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Transformações Geométricas na Imagem Amostragem e Reconstrução.

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Transformações Geométricas Coordenadas Homogêneas e Rotações.

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Apresentação em tema: "Transformações Geométricas na Imagem Amostragem e Reconstrução."— Transcrição da apresentação:

1 Transformações Geométricas na Imagem Amostragem e Reconstrução

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3 Transformações R 2 R 2 Exemplos: x y x´ y´ p´p´ = x y x y p =

4 Transformações lineares R 2 R 2 x y m 11 x´ y´ = m 21 m 22 m 12 Mostre que: 1 0 x y 0 1 m 11 m 21 1 0 T = m 12 m 22 0 1 T = T (0) = 0 A) B)

5 Transformações lineares: escala x y a = x y x´ y´ a´a´ = Redução (0< s x <1), Aumento (s y >1) c b x y i j

6 Transformações lineares: espelhamento x´ = -1x y´ = y x y x´ y´ p' = = p x y x y i j

7 Transformações lineares: rotação x´ y´ p' = x´ y´ r x´ = x.cos - y.sen y´ = x.sen + y.cos x y p = x y r rr

8 Transformações Lineares: matriz derivada pela geometria x y i j

9 Mudança de referêncial x y p = x y x y cos u v = sen cos -sen u v u v ou x y p = x´ y´ p' = x y x y uxux u v = vxvx vyvy uyuy Para montarmos a matriz que transforma as coordenadas de um refencial xy para um novo refencial uv basta escrevermos as linhas como sendo os unitários das direções. x y i j

10 Mudança de coordenadas entre sistemas rotacionados As coordenas de um ponto rodado de um ângulo em relação a um sistema são iguais as coordenadas do ponto original em relação a um sistema que sofre a rotação inversa. Como o novo sistema sofre a rotação inversa, a matriz de rotação é a inversa da matriz que levaria da base original para a este novo sistema. As colunas de uma matriz de uma rotação são as transformadas dos vetores da base e a transposta desta matriz é a sua inversa (rotação matriz ortonormal). Logo as linhas da matriz que escreve uma mudança entre bases ortonormais rodadas são as coordenadas do vetores da nova base em relação a base original.

11 Transformações lineares: cisalhamento (shear) Cisalhamento em x x x yy x y i j

12 Exemplo de aplicação do cisalhamento x y a b c plano de projeção m x y a' m' x y c' b' a' m'

13 Exemplo de aplicação do cisalhamento x y a x y c' b' a' m'

14 Decomposição Singular de Matrizes diagonal rotações

15 Exemplo: cisalhamento como composição de rotações e escala

16 Transformações Geométricas: Translação x y p p' txtx tyty t = x y = txtx tyty + = x y x y ? x´ y´ = ? ? ? x y 1 x´ y´ = 0 1 0 txtx tyty + Não pode ser escrito na forma Ruim para implementação

17 Translação num plano do R 3 yhyh xhxh w w=1 x y t matriz de translação

18 Concatenação x y x0x0 y0y0 x y x y x y x0x0 y0y0

19 Concatenação xyx y x y xyx y x y T1T1 R1R1 E R2R2 T2T2 P= T 2 R 2 E R 1 T 1 P

20 Coordenadas projetivas (ou homogêneas) x y p wx wy w xhxh yhyh w == x y 1 = = yhyh xhxh w w=1 x y wx wy w x = x h /w y = y h /w w>0 Ex.: 3 2 1 3 2 6 4 2 9 6 3 = = = p

21 Vantagens das coordenadas homogêneas (pontos no infinito) yhyh xhxh w w=1 x y 2 3 u = u uhuh 2 3 0 = ? ? uhuh w h1h1 c1c1 h 2 = c 2 h3h3 c3c3 2 3 2 2 3 1 2 3 1/2 2 3 1/4 2 3 0... 1 1.5 2 3 4 6 8 12 infinito na direção (2,3) infinito na direção (2,3) h1h1 h2h2 h3h3 h4h4 c1c1 c2c2 c3c3 c4c4

22 Reta no espaço projetivo yhyh xhxh w reta: ax+by+c=0 plano: ax+by+cw=0 plano: w=1

23 Reta paralelas no espaço projetivo yhyh xhxh w plano: ax+by+c 1 w=0 reta: ax+by+c 1 =0 reta: ax+by+c 2 =0 plano: ax+by+c 2 w=0 reta= ax+by =0 plano: w=1

24 Deformação sem paralelismo yhyh xhxh w w=1 x y yhyh xhxh w x y

25 Matriz da Homografia

26 [A] : Afim Obs: Se fosse um paralelograma a imagem do ponto 2 seria (1,1) T e não (α, ) T

27 [P] : Projetiva

28 [N] : Paralelograma para quadrado unitário

29 MGattass Transformação de normais x y x y s x =0.5 x y

30 MGattass FIM


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