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1 Árvores Balanceadas (AVL) Prof. Alexandre Parra Carneiro da Silva

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Apresentação em tema: "1 Árvores Balanceadas (AVL) Prof. Alexandre Parra Carneiro da Silva"— Transcrição da apresentação:

1 1 Árvores Balanceadas (AVL) Prof. Alexandre Parra Carneiro da Silva parrasilva@gmail.com

2 2 Roteiro Contextualização Árvores Balanceadas (AVL) Operações de Balanceamento

3 3 Roteiro Contextualização Árvores Balanceadas (AVL) Operações de Balanceamento

4 4 Contextualização As ABP estudadas têm uma séria desvantagem que pode afetar o tempo necessário para recuperar um item armazenado. A desvantagem é que o desempenho da ABP depende da ordem em que os elementos são inseridos. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 4, 6, 2, 5, 1, 7, 3

5 5 Contextualização Idealmente, deseja-se que a árvore esteja balanceada, para qualquer nó p da árvore. Como saber se a árvore está balanceada ? Para cada nó p da árvore a altura da sua sae é aproximadamente igual à altura da sua sad.

6 6 Roteiro Contextualização Árvores Balanceadas (AVL) Operações de Balanceamento

7 7 Árvores Balanceadas (AVL) O nome AVL vem de seus criadores Adelson Velsky e Landis (1962).Adelson VelskyLandis Uma árvore binária de pesquisa T é denominada AVL se: Para todos nós de T, as alturas de suas duas sub-árvores diferem no máximo de uma unidade. Operações de consulta, inserção e remoção de nós tem custo O(log 2 n). 130 100150 120 200 80 110 120 100 110 80 130 200 150

8 8 Como reconhecer uma árvore desbalanceada? (1/2) Como saber se a árvore está desbalanceada ? Verificando se existe algum nodo desregulado. Como saber se um nodo está desregulado ? Subtraindo-se as alturas das suas sub-árvores. Por questões de eficiência, estas diferenças são pré-calculadas e armazenadas nos nós correspondentes, sendo atualizadas durante as operações.

9 9 Como reconhecer uma árvore desbalanceada? (2/2) Possíveis valores de diferença para cada nó em uma árvore balanceada: -1, 0, 1. Fator de Balanceamento (FB) de cada nó da árvore FB(p) = h(sad(p)) – h(sae(p))

10 10 Exemplos de cálculos de FB +6 +5 +4 +3 +2 +1 0 Inserção: 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 00 0 00 00 Inserção: 4, 2, 3, 6, 5, 1 e 7 0 00 +2 0 Inserção: 4, 1, 3, 6, 5, 2 e 7

11 11 Operação: Inserção 00 0 00 00 Op. de balanceamento 0 00 +2 0 Inserção: 4, 6, 1, 7, 5, 3 e 2.

12 12 Operação: Remoção +2 0 +1 Remover nó 2 0 0 0 Op. de balanceamento +1 0 0 Inserção: 4, 6, 2 e 7.

13 13 Roteiro Contextualização Árvores Balanceadas (AVL) Operações de Balanceamento

14 14 Operações de Inserção e Remoção A inserção ou remoção de um nó em uma árvore AVL pode ou não provocar seu desbalanceamento. Se a árvore AVL ficar desbalanceada, a restauração do seu balanceamento é realizado através de ROTAÇÕES.

15 15 Tipos de Rotações Rotação Simples: Rotação a Esquerda Rotação a Direita Rotação Dupla: Rotação a Esquerda Rotação a Direita

16 16 Exemplos de Rotação Simples Suponha que nós queiramos inserir o nó 3 na árvore inicial abaixo 0 0 00 0 +10 -2 0 Rotação a direita (nó 8) 0 0 00 +10 A inserção do nó 3 produziu um desbalanço no nó 8 verificado pelo FB = -2 neste nó. Neste caso, como os sinais dos FB são os mesmos (nó 8 com FB = -2 e nó 4 com FB = -1) significa que precisamos fazer apenas uma ROTAÇÃO SIMPLES.

17 17 Exemplo de Rotação Dupla (1/2) Suponha que queiramos inserir o nó 5 na árvore abaixo 0 0 00 0 0 0 +1 -2 (a) 0 0 0 0-2 Observe que o nó 8 tem FB = -2 e tem um filho com FB = +1 (sinais opostos). Neste caso, o balanceamento é alcançado com duas rotações. Primeiro: (a) rotação simples sobre o nó 4 (com FB = +1) para a esquerda.

18 18 Exemplo de Rotação Dupla (2/2) 0 0 0 0-2 Logo após da rotação a esquerda: (b) rotaciona-se o nó 8 (FB = -2) na direção oposta (direita neste caso). (b) 0 0 0 00 +1

19 19 Pseudo-Código: Rotações Simples Rotação Simples a Esquerda p aponta para o nó desbalanceado q = right(p); hold = left(q); left(q) = p; right(p) = hold; p = q; Rotação Simples a Direita p aponta para o nó desbalanceado q = left(p); hold = right(q); right(q) = p; left(p) = hold; p = q; 10 15 12 7 21 30 10 15 4 2 1 7

20 20 Pseudo-Código: Busca e Inserção Busca e Inserção Procurar pseudo-código no livro do Tenembaum Estrutura de Dados Usando C. pags: 531, 532, 533 e 534.

21 21 Conclusões Balanceamento de árvores busca minimizar o número médio de comparações necessárias para localizar qualquer dado. Operações de inserção e remoção de nós tendem a tornar as árvores desbalanceadas. Há um custo extra de processamento. Compensado quando os dados armazenados precisam ser recuperados muitas vezes.

22 22 AVL Tree Applet http://webpages.ull.es/users/jriera/Docencia/AVL/AV L%20tree%20applet.htm http://webpages.ull.es/users/jriera/Docencia/AVL/AV L%20tree%20applet.htm


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