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Múltiplas extrapolações de Richardson (MER) para reduzir e estimar o erro de discretização em CFD Leandro Alberto Novak (UFPR)

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1 Múltiplas extrapolações de Richardson (MER) para reduzir e estimar o erro de discretização em CFD Leandro Alberto Novak (UFPR)

2 Introdução: Erro : E( ) = - solução analítica; solução numérica. Erro numérico: E( ) = E (, n,, p ) erro de truncamento; n erro de iteração; erro de arredondamento; p erro de programação.

3 Estimativa do erro: U RI ( ) = - U erro numérico estimado; solução analítica estimada; = 1 + ( 1 - 2)/(q pL – 1) 1 e 2 = soluções numéricas obtidas em duas malhas (h2=grossa e h1=fina) com número diferente de nós, sendo cada uma destas malhas representada pelo tamanho dos seus elementos (h); q = h2 / h1 é a razão de refino entre as duas malhas; pL = ordem assintótica do erro de discretização.

4 E( ) = C 1 h pL + C 1 h P2 + C 1 h P = variável de interesse; h = tamanho dos elementos da malha; C 1, C 2, C 3,... = coeficientes que independem de h; p L, p 2, p 3,... = ordens verdadeiras do erro de discretização; p L = ordem assintótica do erro de discretização (p L 1; é a inclinação da curva do erro em um gráfico log(|E|) versus log (h) para h 0

5 As estimativas do erro de discretização : Estimativa a priori E( ) = C 1 h pL para h 0 Estimativa a posteriori U RI ( 1 ) = ( )/(q PL – 1)

6 Richardson: erro entre a solução analítica estimada e a solução analítica Tc (°C) hP=2p=4p=6 5,0000E-015,0732E-02 2,5000E-011,4120E-021,9161E-03 1,2500E-013,6468E-031,5577E-043,8422E-05 = 1 + ( 1 - 2)/(q pL – 1)

7 Modelo matemático: Lapalce 2D: Condições de contorno:

8 Temperatura (x,y) Temperatura média

9 Modelo numérico: Equação de Lapalce 2D discretizada DF: Temperatura média:

10 Erro de discretização médio:

11 Tc (°C) – Variáveis de interesse versus h

12 solmed_T (°C) - Variáveis de interesse versus h

13 Tc (°C) - PE versus h

14 Tc (°C) - Emer versus h

15 Tc (°C) - Variáveis de interesse versus h – Consequências ordens

16 Resultados: A utilização da ordem efetiva equivocada (PE) impacta diretamente o resultado da simulação; A diferença entre Eh e Emer tendem a zero quando h 0;

17 O resultado de Eh e Emer nas variáveis estudadas possuem bom comportamento mostrando-se até agora estáveis; É vantajoso utilizar o MER. Se chega a um bom resultado com uma malha menos refinada.

18 Próximos Passos: Testar o comportamento das variáveis de interesse com real 4 e real 16. Resolver numericamente problemas envolvendo as seguintes equações: Burgers; Navier-Stokes com formulação função de corrente e velocidade.


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