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Geometria Espacial Prof. Kairo O Silva. Axiomas Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de.

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1 Geometria Espacial Prof. Kairo O Silva

2 Axiomas Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria. Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria.

3 A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos. A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.

4 Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas. Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas.

5 Por dois pontos distintos passa uma única reta. Por dois pontos distintos passa uma única reta.

6 Por três pontos não-colineares passa um único plano. Por três pontos não-colineares passa um único plano.

7 Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos. Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos.

8 Posições relativas de duas retas

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11 Temos que considerar dois casos particulares: retas perpendiculares: retas perpendiculares: retas ortogonais: retas ortogonais:

12 Postulado de Euclides ou das retas paralelas Postulado de Euclides ou das retas paralelas Dados uma reta r e um ponto P r, existe uma única reta s, traçada por P, tal que r // s: Dados uma reta r e um ponto P r, existe uma única reta s, traçada por P, tal que r // s:

13 Determinação de um plano uma reta e um ponto não-pertencente a essa reta: uma reta e um ponto não-pertencente a essa reta:

14 Determinação de um plano duas retas distintas concorrentes: duas retas distintas concorrentes:

15 Determinação de um plano duas retas paralelas distintas: duas retas paralelas distintas:

16 Posições relativas de reta e plano reta contida no plano reta contida no plano

17 Posições relativas de reta e plano reta concorrente ou incidente ao plano reta concorrente ou incidente ao plano

18 Posições relativas de reta e plano reta paralela ao plano reta paralela ao plano

19 Perpendicularismo entre reta e plano

20 Posições relativas de dois planos planos coincidentes ou iguais planos coincidentes ou iguais

21 Posições relativas de dois planos planos concorrentes ou secantes planos concorrentes ou secantes

22 Posições relativas de dois planos planos paralelo planos paralelo

23 Poliedros convexos e côncavos Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum

24 Poliedros convexos e côncavos Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo: Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo: tetraedro: quatro faces tetraedro: quatro faces pentaedro: cinco faces pentaedro: cinco faces hexaedro: seis faces hexaedro: seis faces heptaedro: sete faces heptaedro: sete faces octaedro: oito faces octaedro: oito faces icosaedro: vinte faces icosaedro: vinte faces

25 Relação de Euler Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte: Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte: V - A + F = 2 V - A + F = 2 V=8 A=12 F= = 2

26 Relação de Euler V = 12 A = 18 F = 8 V = 12 A = 18 F = = = 2

27 Poliedros platônicos Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se: Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se: a) for convexo; a) for convexo; b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas; b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas; c) toda face tiver o mesmo número de arestas; c) toda face tiver o mesmo número de arestas; d) for válida a relação de Euler. d) for válida a relação de Euler.

28 Poliedros platônicos

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30 Prismas

31 Prismas bases:as regiões poligonais R e S bases:as regiões poligonais R e S altura:a distância h entre os planos altura:a distância h entre os planos arestas das bases:os lados ( dos polígonos) arestas das bases:os lados ( dos polígonos) arestas laterais:os segmentos arestas laterais:os segmentos faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A

32 Prismas Classificação Classificação reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases; reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;

33 Prismas Classificação Classificação oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases. oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

34 Prismas Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares: Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares:

35 Prismas

36 Prismas volume de um prisma volume de um prisma V = AB.h V = AB.h

37 Paralelepípedo retângulo

38 Diagonais da base e do paralelepípedo

39 Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos: AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc = AL = 2(ac + bc) AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc = AL = 2(ac + bc)

40 área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas: AT= 2( ab + ac + bc) AT= 2( ab + ac + bc)

41 volume de um paralelepípedo volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por: volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por: V = abc V = abc

42 Cubo

43 Diagonais da base e do cubo

44 Área lateral AL=4a2 AL=4a2

45 Área total AT=6a²

46 Volume V= a. a. a = a³ V= a. a. a = a³

47 Cilindro

48 Classificação do Cilindro circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases; circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases; circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases

49 cilindro de revolução O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução

50 Secção transversal

51 Secção meridiana

52 Áreas

53 Volume Vcilindro = Ab.h Vcilindro = Ab.h

54 Pirâmides

55 Relações entre os elementos de uma pirâmide regular

56 A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles. A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles.

57 Relações entre os elementos de uma pirâmide regular Os triângulos VOB e VOM são retângulos. Os triângulos VOB e VOM são retângulos.

58 Áreas AT = AL +Ab AT = AL +Ab

59 Volume

60 Cone circular

61 altura: distância h do vértice V ao plano altura: distância h do vértice V ao plano geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência raio da base: raio R do círculo raio da base: raio R do círculo eixo de rotação:reta determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone eixo de rotação:reta determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone

62 Cone reto g² = h²+ R² g² = h²+ R²

63 Secção meridiana

64 Áreas

65 Teorema de Pappus - Guldin quando uma superfície gira em torno de um eixo e, gera um volume tal que: quando uma superfície gira em torno de um eixo e, gera um volume tal que: d = distância do centro de gravidade (CG) da sua superfície ao eixo e S=área da superfície

66 Volume

67 Secção paralela à base de uma pirâmide

68 Tronco da pirâmide

69 Áreas & Volume AT =AL+AB+Ab AT =AL+AB+Ab

70 Tronco do cone

71 Áreas

72 Volume

73 Esfera

74 Fuso esférico

75 Cunha esférica

76 Calota esférica

77 Zona esférica


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