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Otimização do Método Multigrid Geométrico em Transferência de Calor Dr. Sc. MARCIO AUGUSTO VILLELA PINTO I Seminário de Multigrid de 2008 LENA - UFPR Curitiba.

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1 Otimização do Método Multigrid Geométrico em Transferência de Calor Dr. Sc. MARCIO AUGUSTO VILLELA PINTO I Seminário de Multigrid de 2008 LENA - UFPR Curitiba – 17/04/2008

2 2 Roteiro da apresentação - Introdução; - Fundamentação teórica; - Motivação; - Objetivos; - Revisão bibliográfica; - Dados de implementação; - Problemas abordados: - unidimensionais lineares e não-linear; - bidimensional linear (isotrópico); - bidimensional linear (anisotrópico); - Conclusões gerais; - Contribuições; - Trabalhos futuros.

3 3 Introdução - Modelos matemáticos na dinâmica dos fluidos computacional recaem em equações diferenciais que geralmente não têm soluções analíticas conhecidas; - Técnicas utilizadas: experimental, teórica e numérica. - Estas eq. diferenciais são discretizadas resultando em um conjunto de equações algébricas do tipo: - Problemas práticos; Características da matriz A; - Erros; Métodos diretos X Métodos iterativos.

4 4 Introdução Queda do resíduo para o solver GS e 4 tamanhos de malhas

5 5 Introdução Fonte:

6 6 Fundamentação teórica Engrossamento: ( engross. Padrão, r = 2 )

7 7 Fundamentação teórica Engrossamento: e ( semi-engrossamento ) Anisotropia geométrica: Isotropia N = 9x9; RA = 1 Anisotropia N = 5x9; RA = 2

8 8 Resolver Au=f com u 0, calcular o resíduo (r) e restringir Resolver Ae=r prolonga a correção (e) Resolver Au=f e verificar a convergência h 2h h 4h h 8h Resolver Ae=r calcular o resíduo e restringir Corrige (e) e Resolve Ae=r Prolonga a correção (e) Ciclo V: Esquema CS Fundamentação teórica

9 9 Resolver A(u)=f com u 0, restringe o resíduo (r) e a solução (v) Resolver A(u)=A(v)+r e prolonga a correção (e=u-v) Resolver Au=f e verificar a convergência h 2h h 4h h 8h Resolver A(u)=A(v)+r restringe o resíduo e a solução Corrigir (v) e Resolver Au=f Prolonga a correção Fundamentação teórica Esquema FAS

10 10 Objetivos Objetivos gerais: - Utilizar o método multigrid para melhorar a taxa de convergência em problemas lineares e não-lineares, uni e bidimensionais. - Utilizar o método multigrid para melhorar a taxa de convergência em problemas anisotrópicos. Objetivos específicos: - Comparar os esquemas CS e FAS para as equações de difusão, advecção-difusão e Burgers em malhas isotrópicas. - Comparar algoritmos baseados em engrossamento padrão e semi- engrossamento em malhas anisotrópicas.

11 11 Revisão bibliográfica - Razões de engrossamento: - Brandt (1977): r = 2, 3 e 3/2; - Briggs et al. (2000): r 2 desvantagem; - Stüben (1999, 2001): r = 2 e 4 em anisotropias. - CS e FAS: - Yan e Thiele (1998): Variante do FAS; - Mesquita e de-Lemos (2004): CS para não-linear. - Semi-engrossamento: - Mulder (1989): SE múltiplo; - Montero et al. (2001): plano EP x plano SE; - Zhang (2002): SE parcial; - Larsson et al. (2005): SE condicional para Eq. Poisson.

12 12 Dados de implementação - Linguagem: FORTRAN/95; - Multigrid: Geométrico; - Suavizadores: TDMA, El_Gauss, GS, MSI, ADI; - Engrossamento: r = 2, 3, 4 e 5; - RA: 1/1024, 1, 2, 16, 128, 1024 e 8192; - Restrição: Injeção; - Prolongação: Interpolação linear (1D) e bilinear (2D); - Critério de parada: ; - Estimativas inicias e tolerâncias (padrão):,.

13 13 Dados de implementação - Outras estimativas iniciais: e - Outras tolerâncias: e - Quem é ? Quem é ?

14 14 Problemas unidimensionais lineares e não-linear O problema linear de transferência de calor unidimensional pode ser modelado pelas equações diferenciais ordinárias: Equação de difusão: Equação de advecção-difusão:

15 15 O problema não-linear de escoamento unidimensional pode ser modelado pela equação diferencial ordinária: Equação de Burgers: Problemas unidimensionais lineares e não-linear

16 16 Escopo - Itens abordados (influência) : - Número de incógnitas; - Iterações internas; - Níveis de malhas; - Razões de engrossamento; - Esquemas CS e FAS.

17 17 - Número de elementos (1D): r2345 N mínimo2222 N máximo

18 18 Problema bidimensional linear (isotrópico) O problema linear de condução de calor bidimensional pode ser modelado pela equação diferencial parcial: Equação de Laplace:

19 19 Escopo - Itens abordados (influência) : - Número de incógnitas; - Iterações internas; - Níveis de malhas; - Razões de engrossamento; - Solvers; - Esquemas CS e FAS.

20 20 - Número de incógnitas (2D, iso): r N mínimo N máximo SG3x3 = 9513x513 = x3 = 92049x2049 = x3 = 91459x1459 = x3 = 92049x2049 = x3 = 91251x1251 =

21 21 Problema bidimensional anisotrópico: Escopo - Malhas: isotrópicas e anisotrópicas; - Várias razões de aspecto para anisotropia; - Algoritmos para anisotropia: EP, SE, EP-SE e SE-EP. - Itens abordados ( influência ): - Iterações internas; - Razão de aspecto; - Número de incógnitas; - Algoritmos.

22 22 - Número de incógnitas (2D, aniso): RA N mínimo N máximo 1/ x516385x x x x x x257513x x513129x x409733x x x131073

23 23 Conclusões gerais - O esquema FAS (r = 3) é mais rápido que o CS (r = 2) para problemas lineares e não linear, 1D e 2D; - ITI afeta o significativamente o tempo de CPU; e o esquema utilizado (CS ou FAS) e a dimensão do problema influenciam no ; - L afeta o significativamente o tempo de CPU; e o esquema utilizado (CS ou FAS) não tem muita influência no ; - O solver MSI é mais rápido que GS e ADI para os esquemas CS e FAS;

24 24 Conclusões gerais - O algoritmo SE-EP (dentre os algoritmos que foram testados) resulta em menor tempo de CPU para problemas anisotrópicos com ou ; - Grande variação de RA resulta em pequena variação do. para o algoritmo SE-EP.

25 25 Trabalhos atuais e futuros - Ciclos e Roteiros (Fabiane, Marcio e Marchi); - Outras Anisotropias Geométricas (Fabiane, Marcio e Marchi); - Anisotropia Física (Roberta, Marcio e Marchi); - Multigrid Algébrico em problemas difusivos e advectivos (Roberta, Marcio e Marchi).

26 26 Trabalhos atuais e futuros - Problemas difusivos 1D e 2D com o uso de Volumes Finitos (Rafael, Marcio e Marchi); - Anisotropia Geométrica (Partial Semicoarsening - Zhang) com razão de engrossamento agressiva (Marcio e Marchi).

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