montarmos a matriz que transforma as coordenadas de um refencial xy para um novo refencial uv basta escrevermos as linhas como sendo os unitários das direções. x y i j

11 Mudança de coordenadas entre sistemas rotacionados As coordenas de um ponto rodado de um ângulo em relação a um sistema são iguais as coordenadas do ponto original em relação a um sistema que sofre a rotação inversa. Como o novo sistema sofre a rotação inversa, a matriz de rotação é a inversa da matriz que levaria da base original para a este novo sistema. As colunas de uma matriz de uma rotação são as transformadas dos vetores da base e a transposta desta matriz é a sua inversa (rotação matriz ortonormal). Logo as linhas da matriz que escreve uma mudança entre bases ortonormais rodadas são as coordenadas do vetores da nova base em relação a base original.

12 Transformações lineares: cisalhamento (shear) Cisalhamento em x x x yy x y i j

13 Exemplo de aplicação do cisalhamento x y a b c plano de projeção m x y a' m' x y c' b' a' m'

14 Exemplo de aplicação do cisalhamento x y a x y c' b' a' m'

15 Decomposição Singular de Matrizes diagonal rotações

16 Exemplo: cisalhamento como composição de rotações e escala

17 Transformações Geométricas: Translação x y p p' txtx tyty t = x y = txtx tyty + = x y x y ? x´ y´ = ? ? ? x y 1 x´ y´ = txtx tyty + Não pode ser escrito na forma Ruim para implementação

18 Translação num plano do R 3 yhyh xhxh w w=1 x y t matriz de translação

19 Concatenação x y x0x0 y0y0 x y x y x y x0x0 y0y0

20 Concatenação xyx y x y xyx y x y T1T1 R1R1 E R2R2 T2T2 P= T 2 R 2 E R 1 T 1 P

21 Coordenadas projetivas (ou homogêneas) x y p wx wy w xhxh yhyh w == x y 1 = = yhyh xhxh w w=1 x y wx wy w x = x h /w y = y h /w w>0 Ex.: = = = p

22 Vantagens das coordenadas homogêneas (pontos no infinito) yhyh xhxh w w=1 x y 2 3 u = u uhuh = ? ? uhuh w h1h1 c1c1 h 2 = c 2 h3h3 c3c / / infinito na direção (2,3) infinito na direção (2,3) h1h1 h2h2 h3h3 h4h4 c1c1 c2c2 c3c3 c4c4

23 Reta no espaço projetivo yhyh xhxh w reta: ax+by+c=0 plano: ax+by+cw=0 plano: w=1

24 Reta paralelas no espaço projetivo yhyh xhxh w plano: ax+by+c 1 w=0 reta: ax+by+c 1 =0 reta: ax+by+c 2 =0 plano: ax+by+c 2 w=0 reta= ax+by =0 plano: w=1

25 Matriz da Homografia

26 [A] : Afim Obs: Se fosse um paralelograma a imagem do ponto 2 seria (1,1) T e não (α, ) T

27 [P] : Projetiva

28 [N] : Paralelograma para quadrado unitário

29 MGattass Transformações em 3D (translações e escalas) x y z txtx tyty tztz 1 y z 1 x = x y z x y z 1 0 sysy szsz y z 1 x = sxsx 0 0 0

30 MGattass Rotação em torno do eixo y x y z y z x y

31 MGattass Rotação em torno do eixo x x y z x

32 MGattass Rotação em torno do eixo z x y z z

33 MGattass Rotações em torno dos eixos cartesianos x y z x y z

34 MGattass Instanciação de objetos braço ante-braço x y z 1 1 1

35 MGattass Ordem das transformações x y R x y T x y R x y x y T (a) (b)

36 MGattass Composição com sistema local móvel x,x L y,y L xLxL yLyL TLTL x y p 2 = R T pp 1 = T p e p 2 = R p 1 x T R y xx yy p= R p e p 2 = T L p p 2 = R T p ou p2p2 x yLyL x y xLxL R p p p 2 = R T R -1 R p

37 MGattass Instâncias de objetos x2x2 y z2z2 xz y2y2 x4x4 y4y4 z4z4 x6x6 x1x1 y1y1 z1z1 x3x3 y3y3 z3z3 x5x5 z5z5 y5y5 d1d1 d2d2

38 MGattass Matrizes para desenho em cada sistema x2x2 y z2z2 xz y2y2 x4x4 y4y4 z4z4 x1x1 y1y1 z1z1 x3x3 y3y3 z3z3 x5x5 z5z5 y5y5 d1d1 d2d2 baseI ante-braçoR y R z1 T y1 cotoveloR y R z1 T y1 T y1 braçoR y R z1 T y1 T y1 R z3 T y3 pulsoR y R z1 T y1 T y1 R z3 T y3 T y3 mãoR y R z1 T y1 T y1 R z3 T y3 T y3 R z5

39 x2x2 y z2z2 xz y2y2 x4x4 y4y4 z4z4 x1x1 y1y1 z1z1 x3x3 y3y3 z3z3 x5x5 z5z5 y5y5 d1d1 d2d2 Desenha a base; Roda em y; Roda em z 1 ; Translada em y 1 de d 1 /2; Desenha o ante-braço; Translada em y 2 de d 1 /2; Desenha cotovelo; Roda em z 3 ; Translada em y 3 de d 2 /2; Desenha o braço; Translada em y 3 de d 2 /2; Desenha o pulso; Roda em z 5 ; Desenha a mão;

40 MGattass Hierarquia em árvore base braço direitobraço esquerdo

41 MGattass Hierarquia em árvore x5x5 y5y5 y6y6 y7y7 y8y8 y9y9 x6x6 x7x7 x8x8 x9x9 a b c d eef a palma base dos dedos dedo direitodedo esquerdo

42 y7y7 y8y8 y9y9 x7x7 x8x8 x9x9 a b c e ef void desenhaDedos(float b,float c, float e, float f ) { /* dedo esquerdo */ glPushMatrix(); /* Salva matriz corrente C 0 */ glTranslatef((f+e)/2,(b+c)/2,0.); /* C=CT esq */ glScalef(e,c,e); /* C=CS */ glutSolidCube(1.0); glPopMatrix(); /* Recupera da pilha C=C 0 */ /* dedo direito */ glPushMatrix(); /* Salva matriz corrente C 0 */ glTranslatef(-(f+e)/2,(b+c)/2,0.); /* C=CT dir */ glScalef(e,c,e); /* C=CS */ glutSolidCube(1.0); glPopMatrix(); /* Recupera da pilha C=C 0 */ }

43 MGattass Transformações em 3D (rotação em torno de um eixo qualquer) x y z 1 m 12 m 22 m 32 0 m 13 m 23 m y z 1 x = m 11 m 21 m 31 0 m 11 = e x 2 + cos (1- e x 2 ) m 12 = e x e y (1-cos ) - e z sen m 13 = e z e x (1-cos ) + e y sen m 21 = e x e y (1-cos ) + e z sen m 22 = e y 2 + cos (1- e y 2 ) m 23 = e y e z (1-cos ) - e x sen m 31 = e x e z (1-cos ) - e y sen m 32 = e y e z (1-cos )+ e x sen m 22 = e z 2 + cos (1- e z 2 ) x y z

44 MGattass Matriz de rotação em torno de um eixo ê que não passa pela origem x y z x y z p0p0 p0p0 x y z p0p0 M x y z p0p0

45 MGattass Algebra da rotação em torno de um eixo unitário ê x y z

46 MGattass A coluna da matriz é a transformada dos vetores da base

47 MGattass Matriz da rotação em torno de um eixo ê x y z

48 MGattass Matriz de rotação em torno de um eixo

49 MGattass Demonstração de:

50 MGattass Fórmula de Rodrigues 1

51 MGattass Fórmula de Rodrigues (cont.)

52 MGattass Matriz de rotação em torno de um eixo

53 MGattass Demonstração de

54 MGattass Interface para rotações tipo ArcBall

55 MGattass Rotação do ArcBall

56 MGattass Conservativo

57 MGattass 90° + 90° Complexidade da Rotação Giroscópio

58

59 MGattass Yaw-Pitch-Rol x z y

60 MGattass Ângulos de Euler l Transforma x-y-z em x-y-z em 3 passos Rotação de em torno eixo z Rotação de em torno do eixo

61 MGattass Ângulos de Euler l Transforma x-y-z em x-y-z em 3 passos Rotação de em torno eixo z Rotação de em torno do eixo

62 x z y

63 MGattass Parametrização de rotações: Ângulos de Euler x x y z y x y z z x y z

64 MGattass Ângulos de Euler Gimbal lock

65 MGattass Ângulos de Euler Gimbal lock x x y z y =90 o x y z z x y z

66 Interpolação não gera posições entre

67 MGattass Quatérnios

68 MGattass Soma e multiplicação por escalar

69 MGattass Produto de dois quatérnios

70 MGattass Produto de dois quatérnios(cont.)

71 MGattass Conjugado, normas e produto interno conjugado de um quatérnio norma de um quatérnio produto interno de dois quatérnios norma euclidiana

72 MGattass Quatérnio inverso e unitário inverso de um quatérnio unitário de um quatérnio

73 MGattass Quatérnios e rotações Dada uma rotação definida por um eixo ê e um ângulo construímos o quatérnio unitário: Dado um ponto qualquer p do R 3 construímos o quatérnio: Calculamos o produto:

74 MGattass Demostração …

75 MGattass Composição de rotações seguida de

76 MGattass Composição de rotações

77 Exemplo

78

79 MGattass Interpolação de quatérnios não é unitário não representa rotação

80 MGattass Interpolação de quatérnios (1-t) t

81

82

83 MGattass Quatérnios e matrizes

84 MGattass Matrizes e quatérnios

85 MGattass Transformação de normais x y x y s x =0.5 x y

86 MGattass FIM


Carregar ppt "Transformações Geométricas Coordenadas Homogêneas e Rotações."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google