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1 TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO 2 TRIGONOMETRIA Triângulo Retângulo sen = cos = tg = b a c a b c Num vão entre duas paredes, deve-se construir uma.

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2 1 TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO

3 2 TRIGONOMETRIA Triângulo Retângulo sen = cos = tg = b a c a b c Num vão entre duas paredes, deve-se construir uma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de 4 e o vão entre elas é de 12m, determine o ângulo, em graus, que a rampa formará com o solo. m 12m = 30 o

4 3 ( UFSC ) Na figura, abaixo, determine o valor de x AD = x DC= x - 38 BD = y tg 30 o = x x – 38 y 60 o 30 o y x y x tg 60 o = y x – 38 = y (x – 38) = y = = (x – 38) x x = 3(x – 38) x = 3x – = 2x 57 = x

5 4 TRIGONOMETRIA SENO COSSENO TANGENTE E DEMAIS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

6 5 SENO E COSSENO E TANGENTE SENO + 1 – __ COSSENO + 1 – _ _ TANGENTE + + _ _ RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS sen 2 x + cos 2 x = 1

7 6 a) cos x sen 2 x + cos 2 x = 1 b) tg x c) cotg x Sendo sen = e, calcule: d) sec x e) cossec x SENO + + __ COSSENO + + _ _ TANGENTE + + _ _

8 7 Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS: 180 o x 225 o 225 o = x.180 o 01. A medida em radianos de um arco de 225 º é F 02. A equação sen x = 2m – 5 admite solução para 2 m 3 – 1 2m – 5 1 – m m 6 2 m 3 V

9 8 04. Se sen x > 0, então cossec x < 0 sen 30 o = 1/2 cossec 30 o = 2 sen 210 o = - 1/2 F FP 180 o 160 o 200 o cossec 210 o = Se tg 20 º = a, o valor de F 360 o 340 o tg 160 o = tg 200 o = tg 340 o = – tg 20 o = tg 20 o = – tg 20 o = – a a + + _ _ – 2 V

10 9 16. Para todo x 1 o quadrante, a expressão (sec x – tg x)(sec x + tg x) – sen 2 x é igual a cos 2 x (sec x – tg x)(sec x + tg x) – sen 2 x sen 2 x + cos 2 x = 1 sen 2 x = 1 – cos 2 x cos 2 x = 1 – sen 2 x 1 – sen 2 x cos 2 x V

11 A solução da equação 2sen 2 x + 3sen x = 2 para 0 x 2 é x = ou x = 2 sen 2 x + 3 sen x – 2 = 0 = b 2 – 4ac = 3 2 – 4.2.(-2) = o 150 o V

12 11 ( UFSC ) Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro quadrante, então o valor da expressão 9.(sec 2 x + tg 2 x) é: cossec x = sen x = sen 2 x + cos 2 x = 1 9.(sec 2 x + tg 2 x) 41

13 12 TRIGONOMETRIA OPERAÇÃO COM ARCOS

14 13 Adição e Subtração de Arcos sen (a b) = sen a. cos b sen b. cos a cos (a b) = cos a. cos a sen a. sen b sen 75º = sen (30º + 45º) = sen 30º. cos 45º + sen 45º. cos 30º sen (a + b) = sen a. cos b + sen b. cos a sen 75º = cos 15º = cos (45º - 30º) = cos 45º. cos 30º + sen 45º. sen 30º cos (a – b) = cos a. cos b + sen a. sen b cos 15º =

15 14 O valor de cos 10 o cos 35 o – sen 10 o. sen 35 º, é: sen (a b) = sen a. cos b sen b. cos a cos (a b) = cos a. cos a sen a. sen b cos (a + b) = cos a. cos b - sen a. sen b cos 10 o. cos 35 o – sen 10 o. sen 35 º cos (10 º + 35 o ) = cos 10 o. cos 35 o – sen 10 o. sen 35 º cos 45 o = = cos 10 o. cos 35 o – sen 10 o. sen 35 º

16 15 Seno e Cosseno do arco duplo sen (a b) = sen a. cos b sen b. cos a cos (a b) = cos a. cos a sen a. sen b sen (2x) = 2sen x. cos x cos (2x) = cos 2 x - sen 2 x sen (x + x) = sen x. cos x + sen x. cos x cos (x + x) = cos x. cos x – sen x. sen x

17 16 Cálculo do sen x sen 2 x + cos 2 x = 1 Sendo cos x = e, calcule sen 2x e cos 2x: sen (2x) = 2sen x. cos x cos (2x) = cos 2 x - sen 2 x sen (2x) = cos (2x) =

18 17 TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS GRÁFICOS

19 18 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNÇÃO SENO y = sen x sen x o 90 o 180 o 270 o 360 o x x IMAGEM: DOMÍNIO:REAIS [-1, 1] CRESCENTE: DECRESCENTE: 1º. e 4º. q 2º. e 3º. q PERÍODO: 2

20 19 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNÇÃO COSSENO y = cos x cos x o 90 o 180 o 270 o 360 o x x IMAGEM: DOMÍNIO:REAIS [-1, 1] CRESCENTE: DECRESCENTE: 3º. e 4º. q 1º. e 2º. q PERÍODO: 2

21 20 FUNÇÕES DA FORMA: f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x Esboçar o gráfico e dê o período, o domínio e o conjunto imagem de: a) y = 2 + sen x sen x o 90 o 180 o 270 o 360 o x x 2 + sen x IMAGEM: [1, 3] PERÍODO: 2

22 21 FUNÇÕES DA FORMA: f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x Esboçar o gráfico e dê o período, o domínio e o conjunto imagem de: b) y = 3sen x sen x o 90 o 180 o 270 o 360 o x x 3sen x IMAGEM: [-3, 3] PERÍODO: 2

23 22 FUNÇÕES DA FORMA: f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x IMAGEM DA FUNÇÃO SENO E COSSENO: [a – b; a + b] CONCLUSÕES: a desloca o gráfico b estica o gráfico Determinar a imagem da função f(x) = 2 + 3sen x f(x) = sen x f(x) = (-1) f(x) = (1) = - 1 = 5 IMAGEM: [-1, 5] Determinar a imagem da função f(x) = 5 + 2cos x f(x) = cos x f(x) = (-1) f(x) = (1) = 3 = 7 IMAGEM: [3, 7]

24 23 PERÍODO DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO Determinar o período da função f(x) = sen 2x FUNÇÕES DA FORMA: f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x Determinar o período da função f(x) = 3sen x/2

25 24 Determine o período da função f(x) = cos 4 x – sen 4 x é: Um pouquinho de matemática básica (a + b)(a – b) = a 2 – b 2 (x + 3)(x – 3) = x 2 – 9 = x 2 – 25 (x + 5)(x – 5) = cos 4 x – sen 4 x (cos 2 x + sen 2 x )(cos 2 x – sen 2 x) = cos 4 x – sen 4 x (1)(cos2x) f(x) = cos 4 x – sen 4 x f(x) = cos 2x = cos 4 x – sen 4 x cos2x fórmulas do arco duplo sen 2x = 2sen x.cos x cos 2x = cos 2 x – sen 2 x

26 25 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNÇÃO TANGENTE y = tg x tg x 0 não 0 não 0 existe existe 0 o 90 o 180 o 270 o 360 o x x IMAGEM: DOMÍNIO: REAIS CRESCENTE: SEMPRE PERÍODO: {x |x + k } O domínio da função f(x) = tg 2x é:


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