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Capítulo 5 Fenomenologia do Problema de Fechamento da Turbulência e Equações da Turbulência.

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1 Capítulo 5 Fenomenologia do Problema de Fechamento da Turbulência e Equações da Turbulência

2 Como foi comentado em unidades anteriores, uma das características mais importantes de um escoamento turbulento é a multiplicidade de escalas Introdução sobre o problema de fechamento e a modelagem da turbulência

3 Multiplicidade de escalas --> Número de graus de liberdade Percebe-se com esta equação que quanto maior o número de Reynolds maior será o número de graus de liberdade do escoamento

4 Exemplo do cálculo do número de graus de liberdade em dois casos práticos extremos Para o cálculo do Ngl deste escoamento, tomar-se-á alguns dados típicos: l 2000 km (escala de comprimento característica) e 1 mm (menor escala da turbulência, escala dissipativa de Kolmogorov).

5 Vê-se que a solução teórica ou numérica do problema acima está fora das possibilidades atuais, mesmo com os maiores supercomputadores existentes. Outro exemplo: Turbulência de grelha

6 Para o cálculo do Ngl, novamente toma-se alguns dados típicos: l = 4 mm (largura do passo da grelha); U = 10 m/s (velocidade típica); = m 2 /s (viscosidade cinemática). Com estas informações tem-se Re=4.000, o que fornece Ngl=1,3x10 8. Verifica-se que, mesmo neste caso a um modesto número de Reynolds, o cálculo explícito de todos os graus de liberdade não é possível. A maior parte dos problemas práticos de engenharia são caracterizados por números de Reynolds que se localizam nesta faixa. Surge então a questão: como resolver esta classe de problemas?

7 Reynolds (1894) deu prosseguimento a desenvolvimentos sobre este assunto e propos um processo de decomposição das equações governantes de tal forma a se analisar o comportamento médio do escoamento e modelar suas flutuações Esta decomposição proposta conduz ao chamado problema de fechamento da turbulência e deu origem a um vasto domínio de pesquisa, modelagem da turbulência Em outra unidade este problema será investigado e serão apresentadas duas linhas de modelagem: modelagem estatística clássica (simulação numérica do comportamento médio dos escoamentos turbulentos) e modelagem sub- malha (simulação numérica de grandes escalas, onde as grandes estruturas são resolvidas explicitamente e as menores estruturas são modeladas).

8 Equações da Turbulência à Luz do Processo Histórico A chamada Simulação Numérica Direta seria aquela capaz de, dado um escoamento caracterizado por um valor do número de Reynolds, resolver todos os graus de liberdade ou todo o espectro de energia associado ao escoamento. Com base nos dois exemplos colocados na seção precedente, mesmo para os escoamentos a baixos números de Reynolds não é possível praticar SND, ou seja, resolver diretamente todos os graus de liberdade que caracterizam os escoamentos turbulentos. Surge então a ideia de separação ou decomposição das escalas da turbulência.

9 O regime turbulento é a regra: na natureza em processos controlados Mais do que isto, na engenharia moderna, é importante poder controlar a turbulência Computar os efeitos da turbulência em nossos cálculos é de muita importância Controlar exige compreender: Experimentar no laboratório Experimentar computacionalmente

10 A solução das Equações de Navier-Stokes levaria à representação fiel da física dos escoamentos

11 Decomposição das escalas da Turbulência Saint-Venant: Boussinesq : Reynolds: Reynolds/Boussinesq, propuseram independentemente, decompor as variáveis de NS em uma parte média e uma parte flutuante, de forma a se poder resolver escoamentos turbulentos

12 Decomposição das escalas da Turbulência

13 Equações médias de Reynolds Neste caso, conforme já comentado, separa-se um sinal genérico na sua parte média média temporal e na sua parte flutuante: Propriedades associadas ao conceito de separação de escalas por meio de médias A média de uma flutuação é nula

14 A média do produto de duas médias é igual ao produto das duas médias A média do produto de uma variável média por uma flutuação de uma variável é nula Observa-se que em todas as propriedades descritas, considerou-se que a média de uma variável é uma constante.

15 Equações Médias de Reynolds Conservação da massa Aplicando o operador média sobre esta equação e utilizando a propriedade comutativa entre este operador e o operador derivada parcial, tem-se a conservação da massa para as médias das componentes da velocidade Subtraindo-se uma equação da outra, tem-se a conservação da massa para as flutuações das componentes da velocidade: As flutuações de velocidade obedecem à conservação da massa.

16 Equações Médias de Reynolds Equação do balanço de quantidade de movimento Aplicando-se o operador média sobre esta equação e utilizando-se da propriedade comutativa, tem-se a seguinte equação Aplicando-se a decomposição de escalas

17 Utilizando-se das três propriedades já comentadas, tem-se que: Observa-se que a consequência imediata do processo de decomposição de escalas e da transformação das equações originais em equações médias, é o aparecimento de um tensor adicional, conhecido como tensor de Reynolds. Ele pode ser reescrito na forma matricial como abaixo:

18 Verifica-se que este tensor é simétrico. Ele tem natureza física semblante ao tensor viscoso molecular, apesar de sua origem, ligada ao termo não linear. Desta forma é natural transpor este tensor para o segundo membro da equação de transporte e agrupá-lo ao tensor viscoso: Mais equações que incógnitas! Fechamento! -> Gerar mais equações de transporte? Modelagem da turbulência!

19 Equações de Navier-Stokes filtradas Decompondo as variáveis em suas partes filtradas e flutuantes:

20 Conceito de filtros O processo de filtragem pode ser definido como sendo a integral de convolução envolvendo a função a ser filtrada e uma função filtro apropriada, como ilustra a equação abaixo. Exemplo da função G

21 Aplicando este filtro sobre uma função tem-se que a função filtrada assume o valor médio da função no interior do volume de integração:

22 Ilustra-se a seguir uma situação unidimensional de um processo de filtragem espacial. Neste caso o tamanho característico do filtro é x e o número de onda de corte é k c. Nota-se que quanto menor for x maior será o número de onda de corte e maiores serão as freqüências espaciais e temporais capturadas Com este tipo de filtro a distância dos pontos vizinhos não influenciam no cálculo do valor da função filtrada. Um segundo tipo de função filtro G, como uma gausiana, pondera a influência dos pontos vizinhos em função da distância ao ponto em questão.

23 Propriedades associadas ao conceito de separação de escalas por meio de filtragem das equações Uma flutuação filtrada não é nula Esta propriedade se deve ao fato que uma variável filtrada pela segunda vez não é, forçosamente, igual à mesma variável filtrada pela primeira vez, como ilustra a figura abaixo:

24 O produto filtrado de uma variável média por uma flutuação de uma variável é diferente de zero A produto de duas variáveis filtradas, filtrado novamente, é diferente do produto das duas variáveis filtradas separadamente

25 Equações de Navier-Stokes filtradas Conservação da massa Operador filtro + propriedade comutativa entre este operador e o operador derivada parcial Subtraindo -se uma equação da outra

26 Equação de balanço da quantidade de movimento Estaria esta equação na forma de ser resolvida? Porque não? Aplicando-se a decomposição de escalas ao termo não linear:

27 Necessita-se ainda de uma decomposição Surge o chamado tensor de Leonard Logo, Incógnitas à mais!Modelagem da turbulência!

28 Os tensores adicionais devem ser modelados Antes disto, façamos um estudo comparativo entre as equações médias de Reynolds e as equações filtradas.

29 Equações Médias de Reynolds Equações Filtradas de Navier-Stokes

30 Equações Globais Filtradas para a Turbulência Germano (1996)

31 Equações Médias de Reynolds Equações Filtradas Globais Equações Filtradas - desprezando-se os tensores cruzados e de Leonard

32 Equações Médias de Reynolds: o tensor de Reynolds modela a transferência de energia entre todo o espectro de freqüências e o escoamento médio Grande responsabilidade para os modelos que deverão fechar este sistema de equações => falta de generalidade Equações Filtradas: o tensor de Reynolds modela a transferência de energia entre a banda resolvida e a banda não resolvida do espectro Menor responsabilidade para os modelos sub-malha: modelos mais simples e maior generalidade ==> malha mais fina e maior custo computacional.

33 A equação é a mesma para o que se chama de Equação média de Reynolds e Equações Filtradas O que difere? O que se busca representar com este modelo matemático O tipo de metodologia a ser utilizada

34 Qual a metodologia a ser utilizada? Depende do objetivo! Se o objetivo é o comportamento médio do escoamento: > Diferentes tipos de modelos: k-eps, Rij, etc. (esquemas de discretização espacial e temporal de ordem baixa => menor custo, pois são várias equações de transporte a mais a serem resolvidas!!) > Existem modelos diferentes para diferentes tipos de problema ==> pouca generalidade.

35 Se o objetivo da análise é o comportamento físico do problema: Baixos Reynolds SND SGE SND Baixa difusão numérica - esquemas numéricos de alta ordem de precisão

36 Se o objetivo é o comportamento físico do problema: Altos Reynolds SGE Baixa difusão numérica - esquemas numéricos de acima de segunda ordem no tempo e no espaço

37 Observações Finais sobre as Equações As equações para a turbulência são as mesmas, indiferente às metodologias que foram utilizadas para deduzí-las O problema de fechamento é resolvido por meio de duas correntes filosóficas: > Primeira: calcular menos e modelar mais > Segunda: calcular mais e modelar menos Qual o tipo de modelagem a ser utilizada? Depende dos objetivos !!!


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