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IG-UNICAMP© Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria Descritiva V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983. (B) (A)

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Apresentação em tema: "IG-UNICAMP© Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria Descritiva V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983. (B) (A)"— Transcrição da apresentação:

1 IG-UNICAMP© Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria Descritiva V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, (B) (A)

2 E STUDO DO P LANO Tal como vimos no estudos das retas, um plano pode ocupar várias posições em relação aos planos de projeção, sendo expresso, em consequência, por nomes diferentes. IG-UNICAMP©

3 Planos Projetantes são planos perpendiculares a pelo menos um dos Planos de Projeção. A projeção de faces contidas em Planos Projetantes é reduzida a um segmento de reta no Plano de Projeção ao qual é perpendicular. Se for paralela ao outro Plano de Projeção, será projetada em V.G. no plano ao qual é paralela E STUDO DO P LANO

4 ( ) Traço de um plano é a intersecção deste plano com um outro. Entretanto, empregaremos aqui o termo TRAÇO DE UM PLANO para exprimir a intersecção de um plano com os planos de projeção. traço horizontal do plano: reta (intersecção do plano a com o plano de projeção horizontal ). traço vertical do plano: reta (intersecção do plano a com o plano de projeção vertical ). IG-UNICAMP©

5 E STUDO DO P LANO ( ) Em geral um plano possui os dois traços, podendo ENTRETANTO pode possuir somente um quando um plano for paralelo à um dos planos de projeção, neste caso NAO TERÁ TRAÇO NESTE PLANO. IG-UNICAMP©

6 E STUDO DO P LANO T=T Quando dois traços são distintos e não paralelos à LT, eles concorrem num mesmo ponto da LT. Em épura, para a determinação do plano são dados a abscissa do ponto T=T de concorrência dos traços sobre a LT e os ângulos (1) e (2). Estes ângulos são orientados no sentido trigonométrico e têm a LT como origem. IG-UNICAMP© Assim, no exemplo ao lado, o ângulo de com a LT é contado no sentido da seta 1 e é positivo, enquanto o ângulo de com a LT é negativo e contado no sentido da seta 2.

7 E STUDO DO P LANO PLANO FRONTAL O plano Frontal é Perpendicular em relação ao PH (portanto, Projetante em relação ao PH) e paralelo ao PV. A sua projeção: Será, uma reta no PH e, Estará em V.G. no PV. Como o plano é PROJETANTE, toda e qualquer figura que estiver contida nele, terá a projeção no PH coincidente com 1, que é uma reta. PV PH A1=D1 B1=C1 A2 B2 C2 D2 A1=D1 B1=C1 A B C D A2 B2 D2 C2 No espaço Na épura

8 E STUDO DO P LANO PLANO HORIZONTAL O plano HORIZONTAL é perpendicular em relação ao PV (portanto, é Projetante em relação ao PV) e paralelo ao PH. A sua projecção: Será uma reta no PV. Estará em V.G. no PH. Como o plano é PROJETANTE, toda e qualquer figura que estiver contida nele,terá a projecção no PV coincidente com ( 2), que é uma reta. A1 B1 C1 D1 A2=D2 B2=C2 No espaço Na épura PV PH A2=D2 B2=C2 A1 B1 D1 C1 A B C D

9 E STUDO DO P LANO PLANO DE PERFIL O plano de PERFIL é Perpendicular em relação ao PV e ao PH portanto, é Projetante em relação tanto ao PV quanto ao PH e dizemos que ele é DUPLAMENTE PROJETANTE. A sua projecção: Será uma reta no PV. Será uma reta no PH. Como o plano alfa é duplamente PROJETANTE, toda e qualquer figura que estiver contida nele, terá a projeção no PV e no PH coincidente com ( ), que é uma reta. No espaço Na épura A2=B2 C2=D2 PV PH A1=D1 B1=C1 A B C D A2=B2 C2=D2 B1=C1 A1=D1

10 E STUDO DO P LANO PLANO VERTICAL O plano VERTICAL é Perpendicular em relação ao PH (portanto, é Projetante em relação ao PH) e oblíquo ao PV. A sua projecção: Será, uma reta no PH e, Como o plano é PROJETANTE em relação ao PH, toda e qualquer figura que estiver contida nele, terá a projecção no PH coincidente com ( 1), que é uma reta. No espaço Na épura PV PH A1=D1 B1=C1 A B C D A1=D1 C2 D2 A2 B2 A2 D2 C2

11 E STUDO DO P LANO PLANO DE TOPO O plano de TOPO é Perpendicular em relação ao PV (portanto, é Projetante em relação ao PV) e oblíquo ao PH. A sua projecção: Será, uma reta no PV e, Como o plano é PROJETANTE em relação ao PV, toda e qualquer figura que estiver contida nele, terá a projecção no PV coincidente com ( 2), que é uma reta. No espaço Na épura C2=B2 A2=B2 PV PH A2=D2 B1 A1 D1 C1 C2=B2 C1 B1 A1 D1 A B D C

12 E STUDO DO P LANO PLANO DE RAMPA O plano de RAMPA é Perpendicular em relação ao Plano Auxiliar (3º plano) portanto, é Projetante em relação ao Plano auxiliar e oblíquo em relação ao PV e ao PH. A sua projeção: Será um plano no PV, Será um plano no PH. Como o plano é PROJETANTE em relação ao Plano Auxiliar, toda e qualquer figura que estiver contida nele, terá a projecção no Plano Auxiliar coincidente com a 3º projecção, que é uma reta. No espaço Na épura PV PH B1 D1 C1 A1 D1 B1 C2 B2 A2 D2 B2 A2 D2 C2 B A D C

13 E STUDO DO P LANO PLANO QUALQUER O plano QUALQUER não é Projetante em relação a nenhum dos planos de projecção, portanto será necessário a utilização de métodos descritivos para a determinação da V.G. de qualquer figura pertencente a ele. No espaço PV PH A1 B1 C1 B2 A2 C2 B C A B2 A2 C2 A1 B1 C1 Na épura

14 P OSIÇÕES DO P LANO T=T 1. PLANO QUALQUER É o plano oblíquo aos dois planos de projeção. Possui dois traços distintos, concorrendo sobre a linha de terra em um mesmo ponto. Sua épura geralmente se apresenta como se vê na figura abaixo. IG-UNICAMP©

15 Entretanto, pela maneira do plano se situar no espaço, a épura pode aparecer em qualquer das posições indicadas na figura abaixo - o que importa no caso de planos quaisquer é o fatos destes possuírem OS DOIS TRAÇOS OBLÍQUOS À LINHA DE TERRA, NÃO IMPORTANDO COMO FIQUEM. P OSIÇÕES DO P LANO 1. PLANO QUALQUER IG-UNICAMP©

16 E STUDO DO P LANO ( ) É o plano PARALELO AO PLANO DE PROJEÇÃO HORIZONTAL. A épura é caracterizada por possuir apenas um traço, O VERTICAL, PARALELO À LINHA DE TERRA. 2. Planos Paralelos aos Planos de Projeção: PLANO HORIZONTAL IG-UNICAMP©

17 2. Planos Paralelos aos Planos de Projeção: PLANO FRONTAL E STUDO DO P LANO ( ) ( ) É o plano PARALELO AO PLANO DE PROJEÇÃO VERTICAL. A épura é caracterizada por possuir apenas um traço, O HORIZONTAL, PARALELO À LINHA DE TERRA. IG-UNICAMP©

18 E STUDO DO P LANO ( ) É o plano PERPENDICULAR AO PLANO HORIZONTAL DE PROJEÇÃO E OBLÍQUO AO PLANO VERTICAL. A épura é caracterizada por possuir o TRAÇO VERTICAL PERPENDICULAR À LINHA DE TERRA e o HORIZONTAL OBLÍQUO À LINHA DE TERRA. 3. Planos Perpendiculares aos Planos de Projeção: PLANO VERTICAL IG-UNICAMP©

19 E STUDO DO P LANO É o plano PERPENDICULAR AO PLANO VERTICAL DE PROJEÇÃO e OBLÍQUO AO PLANO HORIZONTAL. A épura é caracterizada por possuir o TRAÇO HORIZONTAL PERPENDICULAR À LINHA DE TERRA e o VERTICAL OBLÍQUO À LINHA DE TERRA. 3. Planos Perpendiculares aos Planos de Projeção: PLANO DE TOPO IG-UNICAMP©

20 E STUDO DO P LANO É o plano PERPENDICULAR AOS DOIS PLANOS DE PROJEÇÃO e OBLÍQUO AO PLANO HORIZONTAL. Sua épura é caracterizada por possuir AMBOS OS TRAÇOS EM COINCIDÊNCIA, PERPENDICULARES À LINHA DE TERRA. 3. Planos Perpendiculares aos Planos de Projeção: PLANO DE PERFIL IG-UNICAMP©

21 E STUDO DO P LANO 4. PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA NAO HÁ PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA - SOMENTE PARALELO À INTERSECÇÃO DELES. Este plano é um plano oblíquo aos dois planos de projeção, numa posição particular. Sua épura é caracterizada por possuir AMBOS OS TRAÇOS PARALELOS À LINHA DE TERRA. IG-UNICAMP©

22 E STUDO DO P LANO 4. PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA No caso desta figura, observa-se que o plano está no 1o. diedro, atravessando o 2o e 4o. diedros. Desta forma sua épura é caracterizada por conter o traço vertical acima da LT e o horizontal abaixo da LT. Mas o plano pode estar em outra posição.... IG-UNICAMP©

23 E STUDO DO P LANO.... atravessando os 1o., 2o. e 3o. diedros. Neste caso a épura terá os dois traços acima da LT. IG-UNICAMP©

24 E STUDO DO P LANO = = 4. PLANO PASSANDO PELA LINHA DE TERRA Neste caso, os traços do plano COINCIDEM coma a LINHA DE TERRA. Este também é o caso do PLANO BISSETOR. Não sendo conhecida a inclinação do plano, este só ficará determinado se conhecermos outros elementos, como um ponto ou uma reta deste plano. VEREMOS ISTO ADIANTE IG-UNICAMP©

25 = R ETAS DO P LANO PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO REGRA: Uma reta pertence ao plano quando possui os seus traços sobre os traços correspondentes do plano. EXCEÇÃO: um plano que passe pela LT. Um plano pode ou não conter determinadas retas. Ao lado, o plano horizontal ( ) de traço pode não conter a reta vertical (r) pois só há um único ponto comum à reta e ao plano - que é o ponto (A) onde a reta fura o plano. Entretanto, este mesmo plano de traço pode conter a reta de topo (s), a qual tem seu traço (V) sobre o traço vertical do plano. (A) (r) (s) (V)=V IG-UNICAMP©

26 R ETAS DO P LANO PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO Um plano qualquer sendo oblíquo aos dois planos de projeção, poderá conter as retas que também sejam oblíquas a eles ou, pelo menos, a um deles. Assim, este plano qualquer poderá conter as seguintes retas: RETA QUALQUER RETA HORIZONTAL RETA FRONTAL RETA DE PERFIL A) RETAS DE PLANO QUALQUER IG-UNICAMP©

27 E STUDO DO P LANO r r H V V=(V) T=T H=(H) r r H V=(V) T=T V H=(H) a) Reta Qualquer (r) pertence ao plano de traços e pois os seus traços (V) e (H) estão sobre os traços correspondentes àqueles do plano. (r) NÃO PERTENCE ao plano de traços e pois o seu traço (H) NÃO ESTÁ sobre o traço horizontal p do plano. IG-UNICAMP©

28 E STUDO DO P LANO r r V V=(V) b) Reta Horizontal: uma reta horizontal não tem traço horizontal. Um ponto comum à projeção horizontal da reta e ao traço horizontal do plano será UM PONTO IMPRÓPRIO, isto é, estará no infinito. Conclui-se que a projeção horizontal da reta deverá ser paralela ao traço de mesmo nome do plano. O traço vertical da reta, por sua vez, deverá estar sobre o traço vertical do plano. IG-UNICAMP©

29 E STUDO DO P LANO r r V=(V) H H c) Reta Frontal: uma reta frontal não tem traço vertical. Um ponto comum à projeção vertical da reta e ao traço vertical do plano será UM PONTO IMPRÓPRIO, isto é, a projeção vertical da reta será paralela ao traço vertical do plano. O traço horizontal da reta, por sua vez, deverá estar sobre o traço horizontal do plano. IG-UNICAMP©

30 E STUDO DO P LANO H=(H) B A A B V=(V) (A 1 ) (B 1 ) (H 1 ) d) Reta de Perfil: tratando-se de uma reta de perfil, a épura não indica uma simples vista, nem mesmo se ela pertence ou não a um plano qualquer. Neste caso, opera-se o rebatimento do plano de perfil que contém a reta e determina-se seus traços, os quais, se estiverem sobre os planos de mesmo nome, indicarão que a reta pertence ao plano - caso da figura ao lado. IG-UNICAMP©

31 R ETAS DO P LANO PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO Como o plano horizontal é paralelo ao plano horizontal de projeção, este só poderá conter as retas que também sejam paralelas ao plano ( ), as quais são: RETA HORIZONTAL RETA FRONTOHORIZONTAL RETA DE TOPO B) RETAS DE PLANO HORIZONTAL IG-UNICAMP©

32 E STUDO DO P LANO r r V V=(V) k) Reta Horizontal: neste caso a épura se caracteriza pela coincidência da projeção vertical da reta com o traço ap do plano. O traço vertical da reta - ÚNICO QUE POSSUI - está sobre o traço do plano. RETAS DE PLANO HORIZONTAL IG-UNICAMP©

33 E STUDO DO P LANO r r l) Reta Frontohorizontal: não possuindo traços, a reta frontohorizontal de um plano horizontal é caracterizada pela épura abaixo, onde a sua projeção vertical r coincide com o traço de mesmo nome no plano. RETAS DE PLANO HORIZONTAL IG-UNICAMP©

34 E STUDO DO P LANO r V r=V=(V) m) Reta de Topo: sendo a reta de topo caracterizada por possuir a projeção vertical reduzida a um ponto e a projeção horizontal perpendicular à LT, sua épura exibe a projeção vertical puntual r sobre, coincidente com seu traço vertical. RETAS DE PLANO HORIZONTAL IG-UNICAMP©

35 R ETAS DO P LANO PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO Como o plano frontal é paralelo ao plano vertical de projeção ( ), este só poderá conter as retas que forem paralelas ao mesmo plano ( ), que são: RETA FRONTAL RETA FRONTOHORIZONTAL RETA VERTICAL C) RETAS DO PLANO FRONTAL IG-UNICAMP©

36 E STUDO DO P LANO r H r H=(H) x) Reta Frontal: a projeção horizontal da reta (r) coincide com o único traço do plano, que é o traço horizontal, Neste traço também está contido o único traço da reta, que é o horizontal (H). RETAS DO PLANO FRONTAL IG-UNICAMP©

37 E STUDO DO P LANO r r y) Reta Frontohorizontal: caso simples! - a reta frontohorizontal (r) pertencerá ao plano de traço. RETAS DO PLANO FRONTAL IG-UNICAMP©

38 E STUDO DO P LANO r=(H)=H r z) Reta Vertical: caso simples! - a reta vertical (r) pertencerá a um plano frontal de traço. RETAS DO PLANO FRONTAL IG-UNICAMP©

39 R ETAS DO P LANO PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO Sendo o plano paralelo à LT e oblíquo aos dois planos de projeção, só poderá conter retas paralelas à LT e oblíquas àqueles planos, que são: RETA QUALQUER RETA FRONTOHORIZONTAL RETA DE PERFIL D) RETAS DE UM PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA IG-UNICAMP©

40 E STUDO DO P LANO H=(H) r r H V V=(V) RETAS DE UM PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA a) Reta Qualquer: se os traços da reta estiverem sobre os traços de mesmo nome do plano, a reta pertencerá ao plano. Abaixo temos uma reta (r) qualquer pertencendo a um plano de traços e paralelos à LT. IG-UNICAMP©

41 R ETAS DO P LANO PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO Sendo o plano vertical perpendicular ao plano horizontal de projeção e oblíquo ao plano vertical, só poderá conter retas que sejam perpendiculares ao plano ( ) e oblíquas ao plano ( ), que são: RETA QUALQUER RETA HORIZONTAL RETA VERTICAL E) RETAS DE UM PLANO VERTICAL IG-UNICAMP©

42 E STUDO DO P LANO V=(V) B A H V B A H=(H) RETAS DE UM PLANO VERTICAL a) Reta Qualquer: a reta qualquer (A)(B) da figura abaixo pertence ao plano vertical de traços e pois obedece à regra geral de (i) possuir traços sobre os traços correspondentes do plano e, (ii) sua projeção horizontal coincide com o traço de mesmo nome do plano. IG-UNICAMP©

43 E STUDO DO P LANO V=(V) BA V B A RETAS DE UM PLANO VERTICAL b) Reta Horizontal: a reta horizontal (A)(B) da figura abaixo pertence ao plano vertical pois seu único traço (traço vertical) está sobre o traço vertical do plano ( ) e sua projeção horizontal coincide com o traço do plano. IG-UNICAMP©

44 E STUDO DO P LANO V=(V) r V A r=(H)=H RETAS DE UM PLANO VERTICAL c) Reta Vertical: a reta vertical (r) da figura abaixo pertence ao plano vertical pois seu traço horizontal (que coincide com a projeção puntual) está sobre o traço horizontal do plano e a sua projeção vertical é paralela ao traço vertical do plano. IG-UNICAMP©

45 R ETAS DO P LANO PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO Sendo o plano de topo perpendicular ao vertical de projeção ( ) e oblíquo ao horizontal ( ), só poderá conter retas que sejam oblíquas ao plano ( ) e perpendiculares ao plano ( ), que são: RETA QUALQUER RETA FRONTAL RETA DE TOPO F) RETAS DE UM PLANO DE TOPO IG-UNICAMP©

46 E STUDO DO P LANO H=(H) r r H V V=(V) RETAS DE UM PLANO DE TOPO a) Reta Qualquer: a reta qualquer (r) da figura abaixo pertence ao plano ( ) de topo por possuir seus traços sobre os traços correspondentes do plano. A sua projeção vertical r coincide também com o traço do plano. IG-UNICAMP©

47 E STUDO DO P LANO b) Reta Frontal: Facil !! A reta frontal (s) pertence ao plano de topo pois sua projeção vertical s está sobre o traço vertical do plano e sua projeção horizontal s pertence ao traço horizontal do plano. RETAS DE UM PLANO DE TOPO H=(H) s s H V IG-UNICAMP©

48 E STUDO DO P LANO s=(V)=V s V c) Reta de Topo: Facil !! A reta frontal (s) pertence ao plano de topo pois sua projeção puntual s está sobre o traço vertical ap do plano e sua projeção horizontal s é paralela ao traço horizontal ap do plano. RETAS DE UM PLANO DE TOPO IG-UNICAMP©

49 E STUDO DO P LANO Pertinência de ponto e plano: um ponto pertence ao plano quando pertence à uma reta do plano. Dados o plano qualquer de traços e e o ponto (A), deteminar se o ponto pertence à reta (r). Para a verificação, procede-se da seguinte forma: pela projeção vertical A faz-se passar uma reta. Verifica-se que a projeção horizontal A do ponto não está sobre a projeção de mesmo nome da reta. Então, o ponto (A) não pertence à reta (r). A reta (r) pertence ao plano MAS o ponto (A) não pertence à reta (r), e portanto não pertencerá ao plano. IG-UNICAMP© T=T V V=(V) r r A A

50 E STUDO DO P LANO ( ) ( ) (A) A A A A A IG-UNICAMP© Se for perpendicular ao plano horizontal ( ), para que um ponto a ele pertença, é suficiente que possua sua projeção horizontal sobre o traço horizontal do plano. Seja o ponto (A) pertencendo a um plano ( ) frontal e a projeção horizontal do ponto sobre o traço do plano do plano. Na épura, estando a projeção A sobre, não importa onde esteja a projeção vertical (em A, A, A) - o ponto (A) pertence ao plano.

51 E STUDO DO P LANO (B) B B B2B2 B1B1 B IG-UNICAMP© Se for perpendicular ao plano vertical ( ), para que um ponto a ele pertença, é suficiente que possua sua projeção vertical sobre o traço vertical do plano. Seja o ponto (B) pertencendo a um plano (a) de topo e sua projeção vertical B sobre o traço ap do plano. Na épura, estando a projeção B sobre ap, não importa onde esteja a projeção horizontal (em B, B1, B2) - o ponto (B) pertence ao plano.


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