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1 Wanderley Moura Rezende (IM-UFF) Aquele algo, por vezes claro... e por vezes vago... que é a Matemática. (Lakatos, 1922-74)

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1 1 Wanderley Moura Rezende (IM-UFF) Aquele algo, por vezes claro... e por vezes vago... que é a Matemática. (Lakatos, )

2 2 Matemática: o que é? Tanto para eruditos quanto para leigos não é a Filosofia, mas a experiência ativa na própria Matemática que unicamente pode responder à questão: o que é a Matemática? R. Courant & H. Robbins (1941) Matemática - objeto de pesquisa da Filosofia Lógica Teoria do conhecimento Metafísica Filosofia da Matemática

3 3 Algumas definições de dicionários – Ciência que investiga relações entre entidades definidas abstrata e logicamente (Aurélio) – Ciência que lida com relações e simbolismos de número e grandezas e que inclui operações quantitativas e soluções de problemas quantitativos (Enc. Britânica) – Ciência que estuda objetos abstratos (números, figuras e funções) e as relações entre eles, procedendo por método dedutivo (Houaiss)

4 4 Etimologia – Mathema (greg. tudo o que é objeto de aprendizagem a coisa apreendida, quem a aprende e o modo de aprender - Sexto Empírico ( ) – Escola Pitagórica mathematikoi – círculo interno de seguidores escutar – fazer perguntas – expor idéias – Matematica (séc. XVI) - greg. Mathematike – a ciência matemática

5 5 (...) a investigação matemática, por si própria, devido a seu caráter especial, sua certeza e severidade, leva a mente humana a uma proximidade maior com o divino do que pode ser atingido por meio de qualquer outro recurso. A matemática é a ciência do infinito, seu objetivo a compreensão simbólica do infinito com meios humanos, portanto finitos. (Hermann Weyl, ) A Matemática é a Rainha das Ciências e a Aritmética a Rainha da Matemática (Gauss, ) A Matemática é a honra do espírito humano (Leibniz, ) Algumas definições especiais

6 6 Problema interessante 1 1 2,...

7 7 Matemática e Filosofia Quatro grupos de definições M. como ciência da quantidade M. como ciência das relações M. como ciência do possível M. como ciência das construções possíveis

8 8 M. como ciência da quantidade A primeira definição – Aristóteles( a.C.) & Platão ( a.C.) ( implícita ) Aristóteles( a.C.) – Pitagóricos – a Matemática é A ciência (ciência dos números e das figuras geométricas) Mundo antigo e Renascimento – Séc. XIX - torna-se insuficiente – Comte ( ) Comte ( )

9 9 Definição de Aristóteles O matemático constrói sua teoria por meio da abstração; prescinde de todas as qualidades sensíveis, como peso e leveza, dureza e seu contrário, calor e frio, e das outras qualidades opostas, limitando-se a considerar apenas a quantidade e a continuidade, ora em uma só dimensão, ora em duas, ora em três, bem como os caracteres dessas entidades, na medida em que são quantitativas e continuativas, deixando de lado qualquer outro aspecto delas. Consequentemente, estuda as posições relativas e o que é inerente a elas: comensurabilidade ou incomensurabilidade e proporções.

10 10 Definição de Comte ( ) Matemática é a ciência que tem por objeto a medida das grandezas (...) A arte elementar do raciocínio decisivo (...) só a Matemática pode convenientemente desenvolver.

11 11 M. como ciência das relações Estreitamente ligada à Lógica ou parte desta Logicismo Leibniz ( ) – Mathesis Universalis - sistema geral; uma linguagem para fundamentação do raciocínio em todas as ciências

12 12 Frege ( ) x Psicologismo –O–O conceito de razão pertence (...) ao campo da lógica pura. Aqui não interessa o conteúdo especial da relação, mas exclusivamente a sua forma lógica. Se algo pode ser afirmado sobre ela, a verdade desse algo é analítica e reconhecida a priori. B. Russel ( ) - Matemática coincide com a Lógica

13 13 Wittgenstein ( ) –A–A Matemática é um método lógico. As proposições da Matemática são equações, portanto pseudoproposições. A proposição matemática não exprime pensamento algum. De fato, nunca precisamos de proposições matemáticas na vida, mas as empregamos apenas com o fim de, a partir de proposições que não pertencem à Matemática, tirar conclusões que se expressam em proposições que tampouco lhe pertencem. – (...) As equações da Matemática correspondem às tautologias da Lógica e, como estas, nada dizem.

14 14 Carnap ( ) –O–Os cálculos constituem um gênero particular de cálculos lógicos, distinguindo-se deles pela maior complexidade. Os cálculos geométricos são um gênero particular de cálculos físicos. Tese Logicista –C–Construir uma Lógica exata –D–Definir todos os conceitos da M. em termos dos conceitos da Lógica –D–Deduzir todos teoremas da M. a partir dessas definições e por meio dos princípios da Lógica C. S. Peirce ( ) – M– Matemática ~ Lógica. Mas... –(–(...) enquanto a Matemática é a ciência que infere conclusões necessárias, a lógica é a ciência do modo de inferir conclusões necessárias.

15 15 M. como ciência do possível Hilbert ( ) –A–A Matemática pode ser construída como simples cálculo sem exigir interpretação alguma. –S–Sistema axiomático Enumerar conceitos básicos e relações básicas; Enumerar os axiomas e destes deduzir todos os outros enunciados a partir das relações básicas. Formalismo Possível ~ aquilo que não implica contradição

16 16 Bourbaki (1939 / ) – Matemática é simplesmente o estudo de estruturas abstratas ou padrões formais de associação T. de Gödel ( ) – exclui a possibilidade da Matemática como sistema único e total De fato, pode-se construir uma máquina que seja capaz de resolver determinado problema, mas não uma máquina que seja capaz de resolver todos os problemas (E. Nagel – G.R. Newmann)

17 17 M. como ciência das construções possíveis Kant ( ) – Matemática como construção de conceitos Poincaré ( ) – polêmicas antiformalistas Intuicionismo – A construção de que o intuicionismo fala é conceitual e não se refere a fatos empíricos

18 18 Brouwer ( ) –A–A Matemática identifica-se com a parte exata do pensamento humano e por isso não pressupõe ciência alguma, nem a lógica, mas exige uma intuição que permita apreender a evidência dos conceitos e das conclusões. Ponto de vista de Brouwer –A–A Matemática Pura é uma criação livre do espírito e não tem relação alguma com os fatos de experiência. –A–A simples constatação de um fato de experiência sempre contém a identificação de um sistema matemático. –O–O método das ciências da natureza consiste em reunir os sistemas matemáticos contidos nas experiências isoladas em um sistema puramente matemático construído com este fim.

19 19...e agora José ???? J. Ferrater Mora ( ) –P–Para o Logicismo, (...), a M. se reduz à Lógica. Para o formalismo, (...), a M. pode ser formalizada por completo; (...). Para o intuicionismo, (...), pode-se falar de entes matemáticos tão somente se podemos construí- los mentalmente. Cada uma destas posições enfrenta dificuldades peculiares (...). Cada uma destas posições, por outro lado, alcançou grandes triunfos e impulsionou sobremaneira o progresso na matemática. Não se pode prever que teoria triunfará definitivamente; o mais provável é que seja preciso manter as partes mais fecundas de cada uma delas.

20 20 Nicola Abbagnano (1971) –E–E já que é difícil ignorar a importância do aspecto linguístico da Matemática, que serviu de base para o logicismo, o pensamento matemático conteponrâneo é dominado por certo ecletismo.

21 21 Relação entre a Matemática e outras Ciências Matemática: Ciência ou Linguagem? Para alguns... Linguagem Universal Leibniz ( ) - Mathesis Universalis – sistema geral; uma linguagem para fundamentação do raciocínio em todas as ciências

22 22 A matemática é a linguagem com a qual Deus escreveu o Universo Galileu ( )

23 23 O Positivismo – Comte ( ) Sistema comteano (1844): Matemática – Astronomia – Física – Química – Biologia – Sociologia [...] a primeira necessariamente o ponto de partida exclusivo e a última o fim único e essencial [...] o conjunto desta fórmula enciclopédica, exatamente conforme as verdadeiras afinidades dos estudos correspondentes [...] permite enfim a cada inteligência renovar à sua vontade a história geral do espírito positivo, ao passar, de modo quase insensível, das mais insignificantes idéias matemáticas aos mais altos pensamentos sociais.

24 24 O Construtivismo Piaget ( ) - O Círculo Piagetiano –P–Pretende fundar uma teoria do conhecimento científico que conduza das mais elementares atividades psicofisiológicas do sujeito aos mais altos pensamentos científicos. –P–Ponto de partida: a Matemática e a Lógica. Seguem-se: a Física, a Biologia e por, último, a Psicologia Experimental e a Sociologia (unificadas com o nome de Psico-Sociologia) Vygotsky ( ) A correção absoluta só se consegue para lá da linguagem natural, na Matemática

25 25 Enciclopédia Francesa DAlembert ( ) e Diderot ( ) Discurso Preliminar O conhecimento é constituído por três raízes Memória, Razão e Imaginação (História) (Filosofia) (Poesia) A Lógica - lugar de destaque – engloba as funções da Língua. A Matemática - terreno das ciências naturais.

26 26 Ciência ou Linguagem? Dicionário de Filosofia (Nicola Abbagnano, 1971 ) Ciência – Conhecimento que inclua, em qualquer forma ou medida, uma garantia da própria validade. Linguagem – Em geral, o uso de signos intersubjetivos, que são os que possibilitam a comunicação.

27 27 A árvore cartesiana a condição de possibilidade do conhecimento (a seiva) Descartes ( , Discurso sobre o método) Astronomia, Medicina, etc. Metafísica (incluindo a religião) Física (Filosofia Natural)

28 28 N.J.Machado (1995) (...) a Língua e a Matemática constituem os dois sistemas básicos de representação da realidade. (...) São instrumentos de expressão e de comunicação e, conjuntamente, são uma uma condição de possibilidade do conhecimento em qualquer área. O par Língua/Matemática compõem uma linguagem mista, imprescindível para o ensino e com as características de um degrau necessário para alcançar-se as linguagens específicas das disciplinas particulares.

29 29 Algumas referências curiosas... Ah, prometo àqueles meus professores desiludidos que na próxima vida eu vou ser um grande matemático. Porque a Matemática é o único pensamento sem dor (M. Quintana, ) Tenho capacidades e talentos muito restritos. Nenhum para as Ciências Naturais, nenhum para a Matemática, nada para as coisas quantitativas (S. Freud, ) Está praticamente fora de questão que eu escreva artigos. A única ocupação que me permite conservar a necessária paz de espírito é a Matemática (K. Marx, ) O princípio criador reside na Matemática; sua certeza é absoluta, enquanto se trata da Matemática abstrata, mas diminui na razão direta de sua concretização (Einstein, )

30 30 Na Matemática, para saborear com prazer o fruto é preciso conhecer bem as suas raízes. Malba Tahan ( 1895 a 1974 ) Júlio César de Mello e Souza

31 31 Ecletismo Reunião de elementos doutrinários de origens diversas que não chegam a se articular em uma unidade sistemática consistente.


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