O que você deve saber sobre

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1 O que você deve saber sobre
Mat-cad-1-top-7 – 3 Prova O que você deve saber sobre CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA A inscrição de ângulos em circunferências possibilita estender a aplicação das relações trigonométricas, obtidas inicialmente para os ângulos agudos no triângulo retângulo, a qualquer ângulo compreendido entre 0o e 360o. Ampliamos, assim, nosso conhecimento sobre triângulos não retângulos.

2 Mat-cad-1-top-7 – 3 Prova I. Ângulos e arcos Na figura abaixo, o ângulo  está inscrito em uma circunferência, na qual o vértice V coincide com o centro. Esse ângulo é denominado central. CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

3 Mat-cad-1-top-7 – 3 Prova I. Ângulos e arcos A partir da figura, vemos que a razão entre o comprimento do arco e a medida do respectivo raio da circunferência é constante. Essa constante indica a medida do ângulo central, em radianos. Sendo K uma constante real. CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

4 Mat-cad-1-top-7 – 3 Prova I. Ângulos e arcos O arco correspondente a uma volta completa, numa circunferência qualquer, mede: CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

5 Mat-cad-1-top-7 – 3 Prova I. Ângulos e arcos Correspondência de alguns valores de ângulos em graus e radianos: Tal correspondência é feita a partir de uma regra de três simples: 360º = 2 rad. CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

6 II. O ciclo trigonométrico
Mat-cad-1-top-7 – 3 Prova II. O ciclo trigonométrico É uma circunferência de raio unitário e cujo centro coincide com a origem de um plano cartesiano. OBC é retângulo em B, e a hipotenusa OC mede 1 (raio da circunferência unitário). As coordenadas (xC, yC) do ponto C são numérica (e respectivamente) iguais a cos a e sen a. Os sinais de seno e cosseno dos ângulos inscritos no ciclo trigonométrico dependem do quadrante no qual a extremidade do arco associado está localizada. CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

7 II. O ciclo trigonométrico
Mat-cad-1-top-7 – 3 Prova II. O ciclo trigonométrico 1. Como vimos, se 0o <  < 90o, o ponto extremo pertence ao primeiro quadrante, então sen  e cos  são positivos. 2. Se 90º < a < 180o, então sen a > 0 e cos a < 0. 3. Se 180º < a < 270o, então sen a < 0 e cos a < 0. 4. Se 270º < a < 360o, então cos a > 0 e sen a < 0. Note ainda que: CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

8 III. A tangente no ciclo trigonométrico
Mat-cad-1-top-7 – 3 Prova III. A tangente no ciclo trigonométrico Sobre a circunferência trigonométrica, tomamos um eixo paralelo a Oy e que passa pelo ponto A(1, 0). Todos os pontos sobre esse eixo serão do tipo T(1, t). CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

9 Círculo Trigonométrico Clique na imagem abaixo para ver a animação.
Mat-cad-1-top-7 – 3 Prova Círculo Trigonométrico Clique na imagem abaixo para ver a animação. Professor: esse simulador auxilia na obtenção de pontos simétricos em relação aos eixos e/ou ao centro de coordenadas. Peça aos alunos que de início treinem algebricamente e depois confiram os resultados por meio do simulador. Ele permite também verificar o seno e o cosseno de ângulos que normalmente não são encontrados em tabelas. Torna possível, assim, experimentar a relação fundamental da trigonometria com grande variedade de ângulos. CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

10 III. A tangente no ciclo trigonométrico
Mat-cad-1-top-7 – 3 Prova III. A tangente no ciclo trigonométrico O sinal da tangente dos ângulos inscritos no ciclo trigonométrico depende do quadrante no qual o ponto T, associado ao ângulo α, está localizado: 1. Se 0o < a < 90o ou 180o < a < 270o, a coordenada t estará localizada no semiplano positivo, portanto a tg  é positiva. 2. Se 90o < a < 180o ou 270o < a < 360o, a coordenada t estará localizada no semiplano negativo, então a tg a é negativa. A tg a não é limitada, e tg  e tg 3 não existem, pois, quando se 2 2 prolonga o raio do ciclo trigonométrico associado a esses ângulos centrais, esse prolongamento não cruza o eixo das tangentes. CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

11 IV. Outras relações trigonométricas
Mat-cad-1-top-7 – 3 Prova IV. Outras relações trigonométricas No quadro, os valores de seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente dos pontos críticos da 1a volta (0o, 90º, 180º, 270º e 360º). CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

12 Mat-cad-1-top-7 – 3 Prova 2 (Unesp) Em um jogo eletrônico, o “monstro” tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a figura. A parte que falta do círculo é a boca do “monstro”, e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do “monstro”, em cm, é: EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: E CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

13 II. as retas WX e YZ são perpendiculares;
Mat-cad-1-top-7 – 3 Prova 4 (Unesp) Considere um plano sobre o qual estão localizados os pontos X, Y, Z e W, de forma que: I. X, Y e Z são colineares; II. as retas WX e YZ são perpendiculares; III. X é um ponto exterior ao segmento YZ; IV. a distância YZ é de 90 cm; V. os ângulos WZX e WYX medem, respectivamente, 45º e 60º. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS ^ ^ RESPOSTA: CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

14 Mat-cad-1-top-7 – 3 Prova 6 (UEG-GO) Duas importantes cidades estão localizadas sobre a linha do Equador: uma é a capital do Amapá e a outra é a capital do Equador, ambas na América do Sul. Suas longitudes são, respectivamente, 78º oeste e 52º oeste. Considerando que a Terra é uma esfera de raio km, qual é a distância entre essas duas cidades? EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

15 a) Admitindo-se que sen a = , calcule a distância x.
Mat-cad-1-top-7 – 3 Prova 10 (Unesp) Um farol localizado a 36 m acima do nível do mar é avistado por um barco a uma distância x da base do farol, a partir de um ângulo a, conforme a figura: a) Admitindo-se que sen a = , calcule a distância x. b) Assumindo-se que o barco se aproximou do farol e que uma nova observação foi realizada, na qual o ângulo  passou exatamente para 2, calcule a nova distância x’ a que o barco se encontrará da base do farol. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

16 Calcule o valor numérico da expressão:
Mat-cad-1-top-7 – 3 Prova 11 (UFC-CE) Calcule o valor numérico da expressão: em que log indica o logaritmo na base 10 e tg indica a tangente do ângulo. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

17 a) expresse a área da quadra em função do ângulo ;
Mat-cad-1-top-7 – 3 Prova 13 (UFG-GO) A figura ao lado representa uma quadra retangular inscrita num terreno semicircular cujo raio mede 10 m. Nessas condições, a) expresse a área da quadra em função do ângulo ; b) determine as dimensões da quadra que possui área máxima. RESPOSTA: EXERCÍCIOS ESSENCIAIS CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

18 b) os valores de a, quando a altura h do satélite é de 1.580 km.
Mat-cad-1-top-7 – 3 Prova 16 (Unesp) A figura mostra a órbita elíptica de um satélite S em torno do planeta Terra. Na elipse estão assinalados dois pontos: o ponto A (apogeu), que é o ponto da órbita mais afastado do centro da Terra, e o ponto P (perigeu), que é o ponto da órbita mais próximo do centro da Terra. O ponto O indica o centro da Terra e o ângulo PÔS tem medida a, com 0º ≤ a ≤ 360º. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS Determine: a) a altura h do satélite quando este se encontra no perigeu e também quando se encontra no apogeu. b) os valores de a, quando a altura h do satélite é de km. RESPOSTA: CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA