TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO.

Apresentação em tema: "TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO."— Transcrição da apresentação:

1 TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO

2 TRIGONOMETRIA Triângulo Retângulo b sen  = a c cos  = a b tg  = 
Num vão entre duas paredes, deve-se construir uma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de 4 e o vão entre elas é de 12m, determine o ângulo, em graus, que a rampa formará com o solo. m b sen  = a c cos  = a b tg  =   = 30o c 12m

3 57 = x ( UFSC ) Na figura, abaixo, determine o valor de x y y tg 30o =
AD = x DC= x BD = y x x – 38 y y tg 30o = x = 3(x – 38) tg 60o = x x – 38 x = 3x – 114 y y 114 = 2x = = x x – 38 57 = x (x – 38) (x – 38) = y = x

4 SENO COSSENO TANGENTE E DEMAIS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
TRIGONOMETRIA SENO COSSENO TANGENTE E DEMAIS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

5 _ + + _ + + _ _ _ _ + + SENO E COSSENO E TANGENTE SENO COSSENO
+ 1 _ + + _ + + _ _ _ _ – 1 + + 1 + – 1 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS sen2x + cos2 x = 1

6 + _ Sendo sen  = e , calcule: a) cos x b) tg x d) sec x e) cossec x
sen2x + cos2 x = 1 e) cossec x SENO + _ COSSENO TANGENTE c) cotg x

7 Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:
A medida em radianos de um arco de 225º é F  180o 225o  = x.180o 225o x A equação sen x = 2m – 5 admite solução para 2  m  3 V – 1  2m – 5  1 –  2m  4  2m  6 2  m  3

8 F P _ + _ + sen 30o = 1/2 cossec 30o = 2 cossec 210o = - 2
Se sen x > 0, então cossec x < 0 F sen 30o = 1/2 cossec 30o = 2 cossec 210o = - 2 sen 210o = - 1/2 Se tg 20º = a, o valor de V – a tg 160o = – tg 20o = tg 200o = tg 20o = a tg 340o = – tg 20o = – a 160o F P _ + 180o 360o _ + – 2 200o 340o

9 V sen2x + cos2 x = 1 sen2x = 1 – cos2 x cos2x = 1 – sen2 x
Para todo x  1o quadrante, a expressão (sec x – tg x)(sec x + tg x) – sen2x é igual a cos2x V (sec x – tg x)(sec x + tg x) – sen2x 1 – sen2 x cos2 x sen2x + cos2 x = 1 sen2x = 1 – cos2 x cos2x = 1 – sen2 x

10 + + V 32. A solução da equação 2sen2x + 3sen x = 2 para 0  x  2 é
ou x = V 2 sen2 x + 3 sen x – 2 = 0  = b2 – 4ac  = 32 – 4.2.(-2) 150o 30o + +  = 25

11 cossec x = sen x = 9.(sec2 x + tg2 x) 41 sen2x + cos2 x = 1
( UFSC ) Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro quadrante, então o valor da expressão 9.(sec2 x + tg2 x) é: sen2x + cos2 x = 1 cossec x = sen x = 9.(sec2 x + tg2 x) 41

12 TRIGONOMETRIA OPERAÇÃO COM ARCOS

13 Adição e Subtração de Arcos
sen (a  b) = sen a . cos b  sen b . cos a cos (a  b) = cos a . cos a sen a . sen b sen (a + b) = sen a . cos b + sen b. cos a sen (30º + 45º) = sen 30º . cos 45º + sen 45º . cos 30º sen 75º = sen 75º = cos (a – b) = cos a . cos b + sen a. sen b cos (45º - 30º) = cos 45º . cos 30º + sen 45º . sen 30º cos 15º = cos 15º =

14 sen (a  b) = sen a . cos b  sen b . cos a
cos (a  b) = cos a . cos a sen a . sen b O valor de cos 10o cos 35o – sen 10o. sen 35º, é: cos (a + b) = cos a . cos b sen a. sen b cos (10º + 35o) = cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35º cos 45o = cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35º = cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35º

15 sen (2x) = 2sen x . cos x cos (2x) = cos2 x - sen2 x
sen (a  b) = sen a . cos b  sen b . cos a cos (a  b) = cos a . cos a sen a . sen b sen (x + x) = sen x . cos x + sen x . cos x cos (x + x) = cos x . cos x – sen x . sen x Seno e Cosseno do arco duplo sen (2x) = 2sen x . cos x cos (2x) = cos2 x - sen2 x

16 sen (2x) = 2sen x . cos x cos (2x) = cos2 x - sen2 x Sendo cos x = e
, calcule sen 2x e cos 2x: Cálculo do sen x sen (2x) = 2sen x . cos x sen2x + cos2 x = 1 sen (2x) = sen (2x) = cos (2x) = cos2 x - sen2 x cos (2x) = cos (2x) =

17 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS GRÁFICOS
TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS GRÁFICOS

18 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FUNÇÃO SENO y = sen x DOMÍNIO: REAIS x 0o 90o 180o 270o 360o IMAGEM: [-1, 1] x CRESCENTE: 1º. e 4º. q sen x DECRESCENTE: 2º. e 3º. q PERÍODO: 2

19 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FUNÇÃO COSSENO y = cos x DOMÍNIO: REAIS x 0o 90o 180o 270o 360o IMAGEM: [-1, 1] x CRESCENTE: 3º. e 4º. q cos x DECRESCENTE: 1º. e 2º. q PERÍODO: 2

20 f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x FUNÇÕES DA FORMA: Esboçar o gráfico e dê o período, o domínio e o conjunto imagem de: a) y = 2 + sen x x 0o 90o 180o 270o 360o x sen x 2 + sen x IMAGEM: [1, 3] PERÍODO: 2

21 f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x FUNÇÕES DA FORMA: Esboçar o gráfico e dê o período, o domínio e o conjunto imagem de: b) y = 3sen x x 0o 90o 180o 270o 360o x sen x 3sen x IMAGEM: [-3, 3] PERÍODO: 2

22 f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x FUNÇÕES DA FORMA: CONCLUSÕES: a  desloca o gráfico b  estica o gráfico Determinar a imagem da função f(x) = 2 + 3sen x Determinar a imagem da função f(x) = 5 + 2cos x f(x) = sen x f(x) = cos x f(x) = (-1) = - 1 f(x) = (-1) = 3 f(x) = (1) = 5 f(x) = (1) = 7 IMAGEM: [-1, 5] IMAGEM: [3, 7] IMAGEM DA FUNÇÃO SENO E COSSENO: [a – b; a + b]

23 PERÍODO DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO
f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x FUNÇÕES DA FORMA: PERÍODO DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO Determinar o período da função f(x) = sen 2x Determinar o período da função f(x) = 3sen x/2

24 Determine o período da função f(x) = cos4x – sen4x é:
Um pouquinho de matemática básica fórmulas do arco duplo sen 2x = 2sen x.cos x cos 2x = cos2 x – sen2 x (a + b)(a – b) = a2 – b2 (x + 3)(x – 3) = x2 – 9 (x + 5)(x – 5) = x2 – 25 (cos2x + sen2x )(cos2x – sen2x) = cos4x – sen4x (1)(cos2x) = cos4x – sen4x cos2x = cos4x – sen4x f(x) = cos4x – sen4x f(x) = cos 2x

25 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
DOMÍNIO: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS {x  |x  + k} FUNÇÃO TANGENTE y = tg x IMAGEM: REAIS x 0o 90o 180o 270o 360o CRESCENTE: SEMPRE PERÍODO:  x O domínio da função f(x) = tg 2x é: tg x 0 não não existe existe