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Métodos de Classificação por Seleção: HeapSort Prof. Alexandre Parra Carneiro da Silva

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Apresentação em tema: "Métodos de Classificação por Seleção: HeapSort Prof. Alexandre Parra Carneiro da Silva"— Transcrição da apresentação:

1 Métodos de Classificação por Seleção: HeapSort Prof. Alexandre Parra Carneiro da Silva

2 Principais Métodos Classificação por Trocas Classificação por Seleção

3 Caracteriza-se por identificar, a cada iteração, a chave de menor (maior) valor na porção do vetor ainda não ordenada e colocá-la em sua posição definitiva.

4 HeapSort Utiliza uma estrutura de dados (heap) para organizar a informação durante a execução do algoritmo. Um heap é uma estrutura de dados baseada em árvore binária que segue um critério (ou condição) bem-definido(a). Estruturalmente, deve ser uma árvore quase completa: o último nível pode não conter os nós mais à direita.

5 Condição de Heap Os dados armazenados em um heap devem satisfazer a seguinte condição: Todo nó deve ter valor maior ou igual com relação aos seus filhos (Heap Máximo). A condição não determina nenhuma relação entre os filhos de um nó (não confundir com árvore binária de pesquisa).

6 Exemplo de um Heap Máximo

7 Como representar Heaps ? Podemos representar heaps como árvores binárias ou vetores. A idéia é linearizar a árvore por níveis.

8 Relacionando os nós do Heap A representação em vetores permite relacionar os nós do heap da seguinte forma: raiz da árvore: primeira posição do vetor filhos de um nó na posição i: posições 2i e 2i+1 pai de um nó na posição i: posição i /

9 Procedimentos sobre Heaps Heapify Garante a manutenção da propriedade do Heap. Complexidade O(log 2 n). Build-Heap Produz um heap a partir de um vetor não ordenado. Complexidade O(n). Heapsort Procedimento de ordenação. Complexidade(nlog 2 n).

10 Procedimento Heapfy Reorganiza heaps (Objetivo: manter a condição). Assume que as árvores binárias correspondentes a Esq(i) e Dir(i) são heaps, mas A[i] pode ser menor que seus filhos. Exemplo: i i

11 Procedimento Build-Heap Utiliza o procedimento Heapify de forma bottom- up para transformar um vetor A[1..n] em um heap com n elementos. A[([n/2]+1)] a A[n] correspondem às folhas da árvore e portanto são heaps de um elemento. Basta chamar Heapify para os demais elementos do vetor A, ou seja, de A[(n/2)] a 1.

12 Exemplo de Build-Heap Vetor: i i

13 Exercício em Sala 1. Utilize o procedimento Build-Heap para construir um heap a partir do vetor

14 Procedimento HeapSort 1) Constrói um heap a partir de um vetor de entrada (Build-Heap). 2) Como o maior elemento está localizado na raiz (A[1]), este pode ser colocado em sua posição final, trocando-o pelo elemento A[n]. 3) Reduz o tamanho do heap de uma unidade, chama Heapify(A,1) e após término de Heapfy(A,1) repete-se o passo anterior (2), até que o heap tenha tamanho = 2.

15 Exemplo de HeapSort (1/2) Resultado do Build-Heap sobre o vetor é:

16 Exemplo de HeapSort (2/2) Aplicando o procedimento HeapSort sobre o vetor resultado do Build-Heap anterior, temos:

17 Exercício em Sala Utilize o procedimento HeapSort sobre o resultado do Build-Heap do vetor

18 HeapSort - Análise de Desempenho (1/3) Procedimento Heapfy Proc heapify ( A, i ) begin e Esquerda(i); d Direita(i); maior i; if (e heap_size[A] and A[e] > A[maior]) then maior e;/* filho da esquerda é maior */ if (d heap_size[A] and A[d] > A[maior]) then maior d;/* filho da direita é maior */ if (maior i) then begin exchange(A[i] A[maior]); heapify(A, maior); end end. Complexidade: O(log 2 n) – cada troca e comparação tem custo O(1). No máximo ocorrem log 2 n trocas. Ocorrem duas comparações (entre chaves) a cada chamada da função heapfy.

19 HeapSort - Análise de Desempenho (2/3) Procedimento Build-Heap Proc build-heap ( A ) begin heap_size[A] length[A]; for i [length[A]/2] downto 1 do heapify(A, i); end. Complexidade: A princípio o procedimento Build-Heap executa o procedimento heapfy para os elementos dos vetor que estão nas posições entre [n/2,1]. Portanto, a complexidade esperada da construção do heap é (n/2*log 2 n). No entanto, a complexidade é (n).

20 HeapSort - Análise de Desempenho (3/3) Procedimento HeapSort Proc heapsort (A) begin build_heap(A); for i length[A] downto 2 do begin exchange(A[i] A[1]); heap_size[A] heap_size[A] –1; heapify(A,1); end end. Complexidade Total do HeapSort: Etapas: - Construção do Heap O(n) - Ordenação a) Troca(raiz, final do segmento não-ordenado) O(1) b) AjustaElemento(raiz) O(log n) Executa os passos (a) e (b) n -1 vezes (n-1). log n O(n log n) Portanto: complexidade total é de O(n log n)

21 Estudo de Caso de Heap Fila de Prioridades – estrutura de dados para manutenção de um conjunto com S elementos, cada um valor de chave, e que suporta as seguintes operações: Insere_Heap(S,x): Insere o elemento x no conjunto S. O(log 2 n) Máximo(S): Retorna o elemento de S com maior valor de chave. O(1) Extrai_Max(S): Remove de S o elemento com o maior valor de chave e o retorna. O(log 2 n)

22 Procedimento Insere_Heap(S,x) 1) Apontar para a próxima posição do S após o seu último elemento (p); 2) Verificar se p > 1 AND se a chave (key) que se encontra no pai do nó apontado por p é menor do que a chave (x) a ser inserida em S. Caso as duas condições anteriores sejam verdadeiras, então key é inserida na posição p de S e p aponta agora para a antiga posição onde se encontrava a chave key. Repita este passo, até que pelo menos uma das duas condições for falsa. 3) Caso pelo menos uma das condições citadas no item 2 for falsa, então x é inserida em S na posição p

23 Exemplo de Insere_Heap (1/3) Vetor original: Inserir a chave número Vetor original Vetor após Build-Heap ???

24 Exemplo de Insere_Heap (2/3) Vetor após Build-Heap p = Insere o valor da posição 5 do vetor na posição p do vetor p aponta para a próxima posição do vetor após o último elemento do vetor p = 11

25 Exemplo de Insere_Heap (3/3) p = O valor no nodo pai do nodo apontado por p é menor que 11 (ou seja, o valor da chave a ser inserida) ? Não p = Então, insere a chave 11 na posição p do vetor. O que temos então !? Temos um build-heap

26 Procedimento Extrai_Max(S) 1)Primeiramente verifica se o conjunto S não está vazio. 2) Atribui o maior valor que está na raiz, ou seja, na 1ª posição do conjunto à max. 3) O último elemento de S é inserido na posição da raiz. Logo em seguida, decrementa-se S de uma unidade. 4) Aplicar o procedimento Heapfy a partir da 1ª posição de S, ou seja, Heapfy(S,1). 5) Retorna o valor atribuído à max.

27 Exemplo de Extrai_Max max = 16 Vetor na condição Build- Heap está vazio ? Não, então atribui o valor da raiz a max Inserido o valor do último elemento do vetor na raiz. Decrementado de uma unidade o vetor. max = 16 Aplicado o procedimento Heapfy no vetor a partir da primeira posição max = 16


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