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CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1 a VOLTA O que você deve saber sobre A inscrição de ângulos em circunferências possibilita estender a aplicação das relações trigonométricas,

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1 CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1 a VOLTA O que você deve saber sobre A inscrição de ângulos em circunferências possibilita estender a aplicação das relações trigonométricas, obtidas inicialmente para os ângulos agudos no triângulo retângulo, a qualquer ângulo compreendido entre 0 o e 360 o. Ampliamos, assim, nosso conhecimento sobre triângulos não retângulos.

2 CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1 a VOLTA I. Ângulos e arcos Na figura abaixo, o ângulo está inscrito em uma circunferência, na qual o vértice V coincide com o centro. Esse ângulo é denominado central.

3 A partir da figura, vemos que a razão entre o comprimento do arco e a medida do respectivo raio da circunferência é constante. Essa constante indica a medida do ângulo central, em radianos. I. Ângulos e arcos CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1 a VOLTA Sendo K uma constante real.

4 O arco correspondente a uma volta completa, numa circunferência qualquer, mede: I. Ângulos e arcos CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1 a VOLTA

5 Correspondência de alguns valores de ângulos em graus e radianos: Tal correspondência é feita a partir de uma regra de três simples: 360º = 2 rad. I. Ângulos e arcos CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1 a VOLTA

6 II. O ciclo trigonométrico É uma circunferência de raio unitário e cujo centro coincide com a origem de um plano cartesiano. OBC é retângulo em B, e a hipotenusa OC mede 1 (raio da circunferência unitário). As coordenadas (x C, y C ) do ponto C são numérica (e respectivamente) iguais a cos e sen. Os sinais de seno e cosseno dos ângulos inscritos no ciclo trigonométrico dependem do quadrante no qual a extremidade do arco associado está localizada. CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1 a VOLTA

7 II. O ciclo trigonométrico 1. Como vimos, se 0 o < < 90 o, o ponto extremo pertence ao primeiro quadrante, então sen e cos são positivos. 2. Se 90 º 0 e cos < Se 180 º < < 270 o, então sen < 0 e cos < Se 270 º 0 e sen < 0. Note ainda que: CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1 a VOLTA

8 III. A tangente no ciclo trigonométrico Sobre a circunferência trigonométrica, tomamos um eixo paralelo a Oy e que passa pelo ponto A(1, 0). Todos os pontos sobre esse eixo serão do tipo T(1, t). CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1 a VOLTA

9 Círculo Trigonométrico Clique na imagem abaixo para ver a animação.

10 A tg não é limitada, e tg e tg 3 não existem, pois, quando se 2 2 prolonga o raio do ciclo trigonométrico associado a esses ângulos centrais, esse prolongamento não cruza o eixo das tangentes. O sinal da tangente dos ângulos inscritos no ciclo trigonométrico depende do quadrante no qual o ponto T, associado ao ângulo α, está localizado: III. A tangente no ciclo trigonométrico 1. Se 0 o < < 90 o ou 180 o < < 270 o, a coordenada t estará localizada no semiplano positivo, portanto a tg é positiva. 2. Se 90 o < < 180 o ou 270 o < < 360 o, a coordenada t estará localizada no semiplano negativo, então a tg é negativa. CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1 a VOLTA

11 IV. Outras relações trigonométricas No quadro, os valores de seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente dos pontos críticos da 1 a volta (0 o, 90 º, 180 º, 270 º e 360 º ). CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1 a VOLTA

12 (Unesp) Em um jogo eletrônico, o monstro tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a figura. A parte que falta do círculo é a boca do monstro, e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do monstro, em cm, é: 2 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: E CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1 a VOLTA

13 (Unesp) Considere um plano sobre o qual estão localizados os pontos X, Y, Z e W, de forma que: I. X, Y e Z são colineares; II. as retas WX e YZ são perpendiculares; III. X é um ponto exterior ao segmento YZ; IV. a distância YZ é de 90 cm; V. os ângulos WZX e WYX medem, respectivamente, 45º e 60º. 4 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS ^^ RESPOSTA: CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1 a VOLTA

14 (UEG-GO) Duas importantes cidades estão localizadas sobre a linha do Equador: uma é a capital do Amapá e a outra é a capital do Equador, ambas na América do Sul. Suas longitudes são, respectivamente, 78º oeste e 52º oeste. Considerando que a Terra é uma esfera de raio km, qual é a distância entre essas duas cidades? 6 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1 a VOLTA

15 (Unesp) Um farol localizado a 36 m acima do nível do mar é avistado por um barco a uma distância x da base do farol, a partir de um ângulo, conforme a figura: a) Admitindo-se que sen =, calcule a distância x. b) Assumindo-se que o barco se aproximou do farol e que uma nova observação foi realizada, na qual o ângulo passou exatamente para 2, calcule a nova distância x a que o barco se encontrará da base do farol. 10 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1 a VOLTA

16 (UFC-CE) Calcule o valor numérico da expressão: em que log indica o logaritmo na base 10 e tg indica a tangente do ângulo. 11 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1 a VOLTA

17 (UFG-GO) A figura ao lado representa uma quadra retangular inscrita num terreno semicircular cujo raio mede 10 m. Nessas condições, a) expresse a área da quadra em função do ângulo ; b) determine as dimensões da quadra que possui área máxima. 13 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1 a VOLTA

18 Determine: a) a altura h do satélite quando este se encontra no perigeu e também quando se encontra no apogeu. b) os valores de, quando a altura h do satélite é de km. 16 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: (Unesp) A figura mostra a órbita elíptica de um satélite S em torno do planeta Terra. Na elipse estão assinalados dois pontos: o ponto A (apogeu), que é o ponto da órbita mais afastado do centro da Terra, e o ponto P (perigeu), que é o ponto da órbita mais próximo do centro da Terra. O ponto O indica o centro da Terra e o ângulo PÔS tem medida, com 0º 360º. CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1 a VOLTA


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