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Geometria Espacial Prof. Kairo O Silva
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Axiomas Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria.
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A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.
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Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas.
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Por dois pontos distintos passa uma única reta.
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Por três pontos não-colineares passa um único plano.
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Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos.
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Posições relativas de duas retas
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Posições relativas de duas retas
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Posições relativas de duas retas
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Temos que considerar dois casos particulares:
retas perpendiculares: retas ortogonais:
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Postulado de Euclides ou das retas paralelas
Dados uma reta r e um ponto P r, existe uma única reta s, traçada por P, tal que r // s:
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Determinação de um plano
uma reta e um ponto não-pertencente a essa reta:
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Determinação de um plano
duas retas distintas concorrentes:
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Determinação de um plano
duas retas paralelas distintas:
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Posições relativas de reta e plano
reta contida no plano
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Posições relativas de reta e plano
reta concorrente ou incidente ao plano
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Posições relativas de reta e plano
reta paralela ao plano
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Perpendicularismo entre reta e plano
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Posições relativas de dois planos
planos coincidentes ou iguais
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Posições relativas de dois planos
planos concorrentes ou secantes
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Posições relativas de dois planos
planos paralelo
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Poliedros convexos e côncavos
Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum
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Poliedros convexos e côncavos
Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo: tetraedro: quatro faces pentaedro: cinco faces hexaedro: seis faces heptaedro: sete faces octaedro: oito faces icosaedro: vinte faces
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Relação de Euler Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:
V - A + F = 2 V=8 A=12 F=6 = 2
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Relação de Euler V = 12 A = 18 F = 8 = 2
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Poliedros platônicos Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se: a) for convexo; b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas; c) toda face tiver o mesmo número de arestas; d) for válida a relação de Euler.
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Poliedros platônicos
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Poliedros platônicos
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Prismas
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Prismas bases:as regiões poligonais R e S
altura:a distância h entre os planos arestas das bases:os lados ( dos polígonos) arestas laterais:os segmentos faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A
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Prismas Classificação
reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;
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Prismas Classificação
oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.
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Prismas Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares:
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Prismas
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Prismas volume de um prisma V = AB.h
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Paralelepípedo retângulo
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Diagonais da base e do paralelepípedo
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Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:
AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc = AL = 2(ac + bc)
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área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:
AT= 2( ab + ac + bc)
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volume de um paralelepípedo
volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por: V = abc
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Cubo
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Diagonais da base e do cubo
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Área lateral AL=4a2
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Área total AT=6a²
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Volume V= a . a . a = a³
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Cilindro
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Classificação do Cilindro
circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases; circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases
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cilindro de revolução O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução
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Secção transversal
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Secção meridiana
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Áreas
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Volume Vcilindro = Ab.h
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Pirâmides
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Relações entre os elementos de uma pirâmide regular
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Relações entre os elementos de uma pirâmide regular
A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles.
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Relações entre os elementos de uma pirâmide regular
Os triângulos VOB e VOM são retângulos.
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Áreas AT = AL +Ab
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Volume
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Cone circular
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Cone circular altura: distância h do vértice V ao plano
geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência raio da base: raio R do círculo eixo de rotação:reta determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone
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Cone reto g² = h²+ R²
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Secção meridiana
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Áreas
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Teorema de Pappus - Guldin
quando uma superfície gira em torno de um eixo e, gera um volume tal que: d = distância do centro de gravidade (CG) da sua superfície ao eixo e S=área da superfície
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Volume
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Secção paralela à base de uma pirâmide
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Tronco da pirâmide
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Áreas & Volume AT =AL+AB+Ab
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Tronco do cone
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Áreas
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Volume
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Esfera
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Fuso esférico
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Cunha esférica
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Calota esférica
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Zona esférica
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