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Transformações Geométricas

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Transformações Geométricas Coordenadas Homogêneas e Rotações.

MGattass Rotações e Quatérnios. MGattass Objetos compostos hierarquicamente.

Transformações Geométricas na Imagem Amostragem e Reconstrução.

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Apresentação em tema: "Transformações Geométricas"— Transcrição da apresentação:

1 Transformações Geométricas
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Transformações Geométricas Coordenadas Homogêneas e Rotações Marcelo Gattass

2 Motivação: representação de movimentos e formas
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Motivação: representação de movimentos e formas Marcelo Gattass

3 Objetos compostos hierarquicamente
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Objetos compostos hierarquicamente Hieraquia de movimentos Base Braço 1 Braço 2 Braço 3 Dedo Dedo Hieraquia de transformações Marcelo Gattass

4 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 Transformações R2 R2 Exemplos: y x y p = y = x x Marcelo Gattass

5 Transformações lineares R2 R2
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Transformações lineares R2 R2 Mostre que: T (0) = 0 A) B) 1 x y m11 m21 T = m12 m22 x y m11 = m21 m22 m12 Marcelo Gattass

6 Transformações lineares: escala
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Transformações lineares: escala Redução (0< sx <1) , Aumento (sy >1) y x y i j = b x y a = x c Marcelo Gattass

7 Transformações lineares: espelhamento
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Transformações lineares: espelhamento x y i j y p' = = p x y x x´ = -1x y´ = y Marcelo Gattass

8 Transformações lineares: rotação
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Transformações lineares: rotação y p' = a r r r x y r q p = a x x´ = x.cos q - y.sen q y´ = x.sen q + y.cos q Marcelo Gattass

9 Transformações Lineares: matriz derivada pela geometria
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Transformações Lineares: matriz derivada pela geometria y j q i x Marcelo Gattass

10 Mudança de referêncial
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Mudança de referêncial y y y v p' = x y x y u v p p ou j q = = q i x x - q x u x y cos q u v = sen q -sen q u x y ux uy = v vy vx Para montarmos a matriz que transforma as coordenadas de um refencial xy para um novo refencial uv basta escrevermos as linhas como sendo os unitários das direções. Marcelo Gattass

11 Mudança de coordenadas entre sistemas rotacionados
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Mudança de coordenadas entre sistemas rotacionados As coordenas de um ponto rodado de um ângulo em relação a um sistema são iguais as coordenadas do ponto original em relação a um sistema que sofre a rotação inversa. Como o novo sistema sofre a rotação inversa, a matriz de rotação é a inversa da matriz que levaria da base original para a este novo sistema. As colunas de uma matriz de uma rotação são as transformadas dos vetores da base e a transposta desta matriz é a sua inversa (rotaçãomatriz ortonormal). Logo as linhas da matriz que escreve uma mudança entre bases ortonormais rodadas são as coordenadas do vetores da nova base em relação a base original. Marcelo Gattass

12 Transformações lineares: cisalhamento (shear)
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Transformações lineares: cisalhamento (shear) y y y Cisalhamento em x j i x x x Marcelo Gattass

13 Exemplo de aplicação do cisalhamento
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Exemplo de aplicação do cisalhamento x y a' m' plano de projeção c y x y c' b' a' m' m a x b Marcelo Gattass

14 Exemplo de aplicação do cisalhamento
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Exemplo de aplicação do cisalhamento x y c' b' a' m' y a x Marcelo Gattass

15 Decomposição Singular de Matrizes
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Decomposição Singular de Matrizes rotações diagonal Marcelo Gattass

16 Exemplo: cisalhamento como composição de rotações e escala
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Exemplo: cisalhamento como composição de rotações e escala Marcelo Gattass

17 Transformações Geométricas: Translação
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Transformações Geométricas: Translação y p' x y p' = tx ty + x’ y’ tx ty p t = x x y ? = Não pode ser escrito na forma x y 1 = tx ty + Ruim para implementação Marcelo Gattass

18 Translação num plano do R3
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Translação num plano do R3 yh xh w w=1 x y t matriz de translação Marcelo Gattass

19 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 Concatenação x y x0 y0 a y y0 x0 x y y a x x Marcelo Gattass

20 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 Concatenação x y x y T1 T2 x y x y P’= T2 R2 E R1 T1 P R1 R2 x y x y E Marcelo Gattass

21 Coordenadas projetivas (ou homogêneas)
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Coordenadas projetivas (ou homogêneas) wx wy w x y 1 = D wx wy w xh yh w x y w = D p = = y x p x = xh /w y = yh /w w>0 w=1 yh xh Ex.: 3 2 1 6 4 2 9 6 3 3 2 = D = D = Marcelo Gattass

22 Vantagens das coordenadas homogêneas (pontos no infinito)
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Vantagens das coordenadas homogêneas (pontos no infinito) w h1 w 2 3 h2 = c2 c3 u w=1 c1 = y h3 x u w=1 yh uh h1 h2 h3 h4 2 3 2 3 1 2 3 1/2 2 3 1/4 2 3 uh xh . . . 2 3 = ? c1 c2 c3 c4 infinito na direção (2,3) 1 1.5 2 3 4 6 8 12 Marcelo Gattass

23 Reta no espaço projetivo
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Reta no espaço projetivo w plano: ax+by+cw=0 reta: ax+by+c=0 yh plano: w=1 xh Marcelo Gattass

24 Reta paralelas no espaço projetivo
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Reta paralelas no espaço projetivo w plano: ax+by+c1w=0 reta: ax+by+c1 =0 reta= ax+by =0 reta: ax+by+c2 =0 yh plano: w=1 plano: ax+by+c2w=0 xh Marcelo Gattass

25 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 Matriz da Homografia Marcelo Gattass

26 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 [A] : Afim Obs: Se fosse um paralelograma a imagem do ponto 2 seria (1,1)T e não (α, )T Marcelo Gattass

27 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 [P] : Projetiva Marcelo Gattass

28 [N] : Paralelograma para quadrado unitário
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 [N] : Paralelograma para quadrado unitário Marcelo Gattass

29 Transformações em 3D (translações e escalas)
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Transformações em 3D (translações e escalas) y x’ y’ z’ 1 1 tx x x 1 ty y = 1 tz z z 1 1 x’ y’ z’ 1 sx x sy y = sz z 1 1 MGattass Marcelo Gattass

30 Rotação em torno do eixo y
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Rotação em torno do eixo y x y qy qy x z z MGattass Marcelo Gattass

31 Rotação em torno do eixo x
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Rotação em torno do eixo x y x qx z MGattass Marcelo Gattass

32 Rotação em torno do eixo z
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Rotação em torno do eixo z y x qz z MGattass Marcelo Gattass

33 Rotações em torno dos eixos cartesianos
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Rotações em torno dos eixos cartesianos y qy x qx qz z MGattass Marcelo Gattass

34 Instanciação de objetos
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Instanciação de objetos x y z 1 braço ante-braço MGattass Marcelo Gattass

35 Ordem das transformações
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Ordem das transformações x y T R x y x y (a) R x y T x y (b) MGattass Marcelo Gattass

36 Composição com sistema local móvel
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Composição com sistema local móvel p2 xL yL TL x y x,xL y,yL x yL y xL R p’ p p’= R p e p2 = TL p’  p2 = R T R-1 R p p2 = R T p ou x T R y p1= T p e p2 = R p1 p2 = R T p MGattass Marcelo Gattass

37 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 Instâncias de objetos x2 y z2 x z y2 x4 y4 z4 x6 x1 y1 z1 x3 y3 z3 x5 z5 y5 d1 d2 MGattass Marcelo Gattass

38 Matrizes para desenho em cada sistema
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Matrizes para desenho em cada sistema d2 y3 y4 z3 z4 x3 d1 x5 y5 y2 x4 z5 z2 x2 y y1 x1 z z1 x base I ante-braço Ry Rz1Ty1 cotovelo Ry Rz1Ty1Ty1 braço Ry Rz1Ty1Ty1 Rz3Ty3 pulso Ry Rz1Ty1Ty1 Rz3Ty3 Ty3 mão Ry Rz1Ty1Ty1 Rz3Ty3 Ty3 Rz5 MGattass Marcelo Gattass

39 Transformações e Quatérnios
x2 y z2 x z y2 x4 y4 z4 x1 y1 z1 x3 y3 z3 x5 z5 y5 d1 d2 Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Desenha a base; Roda em y; Roda em z1; Translada em y1 de d1/2; Desenha o ante-braço; Translada em y2 de d1/2; Desenha cotovelo; Roda em z3; Translada em y3 de d2/2; Desenha o braço; Desenha o pulso; Roda em z5; Desenha a mão; Marcelo Gattass

40 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 Hierarquia em árvore base braço esquerdo braço direito MGattass Marcelo Gattass

41 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 Hierarquia em árvore a x5 y5 palma x6 a y6 base dos dedos x7 b y7 x8 x9 c dedo esquerdo dedo direito y8 y9 e f e d MGattass Marcelo Gattass

42 Transformações e Quatérnios
y7 y8 y9 x7 x8 x9 a b c e f 25/03/2017 void desenhaDedos(float b,float c, float e, float f ) { /* dedo esquerdo */ glPushMatrix(); /* Salva matriz corrente C0 */ glTranslatef((f+e)/2,(b+c)/2,0.); /* C=CTesq */ glScalef(e,c,e); /* C=CS */ glutSolidCube(1.0); glPopMatrix(); /* Recupera da pilha C=C0 */ /* dedo direito */ glTranslatef(-(f+e)/2,(b+c)/2,0.); /* C=CTdir */ glScalef(e,c,e); /* C=CS */ glPopMatrix(); /* Recupera da pilha C=C0 */ } Marcelo Gattass

43 Transformações em 3D (rotação em torno de um eixo qualquer)
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Transformações em 3D (rotação em torno de um eixo qualquer) x y z m11 = ex2 + cosq (1- ex2) m12 = exey(1-cosq ) - ez sen q m13 = ezex(1-cosq ) + ey sen q m21 = exey(1-cosq ) + ez sen q m22 = ey2 + cosq (1- ey2) m23 = eyez(1-cosq ) - ex sen q m31 = exez (1-cosq ) - ey sen q m32 = eyez(1-cosq )+ ex sen q m22 = ez2 + cosq (1- ez2) x’ y’ z’ 1 m12 m22 m32 m13 m23 m33 y z x = m11 m21 m31 MGattass Marcelo Gattass

44 Matriz de rotação em torno de um eixo ê que não passa pela origem
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Matriz de rotação em torno de um eixo ê que não passa pela origem z z p0 p0 y y x x z z M p0 y p0 y x x MGattass Marcelo Gattass

45 Algebra da rotação em torno de um eixo unitário ê
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Algebra da rotação em torno de um eixo unitário ê z y x MGattass Marcelo Gattass

46 A coluna da matriz é a transformada dos vetores da base
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 A coluna da matriz é a transformada dos vetores da base MGattass Marcelo Gattass

47 Matriz da rotação em torno de um eixo ê
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Matriz da rotação em torno de um eixo ê x y z MGattass Marcelo Gattass

48 Matriz de rotação em torno de um eixo
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 MGattass Marcelo Gattass

49 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 Demonstração de: MGattass Marcelo Gattass

50 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 Fórmula de Rodrigues 1 MGattass Marcelo Gattass

51 Fórmula de Rodrigues (cont.)
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Fórmula de Rodrigues (cont.) MGattass Marcelo Gattass

52 Matriz de rotação em torno de um eixo
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 MGattass Marcelo Gattass

53 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 Demonstração de MGattass Marcelo Gattass

54 Interface para rotações tipo ArcBall
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Interface para rotações tipo ArcBall MGattass Marcelo Gattass

55 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 Rotação do ArcBall MGattass Marcelo Gattass

56 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 Conservativo MGattass Marcelo Gattass

57 Complexidade da Rotação
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Complexidade da Rotação 90° + 90° Giroscópio MGattass Marcelo Gattass

58 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 Marcelo Gattass

59 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 Yaw-Pitch-Rol x z y MGattass Marcelo Gattass

60 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 Ângulos de Euler Transforma x-y-z em x’-y’-z’ em 3 passos Rotação de f em torno eixo z Rotação de q em torno do eixo x Rotação de y em torno do eixo z’ MGattass Marcelo Gattass

61 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 Ângulos de Euler Transforma x-y-z em x’-y’-z’ em 3 passos Rotação de f em torno eixo z Rotação de q em torno do eixo x Rotação de y em torno do eixo z’ MGattass Marcelo Gattass

62 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 z y x Marcelo Gattass

63 Parametrização de rotações: Ângulos de Euler
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Parametrização de rotações: Ângulos de Euler z z z qz y y y qy qx x x x MGattass Marcelo Gattass

64 Ângulos de Euler Gimbal lock
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Ângulos de Euler Gimbal lock MGattass Marcelo Gattass

65 Ângulos de Euler Gimbal lock
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Ângulos de Euler Gimbal lock z z z qz y y y qy=90o qx x x x MGattass Marcelo Gattass

66 Interpolação não gera posições “entre”
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Interpolação não gera posições “entre” Marcelo Gattass

67 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 Quatérnios MGattass Marcelo Gattass

68 Soma e multiplicação por escalar
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Soma e multiplicação por escalar MGattass Marcelo Gattass

69 Produto de dois quatérnios
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Produto de dois quatérnios MGattass Marcelo Gattass

70 Produto de dois quatérnios(cont.)
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Produto de dois quatérnios(cont.) MGattass Marcelo Gattass

71 Conjugado, normas e produto interno
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Conjugado, normas e produto interno conjugado de um quatérnio norma de um quatérnio produto interno de dois quatérnios norma euclidiana MGattass Marcelo Gattass

72 Quatérnio inverso e unitário
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Quatérnio inverso e unitário inverso de um quatérnio unitário de um quatérnio MGattass Marcelo Gattass

73 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 Quatérnios e rotações Dada uma rotação definida por um eixo ê e um ângulo  construímos o quatérnio unitário: Dado um ponto qualquer p do R3 construímos o quatérnio: Calculamos o produto: MGattass Marcelo Gattass

74 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 Demostração MGattass Marcelo Gattass

75 Composição de rotações
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Composição de rotações seguida de MGattass Marcelo Gattass

76 Composição de rotações
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Composição de rotações MGattass Marcelo Gattass

77 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 Exemplo Marcelo Gattass

78 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 Marcelo Gattass

79 Interpolação de quatérnios
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Interpolação de quatérnios não é unitário não representa rotação MGattass Marcelo Gattass

80 Interpolação de quatérnios
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Interpolação de quatérnios (1-t) t MGattass Marcelo Gattass

81 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 Marcelo Gattass

82 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 Marcelo Gattass

83 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 Quatérnios e matrizes MGattass Marcelo Gattass

84 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 Matrizes e quatérnios MGattass Marcelo Gattass

85 Transformação de normais
Transformações e Quatérnios 25/03/2017 Transformação de normais x y y x y sx=0.5 x MGattass Marcelo Gattass

86 Transformações e Quatérnios
25/03/2017 FIM MGattass Marcelo Gattass


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