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Otimização do Método Multigrid Geométrico em Transferência de Calor

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Apresentação em tema: "Otimização do Método Multigrid Geométrico em Transferência de Calor"— Transcrição da apresentação:

1 Otimização do Método Multigrid Geométrico em Transferência de Calor
Dr. Sc. MARCIO AUGUSTO VILLELA PINTO I Seminário de Multigrid de 2008 LENA - UFPR Curitiba – 17/04/2008

2 Roteiro da apresentação
Introdução; Fundamentação teórica; Motivação; Objetivos; Revisão bibliográfica; - Dados de implementação; Problemas abordados: - unidimensionais lineares e não-linear; - bidimensional linear (isotrópico); - bidimensional linear (anisotrópico); Conclusões gerais; Contribuições; Trabalhos futuros.

3 Técnicas utilizadas: experimental, teórica e numérica.
Introdução Modelos matemáticos na dinâmica dos fluidos computacional recaem em equações diferenciais que geralmente não têm soluções analíticas conhecidas; Técnicas utilizadas: experimental, teórica e numérica. - Estas eq. diferenciais são discretizadas resultando em um conjunto de equações algébricas do tipo: - Problemas práticos; Características da matriz A; - Erros; Métodos diretos X Métodos iterativos.

4 Queda do resíduo para o solver GS e 4 tamanhos de malhas
Introdução Queda do resíduo para o solver GS e 4 tamanhos de malhas

5 Introdução Fonte:

6 Engrossamento: (engross. Padrão, r = 2)
Fundamentação teórica Engrossamento: (engross. Padrão, r = 2)

7 Fundamentação teórica
Engrossamento: e (semi-engrossamento) Anisotropia geométrica: Isotropia N = 9x9; RA = Anisotropia N = 5x9; RA = 2

8 Ciclo V: Esquema CS Fundamentação teórica h 2h 4h 8h
Resolver Au=f e verificar a convergência h Resolver Au=f com u0 , calcular o resíduo (r) e restringir Resolver Ae=r calcular o resíduo e restringir 2h Corrige (e) e Resolve Ae=r Prolonga a correção (e) 4h Resolver Ae=r prolonga a correção (e) 8h

9 Resolver A(u)=A(v)+r e prolonga a correção (e=u-v)
Fundamentação teórica Esquema FAS Resolver Au=f e verificar a convergência h Resolver A(u)=f com u0 , restringe o resíduo (r) e a solução (v) Resolver A(u)=A(v)+r restringe o resíduo e a solução 2h 4h Corrigir (v) e Resolver Au=f Prolonga a correção Resolver A(u)=A(v)+r e prolonga a correção (e=u-v) 8h

10 Objetivos específicos:
Objetivos gerais: - Utilizar o método multigrid para melhorar a taxa de convergência em problemas lineares e não-lineares, uni e bidimensionais. - Utilizar o método multigrid para melhorar a taxa de convergência em problemas anisotrópicos. Objetivos específicos: - Comparar os esquemas CS e FAS para as equações de difusão, advecção-difusão e Burgers em malhas isotrópicas. - Comparar algoritmos baseados em engrossamento padrão e semi-engrossamento em malhas anisotrópicas.

11 - Razões de engrossamento: - Brandt (1977): r = 2, 3 e 3/2;
Revisão bibliográfica - Razões de engrossamento: - Brandt (1977): r = 2, 3 e 3/2; - Briggs et al. (2000): r ≠ 2 desvantagem; - Stüben (1999, 2001): r = 2 e 4 em anisotropias. - CS e FAS: - Yan e Thiele (1998): Variante do FAS; - Mesquita e de-Lemos (2004): CS para não-linear. - Semi-engrossamento: - Mulder (1989): SE múltiplo; - Montero et al. (2001): plano EP x plano SE; - Zhang (2002): SE parcial; - Larsson et al. (2005): SE condicional para Eq. Poisson.

12 - Linguagem: FORTRAN/95; - Multigrid: Geométrico;
Dados de implementação - Linguagem: FORTRAN/95; - Multigrid: Geométrico; - Suavizadores: TDMA, El_Gauss, GS, MSI, ADI; Engrossamento: r = 2, 3, 4 e 5; RA: 1/1024, 1, 2, 16, 128, 1024 e 8192; - Restrição: Injeção; - Prolongação: Interpolação linear (1D) e bilinear (2D); - Critério de parada: ; - Estimativas inicias e tolerâncias (padrão): ,

13 Outras estimativas iniciais: e
Dados de implementação Outras estimativas iniciais: e - Outras tolerâncias: e - Quem é ? Quem é ? - Quem é ? Quem é ?

14 Equação de advecção-difusão:
Problemas unidimensionais lineares e não-linear O problema linear de transferência de calor unidimensional pode ser modelado pelas equações diferenciais ordinárias: Equação de difusão: Equação de advecção-difusão:

15 Problemas unidimensionais lineares e não-linear
O problema não-linear de escoamento unidimensional pode ser modelado pela equação diferencial ordinária: Equação de Burgers:

16 Itens abordados (influência): - Número de incógnitas;
Escopo Itens abordados (influência): - Número de incógnitas; - Iterações internas; - Níveis de malhas; - Razões de engrossamento; - Esquemas CS e FAS.

17 Número de elementos (1D):
2 3 4 5 N mínimo N máximo

18 Problema bidimensional linear (isotrópico)
O problema linear de condução de calor bidimensional pode ser modelado pela equação diferencial parcial: Equação de Laplace:

19 Itens abordados (influência): - Número de incógnitas;
Escopo Itens abordados (influência): - Número de incógnitas; - Iterações internas; - Níveis de malhas; - Razões de engrossamento; - Solvers; - Esquemas CS e FAS.

20 - Número de incógnitas (2D, iso):
N mínimo N máximo SG 3x3 = 9 513x513 = 2 2049x2049 = 3 1459x1459 = 4 5 1251x1251 =

21 - Malhas: isotrópicas e anisotrópicas;
Problema bidimensional anisotrópico: Escopo - Malhas: isotrópicas e anisotrópicas; Várias razões de aspecto para anisotropia; Algoritmos para anisotropia: EP, SE, EP-SE e SE-EP. - Itens abordados (influência): - Iterações internas; - Razão de aspecto; - Número de incógnitas; - Algoritmos.

22 - Número de incógnitas (2D, aniso):
RA N mínimo N máximo 1/1024 4097x5 16385x17 1 129x129 2049x2049 2 65x129 2049x4097 16 17x257 513x8193 128 5x513 129x16385 1024 5x4097 33x32769 8192 5x32769 17x131073

23 - O solver MSI é mais rápido que GS e ADI para os esquemas CS e FAS;
Conclusões gerais - O esquema FAS (r = 3) é mais rápido que o CS (r = 2) para problemas lineares e não linear, 1D e 2D; - ITI afeta o significativamente o tempo de CPU; e o esquema utilizado (CS ou FAS) e a dimensão do problema influenciam no ; - L afeta o significativamente o tempo de CPU; e o esquema utilizado (CS ou FAS) não tem muita influência no ; - O solver MSI é mais rápido que GS e ADI para os esquemas CS e FAS;

24 Conclusões gerais - O algoritmo SE-EP (dentre os algoritmos que foram testados) resulta em menor tempo de CPU para problemas anisotrópicos com ou ; - Grande variação de RA resulta em pequena variação do para o algoritmo SE-EP .

25 Ciclos e Roteiros (Fabiane, Marcio e Marchi);
Trabalhos atuais e futuros Ciclos e Roteiros (Fabiane, Marcio e Marchi); Outras Anisotropias Geométricas (Fabiane, Marcio e Marchi); Anisotropia Física (Roberta, Marcio e Marchi); Multigrid Algébrico em problemas difusivos e advectivos (Roberta, Marcio e Marchi).

26 Trabalhos atuais e futuros
- Problemas difusivos 1D e 2D com o uso de Volumes Finitos (Rafael, Marcio e Marchi); Anisotropia Geométrica (Partial Semicoarsening - Zhang) com razão de engrossamento agressiva (Marcio e Marchi).

27 Otimização do Método Multigrid Geométrico em Transferência de Calor
Dr. Sc. MARCIO AUGUSTO VILLELA PINTO I Seminário de Multigrid de 2008 LENA - UFPR Curitiba – 17/04/2008


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