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POLIEDROS O que você deve saber sobre O conhecimento sobre os sólidos geométricos é bastante aplicado na indústria, na engenharia e na arquitetura. Além.

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1 POLIEDROS O que você deve saber sobre O conhecimento sobre os sólidos geométricos é bastante aplicado na indústria, na engenharia e na arquitetura. Além disso, são utilizados com muita frequência por artistas contemporâneos na produção de suas obras.

2 Linha: objeto matemático com apenas uma dimensão, caracterizando um comprimento ao qual podemos associar um número real, que é sua medida de comprimento. Superfície: objeto matemático com duas dimensões, caracterizando uma área à qual podemos associar um número real, que é sua medida de área. Uma superfície pode ser plana ou não plana. Sólido: objeto matemático com três dimensões, caracterizando um volume ao qual podemos associar um número real, que é sua medida de volume. I. Figuras geométricas POLIEDROS

3 Podemos separar as figuras espaciais em dois grandes grupos. Para distingui-los, é preciso cortá-los: poliedros: fornecem apenas superfícies poligonais; corpos redondos: fornecem uma secção não poligonal curva. I. Figuras geométricas Região do corte Poliedro Região do corte Corpo Redondo POLIEDROS

4 II. Definição, elementos e classificação Faces: superfícies que delimitam o espaço, formando o sólido; Arestas: os lados comuns de duas faces; Vértices: os pontos comuns a três ou mais arestas. Vértice Aresta Face POLIEDROS

5 II. Definição, elementos e classificação Poliedro convexo Poliedro não convexo ou côncavo POLIEDROS

6 Em todo poliedro convexo, a relação entre o número de faces F, o número de arestas A e o número de vértices V é sempre: III. Relação de Euler POLIEDROS

7 São convexos; Todas as suas faces têm o mesmo número de arestas; De cada vértice parte o mesmo numero de arestas; As faces são polígonos regulares. IV. Poliedros regulares Representação das cinco classes de poliedros regulares Tetraedro regular Hexaedro regular (cubo) Octaedro regular Dodecaedro regular Icosaedro regular

8 V. Prismas POLIEDROS Bases: as superfícies poligonais convexas P e P contidas nos planos e, respectivamente Faces laterais: as demais superfícies (quadriláteros) que formam o prisma. Arestas laterais: pertencem somente às faces laterais, como CC. Arestas das bases: pertencem exclusivamente a uma das bases, como BC. Altura: a distância h entre os planos e

9 a) Classificação Oblíquo: a reta r é perpendicular aos planos e. Reto: a reta r não é perpendicular aos planos e. Regular: os polígonos que delimitam as bases são regulares. De acordo com o polígono que delimita sua base, os polígonos podem ser triangulares, quadrangulares, pentagonais etc. V. Prismas POLIEDROS b) Área da superfície Área da base (Abase) : é a área de uma face que é base Área lateral (Alateral) : é a soma das áreas das faces laterais Área total (Atotal) : é a soma da área lateral com a área das duas bases: c) Volume do prisma Medida da porção do espaço que ele ocupa.

10 VI. Pirâmides Vértice: o ponto V Base: o polígono S Arestas da base: os lados do polígono S Faces laterais: os demais polígonos (triângulos) que delimitam a pirâmide Arestas laterais: os segmentos com uma das extremidades nos vértices da base Altura: a distância h, do vértice até o plano que contém a base POLIEDROS

11 a) Classificação Retas: a projeção ortogonal do vértice sobre o plano coincide com o centro da base. Oblíquas: a projeção ortogonal do vértice sobre o plano não coincide com o centro da base. Regulares: a base é um polígono regular. VI. Pirâmides As pirâmides também recebem uma nomenclatura de acordo com o polígono da base, podendo ser triangulares, quadrangulares, pentagonais etc. POLIEDROS

12 b) Pirâmides regulares Apótema da pirâmide (g): a altura de qualquer um dos triângulos que formam as faces laterais. Eles são sempre isósceles, eventualmente equiláteros. Apótema da base (m): o raio da circunferência inscrita no polígono da base Raio da base (r): o raio da circunferência circunscrita ao polígono da base VI. Pirâmides Pirâmide regular hexagonal de altura h, arestas laterais a e arestas da base POLIEDROS

13 c) Área da superfície Área da base (A base ): área da superfície poligonal que forma a base Área lateral (A lateral ): soma das áreas das faces laterais (superfícies triangulares) Área total (A total ): soma da área lateral com a área da base d) Volume da pirâmide VI. Pirâmides POLIEDROS

14 (UEL-PR) Observe a figura. Sobre o armazenamento de mel em colmeias, tem-se que o volume V de cada alvéolo, considerado como prisma regular hexagonal reto de altura h e arestas da base iguais a é dado por: 2 POLIEDROS NO VESTIBULAR EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: E

15 (UFRGS-RS) A partir de quatro dos vértices de um cubo de aresta 6, construído com madeira maciça, foram recortadas pirâmides triangulares congruentes, cada uma tendo três arestas de medida 3, conforme representado na figura 1. O sólido obtido após a retirada das pirâmides está representado na figura 2, a seguir. O volume do sólido obtido é: a) 198. b) 204. c) 208. d) 212. e) EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: A POLIEDROS NO VESTIBULAR

16 (UFPE) Uma fábrica de embalagens confecciona caixas na forma de paralelepípedos reto-retângulos com base quadrada. Pretende-se confeccionar caixas com volume 19% menor que o das anteriores, mantendo-se a mesma altura da embalagem e diminuindo-se o lado da base quadrada. Em qual percentual se deve reduzir o lado da base? 7 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: POLIEDROS NO VESTIBULAR

17 (UFPB) Foram feitas embalagens de presente em forma de prisma regular de altura H = cm e base triangular de lado L = 8 cm, conforme ilustra a figura ao lado. Sabendo-se que as embalagens não têm tampa e que o custo para a sua produção, por cm 2, é de R$ 0,05, o custo total de fabricação de cada unidade é : (Dado: considere = 1,7) a) R$ 12,30. b) R$ 13,60. c) R$ 8,16. d) R$ 15,20. e) R$ 17,30. 9 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: B POLIEDROS NO VESTIBULAR

18 (UFRGS-RS) Na figura ao lado, os vértices do quadrilátero ABCD são pontos médios de quatro das seis arestas do tetraedro regular. Se a aresta desse tetraedro mede 10, então a área do quadrilátero ABCD é: a) 25. b). c) 75. d). e) EXERC Í CIOS ESSENCIAIS 15 RESPOSTA: A POLIEDROS NO VESTIBULAR

19 (UFU-MG) Na figura a seguir, temos um cubo ABCDEFGH de aresta a = 6 cm. Os pontos I, J, K, L, M e N são pontos médios das arestas a que pertencem. Determine o volume da pirâmide de base hexagonal IJKLMN e vértice H. 1 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS 17 RESPOSTA: POLIEDROS NO VESTIBULAR


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