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1 CONCEITOS E APLICAÇÕES PARA A VIDA ECONÔMICA 2 - FATOR CAPITAL.

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1 1 CONCEITOS E APLICAÇÕES PARA A VIDA ECONÔMICA 2 - FATOR CAPITAL

2 2 CAPÍTULO MAIS IMPORTANTE DA DISCIPLINA

3 3 1-CONCEITOS ECONÔMICOS 2- FATOR CAPITAL 3- ELASTICIDADE 4- FINANCIAMENTOS, AMORTIZAÇÃO 5-TÉCNICAS DE GESTÃO FINANCEIRA 6-DEPRECIAÇÃO 7- FATOR NATUREZALOCALIZAÇÃO 8- ANÁLISE D E INVESTIMENTO 9- ANÁLISE D E RISCOS

4 4 2- FATOR CAPITAL 1. PRINCÍPIOS GUIAS 2. JUROS SIMPLES E COMPOSTO ANTECIPADOS E POSTECIPADOS,COMERCIAIS E EXATOS 5. RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA: F/P; P/F; A/P; P/A; F/A; A/F; F/G (SÉRIE DE GRADIENTE UNIFORME E GEOMÉTRICO). 4. FLUXO DE CAIXA; MONTANTE; VALOR ATUAL; PRESTAÇÕES OU SÉRIES: (UNIFORME, DIFERIDA, PERPÉTUA) 3. TAXAS DE JUROS NOMINAIS E EFETIVAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES - INSTANTÂNEA INTERNA DE RETORNO = TIR DE MÍNIMA ATRATIVIDADE =TMA GLOBAL; REAL; PRÉ-FIXADA; PÓS-FIXADA; BRUTA LÍQUIDA

5 5 Apresenta-se um resumo de Matemática Financeira = Estudo do valor do dinheiro no tempo = ferramenta básica para a Engenharia Econômica. Engenharia Econômica conjunto de conhecimentos necessários para a escolha de investimentos. Investimentos dependem de informações técnicas e em geral as decisões são tomadas por engenheiros ou por administradores que agem com base nas recomendações dos engenheiros. Para empréstimos deve-se procurar obter a menor taxa de juros possível; para as pessoas físicas, como em geral as taxas para empréstimos são maiores que as para aplicação, a melhor aplicação de seu capital é no pagamento de empréstimos; já para as pessoas jurídicas, se as mesmas tiverem boas perspectivas de lucros, pode ocorrer o contrário. INTRODUÇÃO

6 6 As taxas de juros, para empréstimos, dependem da oferta e procura de capitais; estas taxas variam conforme os seguintes aspectos: -Volume – quantidades maiores, em geral, apresentam taxas menores. -Mercado – em países mais desenvolvidos, em geral, as taxas são menores. -Subsídios – os Governos costumam emprestar a juros mais baixos quando o empresário aplicar em atividades prioritárias, ou para as Micro e Pequenas Empresas. Existem também linhas de crédito com juros reduzidos para estudantes e recém formados em curso superior (até 2 anos de formado). -Prazo – em geral as taxas são maiores para os maiores prazos pois nestes casos ocorre em geral maior risco e menor liquidez. -Cadastro – melhores referências captam recursos mais baratos.

7 7 As taxas de remuneração das aplicações nas áreas financeiras tendem sempre a serem baixas. Se as taxas de remuneração de depósitos fossem altas, muitas pessoas poderiam deixar de trabalhar e viver de renda, isso aumentaria a oferta de dinheiro à disposição para empréstimos e também diminuiria a procura pelos empréstimos; com isso as taxas cairiam, fazendo com que as pessoas, em grande parte, voltassem a trabalhar. Observações Importantes: A) O valor de qualquer ativo que produz/gera fluxo de caixa é o valor presente de seus fluxos de caixa esperados. B) É dever de quem toma decisões conceber, criar, descobrir e desenvolver todas as alternativas que a situação dada possibilite.

8 8 PRINCÍPIOS - SÃO A BASE DE TUDO

9 9 1. PRINCÍPIOS GUIAS Orientações para análise de alternativas de investimento. Com o tempo e a experiência reunir novos princípios. Orientação Geral: Estudar alternativas e escolher a mais viável. Estudos de viabilidade: 1) técnica (dimensões e forma para atender as demandas, por exemplo); 2) econômica (lucro máximo, por período de tempo); 3) financeira (fundos suficientes); 4) política (desejos de autoridades, ou de proprietários); 5) ambiental (leis de proteção do meio ambiente) e 6)institucional (pessoal técnico e/ou equipamentos capazes).

10 Retorno do investimento ou lucros totais maximizados. Mesmo para os investimentos públicos devem ser calculados os lucros previstos, a serem recebidos pela comunidade. 2 - Capacidade dos fundos total até terminar. Ganhos só são obtidos se for concluído. As alternativas que vão se pagando à medida que são construídas, devem ter um estudo especial, de riscos. Obras não concluídas são deterioradas pela ação do tempo. 3 - De início todas as possíveis alternativas devem ser estudadas pois qualquer revisão futura nos planos e projetos deve ser submetida à mesma pesquisa e justificativa econômica.Pode aparecer uma nova idéia e se esta idéia não tiver sido ainda considerada, todos os estudos terão que ser refeitos (para provar se o palpiteiro de última hora tem ou não razão). Embora à primeira vista uma revisão pareça mais adequada, somente após uma justificativa econômica (pesquisa) igual a do projeto anterior, poderá ser vista se a modificação realmente é conveniente. PRINCÍPIOS

11 Os investimentos devem ater-se aos planos efetuados. Gastos iniciais não previstos devem ser evitados, devem ser o mínimo compatível com os propósitos do projeto. Gastos iniciais exagerados podem dificultar a conclusão do projeto. Um orçamento bem elaborado de toda a obra, antes de inicia-la é importante para o controle dos gastos. 5 - Poderão haver acréscimos de gastos, desde que haja viabilidade financeira e que este gasto adicional prove ser um investimento que traga aumento nos lucros totais. As alternativas serão mutáveis com o tempo, se aparecer uma máquina nova, que prove que embora sendo mais cara trará maiores lucros do que a prevista no projeto original, a mesma pode ser considerada. 6 - A alternativa escolhida, no caso de novo projeto, deve ter um período de amadurecimento e desenvolvimento (melhoras), especialmente quando depende de seus próprios recursos para rendimento. Neste período continua- se as pesquisas e procura-se melhorar o projeto. Dependendo do tipo de projeto contudo, deve-se ter cuidado para que este tempo não seja demasiadamente grande e não invalide o projeto.

12 A escolha das alternativas será efetuada, tendo em vista que muito do valor de qualquer estudo econômico, depende de precisão e validade das estimativas de demanda futura, dos rendimentos, custos e taxas de juros. As projeções não devem ser feitas para mais de 20 anos, na maioria dos casos e, quando feitas, com muitas reservas. As técnicas de construção, os equipamentos, os veículos, etc. mudam o projeto no decorrer do tempo. Os benefícios de uma ponte ferroviária, por exemplo, devem ser calculados só até 20 anos, pois embora, a ponte possa ser usada por mais de 20 anos os valores monetários previstos para mais de 20 anos, dependendo das taxas de juros usadas, quando trazidos para o valor atual representam quantidades muito pequenas.

13 13 Outros princípios devem ser acrescentados à lista. Eugene Grant, cita em seu livro "Princípios de Engenharia Econômica", que o General John I. Carty, quando engenheiro chefe da Companhia de Telefones de Nova York, encarregado dos novos investimentos, sempre fazia as seguintes perguntas: 1 - Por que fazer isto agora? 2 - Por que fazer desta maneira? 3 - Por que fazer desse modo até o fim? Outras perguntas, importantes de serem respondidas são: As condições de mercado são favoráveis? Deve-se construir, agora, com excesso de capacidade em relação à demanda? ou somente com a capacidade necessária para satisfazer a demanda atual? Deve-se expandir as instalações atuais, reformar ou fazer novas? Os procedimentos operacionais estão atualizados? Haverá um novo empreendimento mais lucrativo? Deve-se construir ou comprar instalações próprias? Deve-se comprar ou alugar as instalações? Deve-se comprar à vista ou à prazo? OUTROS PRINCÍPIOS

14 14 Dez Passos para despertar seu gênio financeiro de Robert Kiyosaki (Pai Rico - Pai Pobre) 1 - TER MOTIVOS (RAZÕES) EMOCIONAIS PROFUNDAS: Não quero trabalhar a vida inteira. Não quero ser empregado. Não quero só a segurança de um emprego e uma boa casa. Quero ser livre para viajar por todo o mundo e viver o estilo de vida que gosto. Quero fazer isso ainda jovem. Quero controlar meu tempo e minha vida. Quero que o dinheiro trabalhe por mim. 2-ESCOLHA SER RICO TODOS OS DIAS Adquira ativos (bens de capital). Invista primeiro na instrução. Aprenda a investir. Livros de investimentos. Seminários e Cursos. 3-ESCOLHA AMIGOS COM CUIDADO Amigos que falem de R$, de negócios de investimentos. Aprenda com amigos pobres (descubra o que não fazer) e com os ricos.

15 15 4-DOMINE UMA FÓRMULA E ENTÃO APRENDA OUTRA Você se torna o que você estuda. Aprenda rápido. Pratique 5-PAGUE A SI MESMO PRIMEIRO Autodisciplina. Controle. Se pagar antes os outros não sobra nada. Importante:gestão do fluxo de caixa, de pessoal e do tempo 6-PAGUE BEM A SEUS CORRETORES Contrate pessoas que conhecem mais que você o assunto. 7-SEJA UM DOADOR ÍNDIO Ver rapidez do retorno do dinheiro 8-NÃO TROQUE ATIVOS POR SUPÉRFLUOS Considere os custos de oportunidade ao gastar em supérfluos 9-TENHA HERÓIS Se êles conseguiram eu também posso 10-ENSINA E RECEBERÁS Dinheiro, amor, felicidade, vendas, contatos doe primeiro. Os pobres são mais gananciosos do que os ricos.

16 16 COMO ATINGIR A INDEPENDÊNCIA FINANCEIRA? (Prof. Mauro Halfeld - Investimentos - UFPR) 1-Ganhe mais dinheiro 2-Poupe 3-Evite ter dívidas 4-Invista Corretamente 5-Tenha sua Casa Própria 6-Faça Seguro de Vida e Seguro-Saúde 7-Permita que você coma algumas cenouras ao longo da caminhada 8-Busque adquirir intensamente educação financeira 9-Se precisar, contrate a ajuda de um personal advisor 10-Entenda que o dinheiro é apenas um meio, não o fim em si mesmo

17 17 - Sempre falar a verdade -Seguir os Mandamentos religiosos (são mais ou menos iguais para todas as religiões) -Caso continue de posse de algum bem, considerar que o está comprando pelo preço de mercado. Ou seja tudo que é mantido deve ter para a pessoa um valor superior ao de mercado. Outros princípios básicos que se aplicam para todas as situações são:

18 18 1 – Uma vez que os modelos de avaliação são quantitativos, a avaliação é objetiva – não, os dados de entrada em geral, deixam margem para julgamentos subjetivos. 2 – Uma avaliação bem pesquisada e bem feita é eterna – não, com o tempo mudam os gostos. 3 – Uma boa avaliação oferece uma estimativa precisa de valor – não, sempre haverão incertezas, os valores dos fluxos de caixa e das taxas de desconto são estimados com erros. 4 – Quanto mais quantitativo o modelo, melhor a avaliação – não, depende da precisão dos dados; a qualidade da avaliação é proporcional ao tempo gasto para reunir os dados e à compreensão do projeto. Mitos sobre Avaliação de Investimentos

19 19 Para Albert Einsten os Juros Compostos eram a maior invenção da humanidade. A Ilha de Manhattan foi comprada por US$24 em badulaques e contas de vidro. Se este valor tivesse sido investido a juros de 8% ao ano, o valor em 1995 seria de US$ 28 trilhões dando para recomprar a ilha com tudo que foi feito e mais boa parte de Los Angeles. (Fonte. Pai Rico - Pai Pobre) JUROS

20 20 Definição É a remuneração do fator capital = J Ao emprestar-se uma certa quantia de dinheiro (P= valor presente), ao devolve-la (F = valor futuro) seu valor, normalmente é maior; a diferença entre a quantia emprestada e a devolvida é chamado de juro. J = F - P Tipos de Juros: 1) Simples: pago unicamente sobre o capital inicial, também chamado principal, e é diretamente proporcional a esse capital e ao tempo em que este é aplicado, ou seja, o juro não é incorporado ao capital inicial. J = P x i x n Os juros simples, para períodos de tempo da taxa de juros menores do que a unidade são maiores que os juros compostos, e são muito usados na prática nestes casos. 2. JUROS

21 21 2) Composto:após a unidade de tempo, é incorporado ao capital, tornando-se um novo capital para o período seguinte. Assim, além de ter-se juros sobre o capital inicial, após o segundo período começamos a ter também juros sobre juros. Neste caso, o total de juros é dado pela fórmula: J = Px (1+i) n - P Obs. Esta fórmula será deduzida no estudo de relações de equivalência a seguir. Exemplo: Calcular o valor dos juros totais para um empréstimo de R$ 100,00 com juros de 10% ao mês, capitalizados mensalmente, durante 3,5 meses. Juros Compostos: J = 100(1+0,1) 3, = R$ 39,60 Juros Simples: J= 100x0,1x3,5 = R$ 35,00 Juros Compostos e Simples: J=[100(1+0,1) ] + +[100(1+0,1) 3 ]x0,1x0,5= = 33,10 + 6,65 = R$ 39,75

22 22 Na prática, para os empréstimos são cobrados juros compostos, para períodos inteiros e os juros simples para os períodos fracionários. Para os depósitos só são pagos os juros em períodos inteiros. 3) Postecipados: quando cobrado no fim do período de tempo. Neste caso os juros só são pagos (recebidos) ou incorporados ao capital, após decorrido o período de tempo especificado na taxa de juros. 4) Antecipados: quando é cobrado no início do período de tempo. Neste caso os juros são retirados do capital, ou são pagos na hora em que é feito o empréstimo, e a seguir, sempre que comece um novo período de tempo, deve o juro ser pago (recebido) ou incorporado ao capital. No caso, por exemplo dos penhores da Caixa Econômica os juros cobrados são antecipados.

23 23 Considerando o mesmo valor da taxa de juros o juro antecipado é sempre maior que o postecipado. Exemplo: Qual a taxa de juros postecipada equivalente à taxa de 10% ao mês, capitalizada mensalmente, cobrada de forma antecipada? Sejam R$ 100,00; emprestados por um mês com a taxa de juros de 10%. Juros postecipados: P = 100; i= 10% postecipados e F = 110 (valor futuro ou montante) Juros antecipados: P = 90 (ou de juros antecipados); i=10% antecipados e F =100. A taxa postecipada equivalente que esta sendo cobrada neste segundo caso é dada por: F=P(1+i), como veremos no estudo de montantes ou seja: 100 = 90 (1+i) 100/90 = (1+i) 1,111 = (1+ i) logo i = 11,11% postecipada. Caso a taxa antecipada fosse de 20% a taxa equivalente postecipada seria de 25%.

24 24 5) Exatos e 6) Ordinários (ou Comercial) Nas operações correntes a curto prazo, normalmente o prazo estipulado é o de dias, no entanto, em geral a taxa de juros mais frequente é a anual. Precisamos, então, expressar o prazo de dias em anos, para isto, podemos dividir o prazo por 365 ou 360, conforme consideremos o ano civil ou o comercial. Juros calculados considerando o ano com 365 dias, são exatos. No outro caso (360 dias) os juros serão ditos ordinários ou comerciais. Além disso, na contagem dos dias, poderão ter dois tipos de tempo empregados, com as seguintes denominações: Tempo exato, quando conta-se todos os dias do mês e Tempo aproximado, quando considera-se todos os meses como tendo 30 dias. Deve-se observar que os bancos utilizam o juro ordinário e o tempo exato.

25 25 Exemplo: Emprestando um capital de R$ 100,00 em 1o. de março, taxa de 50% ao ano, capitalizada anualmente, deseja-se saber quanto será pago de juros em 10 de abril? Como o período da taxa é maior do que o do empréstimo, para ter a operação financeiramente certa, usa-se a fórmula de juros simples; logo: J= P x i x n Pode-se ter as seguintes respostas: J = 100 x 0,5 x 41/365 = 5,616 (tempo exato e juro exato) J =100x0,5x 41/360 = 5,694 (tempo exato e juro ordinário) J =100x0,5x40/365=5,479 (tempo aprox. e juro exato) J = 100 x0,5x40/360=5,555 (tempo aprox. e juro ordinário) Como pode-se observar, o maior valor é o utilizado pelas entidades financeiras no caso dos empréstimos. No caso de depósitos, em geral, os juros só serão pagos após decorrido o período de capitalização da taxa.

26 26 Definição É o juro da unidade de capital na unidade de tempo = i A taxa de juro representa a remuneração pela utilização da unidade de capital durante os períodos(2) a que esta taxa se refere. Têm que ser revelados para cada taxa dois períodos de tempo: O primeiro é chamado de período de referência da taxa e o segundo é o período de capitalização dos juros, ou seja quando os juros passam a ser incorporados ao capital para efeito de renderem também juros num período seguinte. O valor da taxa de juros apresentado só pode ser usado quando ambos os períodos da taxa forem iguais, caso contrário é preciso transformar a chamada taxa nominal numa taxa efetiva conforme será visto a seguir. Os períodos de tempo a que se refere a taxa de juros podem ser : dia, mês, semestre, ano. 3. TAXAS

27 27 1) Proporcionais:- Quando referidas a tempos diferentes, mantém entre si a mesma relação que seus períodos de referência. (neste caso os períodos de capitalização não são observados). Dados "i1" e "i2" nos tempos de referência "t1" e "t2", expressando- se os períodos a que se referem numa mesma unidade de tempo, para que as taxas sejam proporcionais deve existir a relação: i1/i2 = t1/t2 Exemplo: 12% ao ano é proporcional a 1% ao mês. 2) Equivalentes:- Duas taxas são ditas equivalentes se, no mesmo período de tempo, produzirem a mesma quantidade de juros, para o mesmo capital inicial empregado. Desde que os juros sejam simples, duas taxas proporcionais também serão equivalentes. Tipos de Taxas:

28 28 Para o caso de juros compostos isto já não é verdadeiro, a não ser para um empréstimo de vigência menor do que o menor período de capitalização das duas taxas, quando então, volta-se a usar a fórmula de juros simples no cálculo destes. 3) Efetiva: É aquela em que seu período de referência coincide com o período de capitalização. 4) Nominal:- É aquela em que seu período de referência não coincide com o período de capitalização. É um tipo de taxa bastante usada. Exemplo: taxa de 12% ao ano, com capitalização mensal. Para o cálculo dos juros, a taxa nominal deve ser transformada na taxa efetiva que lhe seja proporcional, para isso divide-se o período da taxa nominal pelo período de capitalização, a taxa efetiva correspondente é dado pelo valor da taxa nominal dividido pelo resultado anterior.

29 29 Exemplo: 12%/ i = ano (12 meses)/ 1 mês Portanto a taxa efetiva correspondente à taxa nominal de 12% ao ano com capitalização mensal é de 1% ao mês com capitalização mensal. A taxa anual com capitalização anual (ia) equivalente à taxa de 1% ao mês com capitalização mensal é dada por: F=P(1+ia) = P (1+0,01) 12 (1+ia) = (1+0,01) 12 = 1, ia = 12,6825% ao ano com capitalização anual. 5) Contínua ou Instantânea: É a taxa nominal (i) em que o número de capitalizações ao longo do período da taxa for infinito ou quando a capitalização for instantânea ou contínua.

30 30 Pode-se iniciar calculando qual a taxa efetiva anual (i1) equivalente à 60% ao ano com capitalização mensal (i2 = taxa nominal), ou 5% ao mês com capitalização mensal (taxa efetiva). Por definição: F1 = P(1+i1)=F2=P(1+i2) n ou (1+i1) = (1+0,05) 12 ou (1+i1) = 1, ou i1 = 79,58% Observa-se que a fórmula genérica utilizada foi: (1+i1) = (1+i2/n) n Utilizando-se esta fórmula pode-se calcular as várias taxas efetivas a medida que aumenta o número dos períodos de capitalização, conforme tabela a seguir: Taxa Nominal (i2) Taxa efetiva (i1) 60% a.a. c/c.sem (2 vezes ao ano)69% a.a.c/c.a. 60% a.a.c/c.trim (4 vezes ao ano) 74,9% a.a. c/c.a. 60% a.a.c/c.m. (12 vezes ao ano) 79,58% a.a. c/c.a. 60% a.a. c/c.dia (360 vezes ao ano) 82,12% a.a. c/c.a.

31 31 Retornando a fórmula geral (1+i1) = (1+i2/n) n sendo i1 = t. efetiva e i2 = t.nominal Fazendo-se n/i2 = q tem-se: (1+i) = (1+1/q) qxi2 Quando n tende a infinito, q também tenderá a infinito, e da matemática, sabe-se que: Lim (1+1/q) q = e (base dos logaritmos neperianos), portanto: (1+i1) = e i2 e = 2, ou i1 = e i2 - 1 Exemplo:Para i2 = 100% a.a c/c.c. i1 = 171,82%a.a.c/c.a. Para i2 = 10% a.m.c/c.c. i1 = 10,52% a.m.c/c.m. Para i2 = 20% a.a.c/c.c. i1 = 22,14% a.a.c/c.a. Para i2 = 200% a.a. c/c.c. i2 = 638,90% a.a.c/c.a. Nos casos de empréstimos, em geral, as financeiras tendem a apresentar o valor nominal da taxa, para dar aparência de que os juros serão menores.

32 32 No caso de depósitos, as financeiras tendem a apresentar a taxa efetiva que é maior. Se for conhecida a taxa efetiva e deseja-se saber qual a taxa nominal contínua correspondente, faz-se: ln (1+i1) =ln e i2 ln (1+i1) = i2 i2 = ln (1+i1) Exemplo: Para a taxa efetiva de 100% a.a.c/c.a. qual a taxa nominal contínua correspondente? i2 = ln (1+1) = ln 2 = 69,31% 6)Taxa Interna de Retorno: (TIR) É a taxa de rendimento do projeto, corresponde ao valor da taxa que anula o fluxo de caixa, ou seja, é uma taxa que trazendo todos os valores do fluxo de caixa para a mesma época os mesmos se anulam. 7)Taxa de Mínima Atratividade: (TMA) É a taxa de oportunidade da empresa. Portanto, um projeto para ser viável deve apresentar uma TIR maior do que a TMA.

33 33 Em caso de financiamentos, a TMA pode ser a taxa cobrada pelo financiamento, logo,o projeto deve conseguir pagar o financiamento. Em economia considera-se que todo recurso monetário deve estar aplicado, ou seja, rendendo algum juro. Esta taxa de aplicação corresponde ao valor da TMA. Diz-se também que a TMA corresponde à valorização do dinheiro, quanto maior a TMA, mais cuidados devem haver com os gastos à vista. 8)Taxa Global: (ig) usada no caso de haver inflação. A taxa de inflação ( ) corresponde a um novo juro. A taxa real (ir) deve ser considerada junto com a taxa de inflação ( ) para o cálculo dos juros conforme expressões a seguir: ig = (1+ir)(1+ ) – 1 para um período ig = (1+ir) n.(1+ 1 )(1+ 2 )(1+ 3 )...(1+ n ) – 1 para n períodos.

34 34 A taxa global também pode ser chamada de taxa pré-fixada, isto é, uma taxa que normalmente inclui a taxa de inflação. Nos investimentos com taxa pós-fixada, é revelada a taxa real no momento da aplicação e a taxa global paga no final; só é obtida após ser dada a taxa de inflação do período considerado. Exemplo: Um dado investimento pré-fixado, paga 20% ao ano com capitalização anual de taxa global, enquanto outro pós-fixado paga 10% ao ano com capitalização anual de taxa real e a inflação. Pede-se, escolher qual o melhor investimento em função da taxa de inflação: Neste caso, deve-se obter a taxa de inflação para a qual os investimentos sejam equivalentes, ou seja: F = Px(1+ig) = Px(1+ir)x(1+ ) ou (1+ig) = (1+ir)x(1+ ) (1+ ) = (1+ ig)/(1+ir) = 1,2/1,1 = 1,091 logo = 9,1% Resposta: Para uma taxa de inflação de até 9,1% o investimento pré- fixado é melhor, caso a inflação resulte maior que 9,1% o investimento pós-fixado.

35 35 Deve-se observar que a taxa global não é igual á taxa real mais a taxa de inflação, é preciso igualar os valores futuros para encontrar a relação entre estas taxas. 9)Taxa Bruta e Taxa Líquida Nas aplicações de pessoas físicas, é descontado de cada rendimento mensal o imposto de renda, diretamente pela entidade financeira. Exemplo: Para uma aplicação de R$ 1000,00 a taxa bruta é de 20%, resultando num valor futuro de R$ 1200,00. Sobre o lucro de R$ 200,00 é descontado 20%, ou seja o valor futuro líquido será de R$ 1160,00, portanto a taxa líquida da aplicação seria de 16%. Nas aplicações poderão haver outras taxas, como taxa de administração, taxa de abertura de conta, taxa de performance e outras, deste modo só conhecendo-se o valor aplicado e o resgatado pode-se com exatidão conhecer a taxa final de rendimento paga.

36 36 4.ELEMENTOS DO FLUXO DE CAIXA Valor Presente ou Atual =P Prestações ou Séries =A ou PMT Valor Futuro ou Montante =F

37 37 Montante ou Valor Futuro (F): É o capital total acumulado ao final de certo período de tempo. Com o termo capital total designa-se o capital inicial, mais todos os juros existentes, até o final do período de tempo considerado. É costume empregar-se também o termo valor nominal para designar-se o montante de uma certa dívida, ou seja, o valor nominal seria o valor do resgate, na data de vencimento de um compromisso. Para juros simples: F = P(1+n.i) Para juros compostos: F=P(1+i) n Principal, Valor Presente ou Valor Atual (P): É o capital que, se colocado a render juros a partir da data de hoje, nos dá determinado montante. O valor atual também é chamado de capital inicial. Para juros simples: P = F/(1+n.i) e Para juros compostos: P = F/(1+i) n ELEMENTOS DO FLUXO DE CAIXA

38 38 Séries, Anuidades ou Prestações (A ou PMT): É uma sucessão de pagamentos A1, A2,..., An em períodos de tempos t1, t2,...,tn respectivamente. 1) Perpétuas ou 2) Temporárias Se o número de pagamentos é infinito, as prestações são ditas perpétuas, ou de perpetuidade; caso contrário, ou seja, com número finito de termos, a anuidade é chamada de temporária. 3) Constante ou 4) Variável Quando os termos de uma anuidade forem todos iguais entre si, esta será dita constante; caso contrário, a anuidade será denominada de variável. 5) Periódica ou 6) Não periódica Quanto os valores ocorrem em datas separadas por intervalos de tempos constantes a série é dita periódica, ou no caso em que os valores ocorrem em datas que não guardem relações fixas entre si a série é chamada de não-periódica.

39 39 7) Antecipadas ou 8) Postecipadas As séries são ditas antecipadas quando os termos tem vencimento no início de cada período, neste caso, o primeiro pagamento ocorre na data de origem e não existe pagamento no final do último período. As séries são ditas postecipadas quando os pagamentos são efetuados no fim de cada intervalo de tempo. Neste caso não existe pagamento na data de origem. 9) Diferidas ou com carência Quando os pagamentos só se iniciam após a passagem de determinado número de períodos. O primeiro pagamento só é efetuado no fim de m+1 períodos, contando a partir da origem. O prazo m de que é atrasado o início da anuidade, é chamado de diferimento ou carência da anuidade. Em alguns casos não são cobrados os juros do prazo de carência.

40 40 Para se obter as relações de equivalência usam-se séries unitárias, temporárias, constantes, periódicas, postecipadas e sem carência. Os recursos financeiros devem ser sempre referidos a uma data. Os valores monetários são diferentes conforme a data de referência. Um dinheiro hoje será diferente de um dinheiro amanhã. Para comparar as alternativas de investimentos há necessidade de deslocar os valores monetários no tempo; para isso usam-se as relações de equivalência. Seja P um valor hoje. Quando aplicado numa dada taxa de juros valerá, após o período dito de capitalização, quando a taxa é incorporada ao capital : F1 = P + P x i = P(1+i) Após 2 períodos tem-se: F2 = F1 + F1 x i ou F2 = P(1+i) + P(1+i).i = P(1+i) 2 5. RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA

41 41 F1 = P+Pxi = P(1+i) F2 = F1 +F1x1 = F1(1+i) =P(1+i) 2 P P Pxi F1 F1xi F2 F2xi F3 F3xi F4 F4xi F5 F5xi F MONTANTE - JUROS COMPOSTOS

42 42 Após 3 períodos tem-se: F3 = F2 + F2 x i ou F3 = P(1+I) 2 + P(1+I) 2.i = P(1+i) 2 (1+i) = P(1+i) 3 Após um número "n" qualquer de períodos tem-se: F n =Px(1+i) n Simbolicamente F = P (F/P;i;n) Nesta fórmula verifica-se a importância da taxa de juros (i) e do número períodos (n). Exemplo: Qual o valor futuro de R$ 1,00 aplicados na taxa de 10% ao mês com capitalização mensal após 240 meses (20 anos). F= 1x(1+0,1) 240 = R$ ,07 (mais de 8 bilhões). Pode-se também verificar qual o valor de "n" para que R$ 1,00 aplicados em 10% ao mês com capitalização mensal se transforme em R$ 1.000, = 1x (1+ 0,1) n Resolvendo com o auxílio de logarítmos ou com calculadora financeira, "n" resulta = 72,48 meses.

43 43 Da mesma forma tendo-se Fn pode-se obter o valor "P fazendo: P=F n /(1+i) n Simbolicamente P = F (P/F;i;n) Exemplo 1: Seja um curso de Métodos de Estudo que cobra os seguinte valores: (fonte: Prof. Renato Luiz Chaves ): Valor a vista = R$ 65,00 Valor a prazo = Entrada de R$ 37 e mais uma de R$ 37 ou = Entrada de R$ 27 e mais duas de R$ 27 Vejamos quais as taxas de juros usadas pelo Prof. Renato: P = 65 = /(1+i) 28=37/(1+i) ou (1+i) = 37/28=1, Portanto i = 32,142857% a.m.c/c.m. na primeira condição à prazo. A segunda condição à prazo será vista após o exemplo à seguir.

44 44 Exemplo 2: Quanto será que uma pessoa teria se aplicasse 10 reais ao final de todos os meses à taxa de juros do exemplo anterior, durante 10 anos (120 meses)? Fn = (1+i)+10(1+i) (1+i) 119 Fn = 10[1+(1+i)+(1+i) (1+i) 119 ] A expressão Fn'= [1+(1+i)+(1+i) (1+i) 119 ] = A multiplicada por (1+i) resulta Fn(1+i) = [(1+i)+(1+i) (1+i) (1+i) 120 ] = B Fazendo (B - A) tem-se: Fn(1+i) - Fn = (1+i) ou Fn' = [(1+i) n -1]/i ou Fn = A[(1+i) n -1]/i Simbolicamente F = A (F/A;i;n) Esta relação de equivalência também permite obter o valor de "A" conhecendo-se o valor de "F": A = Fxi/[(1+i) n -1]Simbolicamente: A = F (A/F;i;n)

45 45 No exemplo Fn = 10{[(1+i) ]/i } Fn =10{[(1+0, ) ]/0, } Fn= 1,04E+16 =Valor extremamente grande. Utilizando uma taxa de juros menor, por exemplo para i = 5% ao mês com capitalização mensal teríamos: Fn =10{[(1+0,05) ]/0,05} Fn= ,40 Exemplo:Qual a taxa de juros para a segunda alternativa à prazo do exemplo No.1 (curso de Métodos de Estudo do Prof. Renato Luiz Chaves). P = 65 = /(1+i) + 27/(1+i) 2 65= 27{1+[1/(1+i)+1/(1+i) 2 ]} Genericamente, teríamos: P = A+A{[1/(1+i)+1/(1+i) /(1+i) n } A expressão P = A[1/(1+i)+1/(1+i) /(1+i) n ] = (1) pode ser simplicada da seguinte forma:

46 46 Multiplicando tudo por (1+i) tem-se: P.(1+i) = A[(1+1/(1+i)+...+1/(1+i) n-1 ]} = (2) Subtraindo a expressão (1) de (2) tem-se: (2) - (1) = P(1+i) - P = A[1-1/(1+i) n ] = A{[(1+i) n -1]/(1+i) n } ou P = A{[(1+i) n - 1]/(1+i) n x i} Simbolicamente: P = A (P/A;i;n) Pode-se também calcular "A" conhecendo-se "P", aplicando-se a relação inversa: A = P{[(1+i) n x i]/(1+i) n - 1} ou A = P (A/P;i;n) Caso o valor de n seja infinito: P= A/i ou A = P x i ou i = A/P Para obter esta última relação de equivalência procura-se o limite quando n tenda a infinito da expressão: {[(1+i) n -1]/(1+i) n x i}. Para eliminar a indeterminação divide-se o numerador e o denominador por: (1+i) n

47 47 No exemplo temos: 65/27=1+1/(1+i) +1/(1+i) 2 2, = 1+1/(1+i)+1/(1+i) 2 1, = 1/(1+i)+1/(1+i) 2 Resolvendo por tentativas temos: "i" 1/(1+i)+1/(1+i) 2 0,2 1, ,25 1,44 0,26 1, ,27 1, Portanto a taxa nesta 2a. alternativa é de 27%

48 48 Esses cálculos são facilitados pelos computadores e máquinas de calcular financeiras. Em computador é comum o uso de Programa com planilhas de cálculo como o Excell. Neste caso monta-se o fluxo de caixa e entra-se em: Inserir - Função - Financeira - TIR (inserir os valores do fluxo de caixa e uma taxa estimada próxima do resultado). Nas máquinas de calcular financeiras, são considerados dados ou incógnitas os seguintes elementos: N=número de períodos i%=Taxa de juros em porcentagem (TMA ou TIR se incógnita) Pv=Valor Presente A ou Pmt=valor constante por período Fv=Valor Futuro Usar os valores monetários com o sinal - para custos e + (ou sem sinal) para receitas

49 49 N = 2 ; Pv = [-65-(-27] = - 38; A=PMT= 27; Fv=0 em seguida Solicita-se o valor de "i", obtendo-se i=26, % Cabe a pergunta: Será que o Prof. Renato estaria perdendo dinheiro nesta segunda alternativa? O investimento na 2a. alternativa (65-27) é maior do que o investimento na 1a. alternativa a prazo (65-37). Como o maior investimento da 1a. alternativa (38) tem uma taxa menor que o menor investimento da 2a. alternativa (28), necessita-se calcular qual a taxa do investimento extra. Para isso subtraímos os fluxos de caixa obtendo: Pv= Investimento adicional = = 10 Após o primeiro período temos ( ) = -10 ou seja deixa-se de ganhar 10 reais Após o segundo período ganha-se 27 reais na 2a. alternativa. Introduzir na calculadora ou nos programas de computador os seguintes dados para este exemplo:

50 50 Dessa forma a taxa do investimento adicional pode ser calculada fazendo-se: 10= - 10/(1+i)+27/(1+i) 2 Por tentativas tem-se: i -10/(1+i) 27/(1+i) 2 Total 10% -9, , , % -8, , , % -8, , , % -8, ,75 10, % -8 17,28 9,28 21% -8, , , ,50% -8, , ,05944 Portanto pode se dizer das alternativas anteriores que: Na primeira alternativa a prazo o Prof. Renato aplica seus recursos há 32% por um mês e em seguida segue aplicando na TMA.

51 51 Na segunda alternativa o Prof. Renato aplica seus recursos há 27% durante dois meses. Para saber qual o melhor investimento temos que conhecer qual a TMA do professor. Pode-se calcular qual o capital do Prof. Renato após 2 meses em função de valores atribuidos para a TMA TMA 10% A vista = 65.(1+0,1) 2 = 78,65 1a. Alt.prazo = 37(1+0,1) (1+0,1) = 85,47 2a. Alt.prazo = 27(1+0,1) 2 +27(1+0,1)+27= 89,37 25% A vista = 65.(1+0,25) 2 = 101,5625 1a. Alt.prazo = 37(1+0,25) (1+0,25) = 104,0625 2a. Alt.prazo = 27(1+0,25) (1+0,25) + 27 = 102,9375

52 52 Neste exemplo até uma TMA de 21,75% a 2a. Alternativa a prazo é melhor, com taxas maiores que este valor a 1a. Alternativa a prazo é a melhor até 31,14%; se a TMA fosse superior à 31,14% ao mês, com capitalização mensal (valor esse extremamente elevado e que, certamente, só ocorre na prática, em casos muito especiais) a melhor alternativa para o professor seria receber o pagamento à vista. Portanto esse exemplo, serve para demonstrar que nem sempre o investimento com a maior taxa interna de retorno é o melhor. Caso os investimentos pudessem ser duplicados, a maior taxa interna de retorno seria sempre a melhor.

53 53 EXEMPLO: CÁLCULO DA TIR DE UM EMPREENDIMENTO DE CONSTRUÇÃO CIVIL P= (terreno) A=10000 F= Resposta:TIR =8,192% a.m.c/c.m sem aplicar no terreno TIR=27,81% Qual o número de meses (n) de prazo total para vender se a TIR desejada for de 3%a.m.c/c.m ou 1%a.m.c/c.m? Resposta:8,7 meses ou 24 meses

54 54 SÉRIE DE GRADIENTE UNIFORME ARITMÉTICO O valor das parcelas dos períodos de tempos consecutivos aumentam de um valor constante (chamado de gradiente = G) e não ocorre nenhum valor no primeiro período da série. O valor futuro (F) da série de gradiente uniforme é obtido considerando que a mesma seja composta de várias séries constantes uniformes e usando as fórmulas de relações de equivalência já apresentadas: F = G[(1+i) n-1 - 1]/i + G[(1+i) n-2 - 1]/i + G[(1+i) n-3 - 1]/i G[(1+i) 2 - 1]/i + G[(1+i) 1 - 1]/i ou colocando em evidência: F = G/i[(1+i) n-1 + (1+i) n-2 + (1+i) n (1+i) 2 + (1+i) 1 - (n -1)] Lembrando-se da dedução do valor futuro das séries constantes uniformes: F = G/i{[(1+i) n - 1]/i - n} ou F = G{[(1+i) n -1]/i 2 - n/i} ou simbolicamente F=G(F/G;i;n)

55 55 Exemplo: Um veículo pode ser adquirido por R$ prevendo-se custos de manutenção e operação de R$ no primeiro ano de operação; R$ no segundo ano; R$ no terceiro ano e assim por diante. Pretende-se vender o veículo por R$ após 5 anos. Pergunta-se: Qual o custo anual uniforme equivalente deste veículo para uma empresa que possui TMA de 20% a.a.c/c.a.? A = (A/P;20%;5) (A/F;20%;5) (A/G;20%;5) A = x0, x0, x1,641 Resposta: A = R$ 7.984,80

56 56 SÉRIE DE GRADIENTE GEOMÉTRICO Valores do diagrama do fluxo de caixa aumentam numa taxa geométrica. P = A/(1+TMA) x{[(1+g)/(1+TMA)] n - 1} / {[(1+g)/(1+TMA)] -1} Exemplo: Calcular o valor presente dados: A = 100,00 g = 10% TMA = 8% n=5 P = 100/1,08 x {[ (1,1/1,08) 5 - 1] / {[(1,1/1,08) -1]} = 480,42 Para n = 100 resultaria P = ,97 e F = ,56

57 57 Seja um equipamento com 3 alternativas de venda: a)Venda à vista por R$ ,00 b ) Venda à prazo com R$ 5.000,00 de entrada e mais 5 prestações mensais iguais à R$ 1.500,00 cada uma. c ) Venda à prazo com R$ 3.000,00 de entrada e mais 10 prestações mensais iguais à R$ 1.000,00 cada uma. Escolher a melhor alternativa para o comprador e o vendedor em função de suas TMA. 1)Encontrar as TIR dos investimentos. Investimento "a-b" -> P= R$ 5.000,00 (R$ ,00 - R$ 5.000,00) para receber (ou deixar de pagar) 5 prestações de R$ 1.500,00. R. "TIR a-b" = 15,23% Investimento "a - c" -> P= R$ 7.000,00 (R$ ,00 - R$ 3.000,00) para receber (ou deixar de pagar) 10 prestações de R$ 1.000,00. R. "TIR a-c" = 7,07% Investimento "b - c" -> P= R$ 2.000,00 (R$ 5.000,00 - R$ 3.000,00) e mais 5 prestações de R$ 500,00 para receber (ou deixar de pagar) e após mais 5 meses outras 5 prestações de R$ 1.000,00. R. "TIR b-c" é dada por: P = 0 = (P/A;i;5) (P/A;i;5)(P/F;i;5) TIR = 1,67% --> as alternativas "b" e "c" são equivalentes. EXEMPLO DE RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA: COMPRA E VENDA

58 58 2)Calcular valores presentes das 3 alternativas para "TIRs" anteriores e para outros valores arbitrados para a TMA. Comprador: deverá escolher a 1 a. alternativa se tiver "TMA" entre 0% e 7,07% e a 3 a. alternativa se tiver "TMA" maior que 7,07%. Vendedor: obteria os mesmos valores do quadro anterior só que com resultados positivos, portanto deveria: escolher a 3 a. alternativa para "TMA" entre 0% e 1,67%; escolher a 2 a. alternativa para "TMA" entre 1,67% e 15,23% e escolher a 1 a. alternativa (venda à vista) se sua "TMA" fosse > 15,23%. RESPOSTA:

59 59 RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA - RESUMO 10000, ,

60 60 P i n A F RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA - RESUMO (Cont.)

61 61 1) Em quanto tempo um capital dobra se for aplicado à taxa de 0,5% a.m.c/c.m. Idem se a taxa for de 5% a.m.c/c.m. R. 139 meses e 14 meses. 2) Um estudante do 3o. ano de engenharia pretende fazer seu curso de mestrado no exterior; para isso conta com uma bolsa de Iniciação Científica da UFPR (R$ 300,00 por mês para 10 horas de trabalho semanal) e pretende economizar R$ até o final do curso (após 30 meses), já que morando com seus pais ainda não tem grandes despesas. Quanto terá que economizar mensalmente durante os 30 meses se: a)Depositar as economias na Caderneta de Poupança (taxa de 6% a.a.c/c.m.)? R. R$ 92,94 b)Depositar numa Empresa de Factoring ou emprestar para comerciantes que paga a taxa de 10% ao bimestre c/c.m.? R. R$ 45,15 EXERCÍCIOS PROPOSTOS - FATOR CAPITAL

62 62 3) Um estudante deseja fazer um curso de mestrado daqui a 3 (três) anos, para o qual há necessidade de dispor, na época de início do curso, de R$ 5.000,00. O estudante para isso resolve vender seu carro atual, pelo valor de R$ ,00, aplicar certa quantia em empresas que pagam 5% a.m.c/c.m e comprar um carro mais barato. Pergunta-se qual o valor máximo, à vista, do novo carro? Obs. Desprezar a inflação. R. R$ ,00 4) É possível comprar um apartamento de R$ ,00 daqui a 5 anos, economizando R$300 por mês? a) Em que condições (taxa de juros)? R. i =4,853% a.m.c/c.m. b) Se a pessoa deixar suas economias depositadas em caderneta de poupança (taxa de 0,5% a.m.c/c.m.) quantos anos serão necessários para esta mesma compra. Obs. Desprezar a inflação. R. 196 meses. c)Iniciar sua empresa de engenharia prevendo uma taxa de 80% ao ano.c/c.semestral.Obs. Desprezar a inflação. R. R$ 66,40

63 63 5) Um estudante do 3o. ano de engenharia estuda a compra de um terreno em São José dos Pinhais. Tendo em vista a instalação da nova fábrica da Renault sabe que o valor deste terreno será de R$ ,00 daqui a 2 anos. a)Qual o valor máximo (preço à vista) que poderá pagar hoje pelo terreno, se pretende receber à vista com a venda do mesmo daqui a 2 anos uma TIR (taxa interna de retorno) de 4% a.m.c/c.m. (ao mês com capitalização mensal) ? R. R$ 3.901,21 b) Se o estudante possue atualmente uma TMA (taxa de mínima atratividade) de 2% a.m. c/c.m. e o preço do terreno citado for de R$ 2.500,00 de entrada e mais 10 prestações mensais de R$350,00 o mesmo deve ser adquirido? R. Sim a 2% ficaria com R$ 9.077,86 daqui a 2 anos.

64 64 6) A compra de um novo equipamento em uma dada fábrica de pré-moldados, aumenta a produção do único produto fabricado em 50 unidades mensais. O preço a vista da máquina é de R$ ,00 e seu valor de revenda após 5 (cinco) anos é igual a R$ 4.000,00. Sabendo que a empresa tem uma TMA 4%a.m.c/c.m., pergunta-se qual o preço mínimo de venda de cada unidade para se justificar a compra do equipamento?Obs. Desprezar todos os demais custos (operação e manutenção). R. R$ 8,50.

65 65 FIM DA 2a. AULA - FATOR CAPITAL


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