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MEC114 Métodos Comput. em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sobreposição modal1 Objetivos: Conhecer o método de sobreposição modal para análise.

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1 MEC114 Métodos Comput. em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sobreposição modal1 Objetivos: Conhecer o método de sobreposição modal para análise dinâmica com elementos finitos SOBREPOSIÇÃO MODAL

2 MEC114 Métodos Comput. em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sobreposição modal2 Desprezando as operações dos cálculos iniciais nos métodos implícitos, temos um número total de nm K s operações necessárias para a integração. Introdução : função das características das matrizes n: ordem da matriz de rigidez m K : metade da largura de banda s: número de passos do tempo Assim a integração direta implícita é efetiva para respostas de curta duração. Contudo, se a integração deve ser efetuada para muitos passos no tempo, é melhor transformar primeiro as equações de equilíbrio de forma que a solução passo a passo custe menos. O número de operações por passo de integração é menor no método explícito. Como o número de operações é proporcional à metade da largura de banda m K da matriz K, uma redução em m K reduz o custo da solução passo a passo. A topologia da malha de elementos finitos determina a ordem e a largura de banda das matrizes do sistema. Para reduzir a largura de banda das matrizes do sistema, reordena-se a numeração nodal; mas existe um limite na largura de banda a ser obtida dessa maneira, sendo necessário seguir um procedimento alternativo.

3 MEC114 Métodos Comput. em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sobreposição modal3 Mudança de base para deslocamentos generalizados modais As equações de equilíbrio utilizam uma transformação nos deslocamentos U dos pontos nodais dos n elementos finitos. P: matriz de transformação, não é f(t) X(t): vetor deslocamentos generalizados Substituindo na equação de equilíbrio e pré- multiplicando por P T. As novas matrizes de massa, amortecimento e rigidez apresentam uma menor largura de banda. P deve ser não singular (rank n) para que exista uma relação única entre U e X. Na prática, uma matriz de transformação efetiva é estabelecida usando as soluções de deslocamento das eqs. de equilíbrio para vibração livre sem amortecimento, onde a solução é assumida como, : vetor de ordem n t 0 : tempo constante : freqüência de vibração do vetor (rad/s) obtendo-se o autoproblema generalizado, a partir do qual e são calculados. O autoproblema gera n autosoluções ( 2 n, n ), onde os autovetores são M-ortonormalizados: (i)

4 MEC114 Métodos Comput. em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sobreposição modal4 Mudança de base para deslocamentos generalizados modais i : vetor do perfil do i-ésimo modo i : i-ésima freqüência de vibração (rad/s) Definindo a matriz de autovetores e a matriz diagonal 2 de autovalores: as n soluções são escritas como: Como os autovetores são M-ortonormais, Assim, a matriz pode ser uma adequada matriz de transformação P: obtendo-se as equações de equilíbrio nos deslocamentos generalizados modais: As condições iniciais em X(t) para t=0 são obtidas como: Se a matriz de amortecimento não está inclusa na análise, as equações de equilíbrio de elementos finitos são desacopladas se usados os modos de vibração livre na matriz de transformação.

5 MEC114 Métodos Comput. em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sobreposição modal5 Exemplo Calcule a matriz de transformação e as equações de equilíbrio desacopladas na base dos vetores modais do sistema: O autoproblema generalizado é: e as soluções são: Para as equações de equilíbrio de vibração livre do sistema, as duas soluções seguintes são possíveis: A solução às equações é da forma: onde, e os tempos são calculados a partir das condições iniciais em U e Ů. Impondo valores só a ou o sistema vibra num modo e freqüência respectiva. As equações de equilíbrio na base dos autovetores são:

6 MEC114 Métodos Comput. em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sobreposição modal6 Análise com amortecimento desprezível A equação de equilíbrio sem os efeitos de amortecimento se reduz a: ou seja n equações desacopladas da forma de um sistema de um grau de liberdade com massa unitária e rigidez i 2 : a ser resolvida com os algoritmos de integração ou com a integral de Duhamel: onde i e i são calculados com as C.I. Os deslocamentos nodais são obtidos por sobreposição da resposta em cada modo. A resposta por sobreposição modal requer: i. solução de autovetores e autovalores ii. resolver eqs. de equilíbrio desacopladas iii. sobrepor a resposta dos autovetores A escolha entre análise de sobreposição modal e integração direta é por eficácia numérica, ao ser as respostas idênticas dentro dos erros numéricos dos esquemas de integração no tempo. (ii) (iii)

7 MEC114 Métodos Comput. em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sobreposição modal7 Exemplo Utilize sobreposição modal para calcular a resposta por deslocamento do sistema: Para calcular a resposta exata integra-se as eqs. de equilíbrio desacopladas: e usando as C.I. Usando os autovetores, calculados com anterioridade, calcula-se U. obtém-se: Para t=0,28, avalia-se em 12 passos: Tempo t t t t. t tUtU 0,0030,0380,1760,486.1,157 0,3821,412,784,09.2,489

8 MEC114 Métodos Comput. em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sobreposição modal8 Análise com amortecimento desprezível (cont.) (ii) Considerando as equações desacopladas, e se r i (t)=0, i=1,2,...,n e ainda 0 U e 0 Ů são múltiplos só de j, logo só x j (t) é diferente de zero e a estrutura vibra só nesse modo. Na prática a resposta transiente decresce devido ao amortecimento e o efeito da carga externa é mais importante. O conteúdo da freqüência da carga determina se a i-ésima equação contribui ou não à resposta. A resposta x i (t) é relativamente grande se a freqüência de excitação contida em r i fica próxima de i. Para o sistema de 1GDL dado por: a resposta pode ser escrita como, onde D é o fator de carga dinâmica, indicando ressonância se ŵ= Na análise de um sistema nGDL, a resposta é obtida como a sobreposição da resposta em cada GDL modal. Também, a carga pode ser apresentada como em uma decomposição de Fourier, ou seja como a sobreposição de senos e cos. harmônicos.

9 MEC114 Métodos Comput. em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sobreposição modal9 Análise com amortecimento desprezível (cont.) Com uma pequena fração do número total de equações desacopladas (pn), a solução de sobreposição modal consegue uma boa aproximação à solução exata. Assim, precisa-se obter unicamente os menores autovalores e autovetores, e somar a resposta nos primeiros p modos: A eficácia da sobreposição modal depende do número de modos considerados. Em geral, o tipo de estrutura e sua distribuição espacial mais o conteúdo de freqüência da carga determina o número de modos a serem utilizados. Para cargas de terremotos, em alguns casos é suficiente os 10 primeiros modos. Para choques p=2n/3. Para análise de vibração, as freqüências intermédias devem ser excitadas, aquelas entre os limites inferior e superior. Denominando U P a resposta predita por sobreposição de p modos, a exatidão da análise em qualquer tempo t é obtida calculando uma mensuração do erro: Os erros na análise de sobreposição modal, para p

10 MEC114 Métodos Comput. em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sobreposição modal10 Análise com amortecimento A sobreposição modal é eficaz quando assumido o amortecimento proporcional, onde os autovetores são C-ortogonais: i : parâmetro de amortecimento modal ij : delta de Kronecker, 1 (i=j), 0 (i j) Logo as equações de movimento se reduzem a n equações de equilíbrio do movimento de sistemas de 1 GDL : a serem resolvidas com os algoritmos de integração ou com a integral de Duhamel: onde i e i são calculados com as C.I. O amortecimento total na estrutura é a soma dos amortecimentos modais. O amortecimento em um modo pode ser observado, por exemplo, impondo C.I. a esse modo ( 0 U= i para o modo i) e medindo o decremento de amplitude durante a vibração amortecida livre. Para r=2, o amortecimento de Rayleigh pode ser usado, o qual pode ser da forma: onde e são constantes a serem calculadas desde duas razoes de amortecimento dadas que correspondem a duas freqüências de vibração desiguais. (1)

11 MEC114 Métodos Comput. em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sobreposição modal11 Assuma que para um sistema de 2 GDL, 1 =2 e 2 =3, precisando 2% e 10% de amortecimento crítico, 1 =0,02 e 2 =0,10. Estabeleça as constantes e do amortecimento de Rayleigh para a integração direta passo a passo. Exemplo Usando esta relação para 1, 1 e 2, 2 permite obter duas equações para e cuja solução é: A matriz de amortecimento a ser usada é: Com a matriz de amortecimento, podemos estabelecer a relação de amortecimento para qualquer valor de i. quando a matriz de amortecimento de Rayleigh é usada. Caso as relações de amortecimento sejam conhecidas para mais de duas freqüências, então dois valores médios de são usados para avaliar e.

12 MEC114 Métodos Comput. em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sobreposição modal12 Assuma que o amortecimento aproximado para um sistema multi GDL é como segue: Exemplo Escolha os parâmetros de amortecimento de Rayleigh e Considerando dois pares de espaçamento de freqüências: Determinando e da relação: Então: Mostra-se a relação de i como função de i, onde com base na eq. (1) indica-se as regiões de amortecimento proporcional à massa e proporcional à rigidez.

13 MEC114 Métodos Comput. em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sobreposição modal13 Análise com amortecimento (cont.) Pode-se utilizar uma matriz mais geral de amortecimento caso mais de 2 relações de amortecimento são usadas para obter C. Assumindo r relações de amortecimento i, i=1,2,...,r dadas para definir C, uma matriz C que satisfaz a eq. (1) é obtida através da serie de Caughey: onde os coeficientes a k, k=0,...,r-1 são calculadas das r equações simultâneas: Se r>2, então C é uma matriz cheia. Usando os modos de vibração livre sem amortecimento como vetores base, para o caso de amortecimento não proporcional T C é uma matriz cheia. Assim, na base dos vetores modais, as equações de equilíbrio não estão mais desacopladas. Pode ser assumido que a resposta primária do sistema ainda está contida no subespaço formado por 1,..., p. Assumindo que o acoplamento na matriz de amortecimento T C entre x i (i=1,..,p) e x i (i=p+1,...,n) pode ser desprezada, as primeiras p equações desacoplam das p+1 a n equações, e podem ser resolvidas por integração direta.

14 MEC114 Métodos Comput. em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sobreposição modal14 Considere as equações de equilíbrio: Exemplo Os modos de vibração livre sem amortecimento e freqüências são: Transforme as equações de equilíbrio em relações na base modal Usando U= X obtém-se as relações de equilíbrio: Se fosse conhecido que devido a certa carga aplicada, a resposta primária fica unicamente no primeiro modo, poderia se obter uma resposta aproximada via: e logo calcula-se Mas, observa-se que como T C é cheia, a solução de x 1 (t) não da a resposta real no primeiro modo ao ter sido omitido o acoplamento do amortecimento.


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