Mecânica Quântica: uma abordagem (quase) conceitual

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1 Mecânica Quântica: uma abordagem (quase) conceitual
Carlos Eduardo Aguiar Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física Instituto de Física - UFRJ I Escola Brasileira de Ensino de Física UFABC, outubro de 2014

2 Sumário Ensino e aprendizagem de mecânica quântica Fenômenos quânticos
Princípios da mecânica quântica Sistemas quânticos simples: aplicações Emaranhamento Realismo, contextualidade e não-localidade Operadores, autovalores, autovetores C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

3 Ensino e aprendizagem de mecânica quântica
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

4 Ensino e aprendizagem de mecânica quântica
Dificuldades conceituais Dificuldades matemáticas Literatura Material didático: simulações, vídeos C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

5 Ensino e aprendizagem de mecânica quântica
Dificuldades conceituais Superposição quântica Probabilidade subjetiva x objetiva Complementaridade O problema da medida Realismo vs. localidade ... Dificuldades matemáticas Vetores Números complexos Espaços vetoriais complexos Operadores, autovalores, autovetores Dimensão infinita, operadores diferenciais, funções especiais C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

6 Ensino e aprendizagem de mecânica quântica
Entre os alunos as dificuldades matemáticas ganham proeminência pela necessidade de adquirir um domínio operacional da teoria, essencial a aplicações. Como veremos, é possível expor a teoria quântica – sem descaracterizá-la – reduzindo as ferramentas matemáticas a vetores e um pouco de números complexos. Com isso, torna-se viável dar mais atenção aos aspectos conceituais. Tal abordagem pode ser de interesse a alunos para os quais o aspecto operacional não é o mais importante (licenciandos em física, por exemplo). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

7 Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica
D. F. Styer, Common misconceptions regarding quantum mechanics, American Journal of Physics 64 , 31, 1996. I. D. Johnston, K. Crawford, P. R. Fletcher, Student difficulties in learning quantum mechanics, International Journal of Science Education 20 , 427, 1998. S. Vokos, P. S. Shaffer, B. S. Ambrose, L. C. McDermott, Student understanding of the wave nature of matter: Diffraction and interference of particles, American Journal of Physics 68, S42, 2000. G. Ireson, The quantum understanding of pre-university physics students, Physics Education 35, 15, 2000. G. Pospiech, Uncertainty and complementarity: the heart of quantum physics, Physics Education 35, 393, 2000. I. M. Greca, M. A. Moreira, Uma revisão da literatura sobre estudos relativos ao ensino da mecânica quântica introdutória, Investigações em Ensino de Ciências 6, 29, 2001. I. M. Greca, M. A. Moreira, V.E. Herscovitz, Uma proposta para o ensino de mecânica quântica, Revista Brasileira de Ensino de Física 33, 444, 2001. C. Singh, Student understanding of quantum mechanics, American Journal of Physics 69, 885, 2001. E. Cataloglu, R. W. Robinett, Testing the development of student conceptual and visualization understanding in quantum mechanics through the undergraduate career, American Journal of Physics 70, 238, 2002. K. Mannila, I. T. Koponen, J. A. Niskanen, Building a picture of students’ conceptions of wave- and particle-like properties of quantum entities, European Journal of Physics 23, 45, 2002. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

8 Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica
R. Müller, H. Wiesner, Teaching quantum mechanics on an introductory level, American Journal of Physics 70, 200, 2002. M. Alonso, Emphasize applications in introductory quantum mechanics courses, American Journal of Physics 70, 887, 2002; ver também a resposta de Müller e Wiesner na mesma página. I. M. Greca, O. Freire Jr, Does an emphasis on the concept of quantum states enhance students’ understanding of quantum mechanics?, Science & Education 12 , 541, 2003. F. Ostermann, T. F. Ricci, Construindo uma unidade didática conceitual sobre mecânica quântica: um estudo na formação de professores de física, Ciência & Educação 10, 235, 2004. D. T. Brookes, E. Etkina, Using conceptual metaphor and functional grammar to explore how language used in physics affects student learning, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 3, , 2007. M. Fanaro, M. Arlego, M. R. Otero, “El método de caminos múltiples de Feynman como referencia para introducir los conceptos fundamentales de la mecánica cuántica en la escuela secundaria,” Caderno Brasileiro de Ensino de Física 24, 233, 2007. S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Why we should teach the Bohr model and how to teach it effectively, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 4, 10103, 2008. C. Singh, Student understanding of quantum mechanics at the beginning of graduate instruction, American Journal of Physics 76, 277, 2008. C. Singh, Interactive learning tutorials on quantum mechanics, American Journal of Physics 76, 400, 2008. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

9 Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica
L. D. Carr, S. B. McKagan, Graduate quantum mechanics reform, American Journal of Physics 77, 308, 2009. M. Dubson, S. Goldhaber, S. Pollock, K. Perkins, Faculty Disagreement about the Teaching of Quantum Mechanics, 2009 Physics Education Research Conference, AIP Conference Proceedings 1179, 137, 2009. C. Baily, N. D. Finkelstein, Development of quantum perspectives in modern physics, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 5, 10106, 2009. C. Baily, N. D. Finkelstein, Teaching and understanding of quantum interpretations in modern physics courses, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, 10101, 2010. S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Design and validation of the Quantum Mechanics Conceptual Survey, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, , 2010. L. Deslauriers, C. E. Wieman, Learning and retention of quantum concepts with different teaching methods, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 7, , 2011. M. Ayene, J. Kriek, B. Damtie, Wave-particle duality and uncertainty principle: Phenomenographic categories of description of tertiary physics students’ depictions, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 7, , 2011. G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum mechanics via the Stern–Gerlach experiment, American Journal of Physics 79, 499, 2011. G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. I. Investigation of difficulties, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8, , 2012. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

10 Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica
G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. II. Development of research-based learning tools, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8, , 2012. O. Levrini, P. Fantini, Encountering productive forms of complexity in learning modern physics, Science & Education 22,1895, 2013. C. C. Sahelices, J. A. M. Villagrá, Principios de mecánica cuántica en la resolución de problemas de estructuras atómicas en estudiantes de química, Experiências em Ensino Ciências 9, 1, 2013. W. Dür, S. Heusler, What we can learn about quantum physics from a single qubit, arXiv: , 2013. A. Kohnle et al., A new introductory quantum mechanics curriculum, European Journal of Physics 35, , 2014. J. Castrillon, O. Freire Jr, B. Rodriguez, Mecánica cuántica fundamental, una propuesta didáctica, Revista Brasileira de Ensino de Física 36, 1505, 2014. C. Baily, N. D. Finkelstein, Teaching quantum interpretations: Revisiting the goals and practices of introductory quantum physics courses, arXiv: , 2014. C. Baily, N. D. Finkelstein, Ontological Flexibility and the Learning of Quantum Mechanics, arXiv: , 2014. A. Kohnle, C. Baily, S. Ruby, Investigating the influence of visualization on student understanding of quantum superposition, arXiv: , 2014. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

11 Livros R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Lições de Física de Feynman, vol. III, Bookman, 2008. R. P. Feynman, QED - A estranha teoria da luz e da matéria, Gradiva, 1988. H. M. Nussenzveig, Curso de Física Básica: Ótica, Relatividade, Física Quântica, Blucher, 2002. I. M. Greca, V. E. Herscovitz, Introdução à Mecânica Quântica, UFRGS, 2002 ( O. Pessoa Jr, Conceitos de Física Quântica, Livraria da Física, 2003. D. F. Styer, The Strange World of Quantum Mechanics, Cambridge UP, 2000. J. Polkinghorne, Quantum Theory: A Very Short Introduction, Oxford UP,   V. Scarani, Quantum physics: a first encounter, Oxford UP, 2006. B. Rosenblum , F. Kuttner , Quantum Enigma: Physics Encounters Consciousness, Oxford UP, 2006. A. Rae, Quantum Physics: Illusion or Reality?, Cambridge UP, 2012. M. Le Bellac, The Quantum World, World Scientific, 2013. L. Susskind, A. Friedman, Quantum Mechanics: The Theoretical Minimum, Basic Books, 2014 G. Greenstein, A. G. Zajonc, The Quantum Challenge: Modern Research on the Foundations of Quantum Mechanics, Jones & Bartlett, 2005. M. Le Bellac, Quantum Physics, Cambridge UP, 2006. D. McIntyre, C. A. Manogue, J. Tate, Quantum Mechanics: A Paradigms Approach, Addison-Wesley, 2012. M. Beck, Quantum Mechanics: Theory and Experiment, Oxford UP, 2012. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

12 Simulações Interferômetro de Mach-Zehnder (Universidade Federal do Rio Grande do Sul) Experiência de Stern-Gerlach (Universidade Federal do Rio Grande do Sul) QuantumLab (Universität Erlangen-Nürnberg) PhET (University of Colorado) SPINS (Oregon State University) Quantum physics (École Polytechnique) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

13 Internet Quantum Physics (IoP) http://quantumphysics.iop.org/
Quantum Mechanics (Leonard Susskind) Quantum Entanglement (Leonard Susskind) Advanced Quantum Mechanics (Leonard Susskind) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

14 Fenômenos Quânticos Charles Addams, New Yorker, 1940
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15 Um experimento com a luz
feixe luminoso pouco intenso semiespelho (50-50%) espelho detectores de luz D1 D2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

16 Resultado do experimento
Os detectores nunca disparam ao mesmo tempo: apenas um, ou D1 ou D2, é ativado a cada vez. D1 D2 ou 50% 50% probabilidade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

17 Se a luz fosse uma onda D1 D2 ... os detectores deveriam disparar ao mesmo tempo. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

18 Se a luz é composta por partículas
ou D1 D2 ... ou D1 dispara, ou D2 dispara. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

19 Conclusão A luz é composta por partículas: os fótons.
O detector que dispara aponta “qual caminho” o fóton tomou. caminho 2 caminho 1 D2 D1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

20 O experimento de Grangier, Roger & Aspect
Experimento realizado pela primeira vez em 1986 por Philippe Grangier, Gérard Roger e Alain Aspect. A fonte luminosa de “pouco intensa” usada no experimento não é fácil de construir. ν1 ν2 átomo de cálcio τ = 4,7 ns C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

21 O experimento de Grangier, Roger & Aspect
w = 9 ns P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

22 Resultado do experimento de Grangier et al.
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23 Sobre o ensino do conceito de fóton
Os experimentos de anticoincidência fornecem evidência simples e direta da natureza corpuscular da luz. Mais fácil de discutir (principalmente no ensino médio) que o efeito fotoelétrico. Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton não é necessário para explicar os efeitos fotoelétrico e Compton. G. Beck, Zeitschrift für Physik 41, 443 (1927) E. Schroedinger, Annalen der Physik 82, 257 (1927) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

24 Outro experimento com a luz
D2 D1 segundo semiespelho feixe luminoso “fóton a fóton” interferômetro de Mach-Zehnder C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

25 Preliminares: um feixe bloqueado
1 2 50% 25% C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

26 O outro feixe bloqueado
1 2 50% 25% C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

27 Resultado fácil de entender com partículas
1 2 50% 25% = caminho do fóton C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

28 De volta ao interferômetro
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29 Resultado do experimento:
0% 100% D1 D2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

30 Difícil de entender se os fótons seguem caminhos definidos
1 25% 2 25% Se o fóton segue o caminho 1 (2) não deve fazer diferença se o caminho 2 (1) está aberto ou fechado, e portanto vale o resultado do experimento preliminar. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

31 Proposição* Cada fóton segue ou o caminho 1 ou o caminho 2
consequência: probabilidade do detector Dn disparar apenas o caminho 2 aberto apenas o caminho 1 aberto * The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-5 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

32 Teste da Proposição Experimentalmente: a proposição é falsa!
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33 “o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2”
Repetindo: A afirmativa “o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2” é falsa. “… um fenômeno que é impossível, absolutamente impossível, de explicar em qualquer forma clássica, e que traz em si o coração da mecânica quântica.” R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

34 Por onde vai o fóton? 2 1 e 2 1 nem 1 nem 2 ou 1 ou 2
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35 Por onde vai o fóton? Experimentalmente, a opção “ou 1 ou 2” é falsa.
Se os dois caminhos forem fechados, nenhum fóton chega aos detectores. Logo, “nem 1 nem 2” também não é aceitável. Parece restar apenas a opção “1 e 2”: o fóton segue os dois caminhos ao mesmo tempo. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

36 Uma resposta melhor Não faz sentido falar sobre o caminho do fóton no interferômetro, pois a montagem experimental não permite distinguir os caminhos 1 e 2. A pergunta “qual o caminho do fóton?” só faz sentido frente a um aparato capaz de produzir uma resposta. Quando alguém deseja ser claro sobre o que quer dizer com as palavras “posição de um objeto”, por exemplo do elétron (em um sistema de referência), ele deve especificar experimentos determinados com os quais pretende medir tal posição; do contrário essas palavras não terão significado. - W. Heisenberg, The physical content of quantum kinematics and mechanics (o artigo de1927 sobre o princípio da incerteza) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

37 Fácil de entender num modelo ondulatório
interferência construtiva destrutiva C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

38 Comprimentos variáveis
L1 L2 PD2 PD1 L1, L2 = comprimentos ajustáveis dos “braços” do interferômetro C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

39 Resultado experimental:
L1 – L2 1 PD1 PD2 (linha tracejada: “ou 1 ou 2” ↔ PD(1) + PD(2)) Padrão de interferência: é possível definir um comprimento de onda. Só há um fóton de cada vez no interferômetro: o fóton “interfere com ele mesmo”. Se cada fóton seguisse um único caminho (ou 1 ou 2), o comprimento do outro caminho não deveria influenciar o resultado. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

40 O experimento de Grangier, Roger & Aspect
P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

41 O experimento de Grangier, Roger & Aspect
L1 – L2 (λ/50) L1 – L2 (λ/50) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

42 Interferência de nêutrons
interferômetro de nêutrons S. A. Werner, Neutron interferometry, Physics Today 33, 24 (dezembro1980) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

43 Interferência de átomos
interferômetro de átomos A. D. Cronin, J. Schmiedmayer, D. E. Pritchard, Optics and interferometry with atoms and molecules, Reviews of Modern Physics 81, 1051 (2009) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

44 Interferência de elétrons
A. Tonomura et al., Demonstration of single-electron build-up of an interference pattern, Am. J. Phys. 57, 117 (1989) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

45 E se os caminhos forem distinguíveis?
interferência desaparece ! diferença de “caminhos” (ajustável) P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

46 interferômetro de Ramsey
E se os caminhos forem distinguíveis? o experimento real interferômetro de Ramsey P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

47 E se os caminhos forem distinguíveis?
Massa = 0 caminho identificado não há padrão de interferência Massa  ∞ caminho não identificado padrão de interferência N  Massa P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

48 impossível determinar
E se a informação sobre o caminho for apagada? impossível determinar o caminho interferência P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

49 Quando há interferência?
Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, indistinguíveis experimentalmente interferência (“1 e 2”) Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, distinguíveis experimentalmente (“ou 1 ou 2”) não há interferência C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

50 Princípios da Mecânica Quântica
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51 Princípios da Mecânica Quântica
Vetores de estado e o princípio da superposição A regra de Born Complementaridade e o princípio da incerteza Colapso do vetor de estado Evolução unitária Sistemas de N estados C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

52 Vetores de Estado e o Princípio da Superposição
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53 Sistemas de dois estados
esquerda / direita horizontal / vertical para cima / para baixo sim / não 0 / 1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

54 Sistemas de dois estados
fóton refletido fóton transmitido cara coroa C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

55 Sistemas de dois estados
grandeza física observável: a2 a1 a2 a1 A = ? ou a2 a1 medidor de “A” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

56 Sistemas clássicos Sistema clássico de dois estados, A = a1 e A = a2.
Representação dos estados: pontos no “eixo A” sistema tem A = a2 sistema tem A = a1 A a1 a2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

57 Sistemas quânticos: vetores de estado
Sistema quântico de dois estados, A = a1 e A = a2. Representação dos estados: vetores ortogonais (e de comprimento unitário) em um espaço de duas dimensões sistema tem A = a2 sistema tem A = a1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

58 A notação de Dirac vetor ↔ exemplos: identificação
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59 O que muda? ? O que muda é o seguinte:
Passar de dois pontos em uma reta para dois vetores perpendiculares não parece ser mais do mudar o sistema de “etiquetagem” dos estados. ? A a1 a2 O que muda é o seguinte: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

60 O Princípio da Superposição
Qualquer combinação linear dos vetores |a1ñ e |a2ñ representa um estado físico do sistema. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

61 Significado de |ñ A = a1 e A = a2 ? esquerda e direita?
horizontal e vertical? sim e não? 0 e 1? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

62 O espaço de estados é grande
Um sistema quântico de dois estados tem muito mais que dois estados, tem infinitos estados. Os estados |a1 e |a2 formam uma “base” do espaço de estados. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

63 Princípio da Superposição: formulação geral
Se |ñ e |ñ são vetores de estado, qualquer combinação linear deles representa um estado físico do sistema. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

64 Um ‘detalhe técnico’ As constantes c1 e c2 podem ser números complexos (o espaço de estados é um espaço vetorial complexo). Deve-se ter cuidado com figuras como esta: c2 c1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

65 Outro ‘detalhe técnico’
Qual o significado de “ortogonalidade” num espaço vetorial complexo? Como se define “comprimento” de um vetor nesse espaço? ? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

66 A Regra de Born C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

67 A Regra de Born c2 c1 A probabilidade de uma medida da grandeza física A resultar em A = an é (n = 1, 2) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

68 A Regra de Born ? a1 a2 medidor de “A”
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

69 Probabilidade total Só há dois resultados possíveis, ou a1 ou a2.
A probabilidade da medida resultar ou em a1 ou em a2 é 1 (100%) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

70 Normalização do vetor de estado
c2 c1 Norma de |ñ: (tamanho do vetor |ñ) Com essa definição: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

71 Normalização do vetor de estado
|ñ e |ñ têm normas diferentes mas representam o mesmo estado físico! C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

72 Normalização do vetor de estado
Todos os vetores ao longo de uma dada direção representam o mesmo estado físico. Podemos trabalhar apenas com vetores “normalizados”: ou seja, C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

73 Vetores normalizados: a Regra de Born
? a2 a1 medidor de “A” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

74 Amplitude de probabilidade
cn  amplitude de probabilidade probabilidade = |amplitude de probabilidade|2 “função de onda” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

75 Frequência dos resultados de medidas
 N1  a1 N2  a2 N medidas de A (N ) podemos prever a frequência dos resultados: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

76 Valor médio dos resultados
 valor médio de A: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

77 Incerteza c2 c1 c1, c2  0 impossível prever o resultado de uma medida ou Se possível prever o resultado (probabilidade = 100%): valor de A “bem definido” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

78 A = incerteza de A no estado |
ou A = 0 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

79 Complementaridade e o Princípio da Incerteza
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80 Complementaridade A B a1 a2 duas grandezas físicas: A e B b1 b2
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81 Grandezas compatíveis e incompatíveis
A e B compatíveis A e B incompatíveis A e B complementares: incompatibilidade “máxima” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

82 O Princípio da Incerteza
A bem definido, B incerto ( A = 0,  B  0) A e B incertos ( A  0,  B  0) B bem definido, A incerto ( B = 0,  A  0) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

83 O Princípio da Incerteza
A e B incompatíveis  nenhum estado | com  A = 0 e  B = 0 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

84 Exemplo: posição e momentum
duas posições: |x1, |x2 (“aqui”, “ali”) dois estados de movimento: |p1, |p2 (“repouso”, “movimento”) impossível ter um estado com posição e momentum bem definidos C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

85 Resumo da “cinemática” quântica
vetor no espaço de estados estado físico sistema de eixos (uma “base”) no espaço de estados grandeza física C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

86 Resumo da “cinemática” quântica
projeção do vetor de estado no eixo |an  probabilidade da medida resultar em A = an probabilidade de uma medida da grandeza A resultar em A = a1 ou A = a2 grandezas físicas incompatíveis (complementares) diferentes sistemas de eixos no espaço de estados C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

87 Como o vetor de estado muda com o tempo?
“Colapso” durante uma medida Evolução unitária (equação de Schroedinger) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

88 Colapso do Vetor de Estado

89 Colapso do vetor de estado
antes da medida a2 a1 depois da medida C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

90 Colapso do vetor de estado
resultado A = a2 A = a1 medida de A resulta em an  logo após a medida o vetor de estado do sistema é |an C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

91 Colapso do vetor de estado
O colapso garante que a medida é repetível: se obtemos A = an e imediatamente refazemos a medida, encontramos A = an novamente com 100% de probabilidade. O estado | an  é o único em que a nova medida resultará em A = an com 100% de probabilidade. |  |an: a medida causa uma alteração imprevisível e incontrolável do estado quântico; versão moderna do “salto quântico”. O colapso aplica-se a medidas “ideais” (medidas de von Neuman, ou projetivas). Na prática, muitas vezes não faz sentido falar em colapso. Por exemplo: Um fóton geralmente é absorvido durante sua detecção; não há mais fóton após a primeira medida. Medidas de grandezas contínuas como posição e momentum não têm resultados absolutamente precisos; os detectores necessariamente possuem uma resolução finita. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

92 Medidas simultâneas de duas grandezas
b2 b1 (A, B) ( A  0,  B  0) ( A = 0,  B = 0) Se A e B são incompatíveis (complementares), não existe estado | com  A = 0 e  B = 0. É impossível realizar um experimento no qual A e B são medidos simultaneamente (de forma reprodutível). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

93 Evolução Unitária

94 A equação de Schroedinger
Evolução temporal do vetor de estado: |(0)  |(t) Dinâmica quântica: determinada pela energia do sistema (o conceito de força é pouco relevante). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

95 A (solução da) equação de Schroedinger
Sistema de dois estados Dois níveis de energia: E1, E2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

96 A (solução da) equação de Schroedinger
ћ = constante de Planck ( 2)  110-34 Js Números complexos são inevitáveis. Mesmo que as componentes do vetor de estado sejam reais em t = 0, para t  0 elas serão complexas: A evolução |(0)  |(t) ditada pela equação de Schroedinger é contínua (sem ‘saltos quânticos’) e determinista (sem elementos probabilísticos). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

97 Propriedades da equação de Schroedinger
Linearidade: t  0 t = 0 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

98 Propriedades da equação de Schroedinger
Conserva a norma do vetor de estado: tamanho não muda Conserva o ortogonalidade entre vetores: dois vetores perpendiculares continuam perpendiculares C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

99 Demonstração da linearidade
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

100 Demonstração da conservação da norma
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

101 Demonstração da conservação da ortogonalidade
|(0) e |(0) ortogonais |(t) e |(t) ortogonais C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

102 Propriedades da equação de Schroedinger
Determinismo Continuidade Linearidade Conservação da norma Conservação da ortogonalidade “evolução unitária” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

103 Estados estacionários
Estado de energia bem definida En: mesma “direção” que |En |(t) e |(0) representam o mesmo estado físico. Estados de energia bem definida são “estacionários”. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

104 Conservação da energia
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

105 Eq. de Schroedinger x Processos de medida
Equação de Schroedinger: contínua determinista válida enquanto não se faz uma medida Colapso do vetor de estado: descontínuo probabilístico ocorre durante a medida C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

106 Eq. de Schroedinger x Processos de medida
Dois tipos de evolução temporal? Equação de Schroedinger: interação do sistema quântico com outros sistemas quânticos. A = a1 e A = a2 Colapso do vetor de estado: interação do sistema quântico com um aparato clássico, o aparelho de medida (o “observador”). A = a1 ou A = a2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

107 O “problema da medida” |  |    
Por que o aparelho de medida não é regido pela eq. de Schroedinger? a2 a1 Descrição quântica do aparelho de medida: |   |  aparelho de medida: equação de Schroedinger:   o ponteiro aponta em duas direções ao mesmo tempo ! C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

108 O “problema da medida” Porque as superposições quânticas não são encontradas no mundo macroscópico? Jamais se observou um ponteiro macroscópico apontando em duas direções ao mesmo tempo. Um gato não pode estar simultaneamente vivo e morto. Como conciliar o espaço quântico de infinitos estados com a observação de apenas alguns poucos estados macroscópicos? Uma descrição do processo de medida baseada na equação de Schroedinger deve dar respostas a essas questões. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

109 Física quântica x física clássica
Por medida, na mecânica quântica, nós entendemos qualquer processo de interação entre objetos clássicos e quânticos… L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics … os instrumentos de medida, para funcionarem como tal, não podem ser propriamente incluídos no domínio de aplicação da mecânica quântica. N. Bohr, carta a Schroedinger, 26 de outubro de 1935 …o ‘aparato’ não deveria ser separado do resto do mundo em uma caixa preta, como se não fosse feito de átomos e não fosse governado pela mecânica quântica. J. Bell, Against measurement C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

110 Física quântica x física clássica
…a mecânica quântica ocupa um lugar muito incomum entre as teorias físicas: ela contém a mecânica clássica como um caso limite, mas ao mesmo tempo requer esse caso limite para sua própria formulação... - L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

111 Os gatos de Schroedinger
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112 Sistemas de N Estados Você está em todo lugar
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

113 Três valores possíveis para a grandeza A:
Sistemas de 3 estados Três valores possíveis para a grandeza A: a3 a1 a2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

114 ... ... Sistemas de N estados N valores possíveis para a grandeza A:
(impossível desenhar N eixos perpendiculares) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

115 Sistemas de infinitos estados
N pode ser infinito: N pode ser infinito, e a ter valores contínuos: densidade de probabilidade: probabilidade: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

116 Sistemas de infinitos estados
Exemplo: a = x = posição de uma partícula função de onda: (x) densidade de probabilidade: probabilidade: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

117 Sistemas de infinitos estados
A grandeza a pode ter valores discretos e contínuos: Exemplo: a = E = energia de uma partícula C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

118 Aplicações a sistemas simples
Instituto de Física Quântica Você está aqui e aqui C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

119 Interferômetro de Mach-Zehnder
Interferência de uma partícula Descrição quântica do interferômetro Interferência e indistinguibilidade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

120 O interferômetro de Mach-Zehnder
interferência construtiva 0% 100% D1 D2 “ondas” interferência destrutiva C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

121 O interferômetro de Mach-Zehnder
1 2 50% 25% D1 e D2 nunca disparam em coincidência “partículas” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

122 Descrição quântica do interferômetro
(caminho 1) (caminho 2) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

123 Espaço de estados probabilidades:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

124 probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2
Semiespelho 1 2 evolução unitária probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

125 sinal negativo: evolução unitária conserva a ortogonalidade
Semiespelho sinal negativo: evolução unitária conserva a ortogonalidade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

126 Interferômetro D1 D2 1 2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

127 Primeiro semiespelho:
Interferômetro Estado inicial: Primeiro semiespelho: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

128 Interferômetro Segundo semiespelho: ou seja, o estado final é
interferência destrutiva interferência construtiva P1 = 100% P2 = 0% C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

129 O que interfere? (1-1-1) (1-2-1) (1-1-2) (1-2-2) 2 2 1 1
(1-1-1) (1-2-1) (1-1-2) (1-2-2) 1 2 1 2 soma das amplitudes de probabilidade associadas a caminhos alternativos indistinguíveis C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

130 Caminho bloqueado 1 2 D2 D1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

131 Primeiro semiespelho:
Caminho bloqueado Estado inicial: Primeiro semiespelho: Bloqueio: fóton bloqueado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

132 não há caminhos alternativos, logo não há interferência
Caminho bloqueado Segundo semiespelho: ou seja, o estado final é P1 = 25% P2 = 25% P = 50% não há caminhos alternativos, logo não há interferência C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

133 Por que não há interferência?
(1-1-1) (1-2-) (1-1-2) 1 1 2 1 2  não há caminhos alternativos para cada um dos estados finais  não há interferência C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

134 Caminhos alternativos distinguíveis
mola C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

135 Caminhos alternativos distinguíveis
1, 2: caminho do fóton R: espelho em repouso M: espelho em movimento Estado inicial: Primeiro semiespelho: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

136 Caminhos alternativos distinguíveis
Segundo semiespelho: ou seja, o estado final é P1 = P(1, R) + P(1, M) = 50% P2 = P(2, R) + P(2, M) = 50% soma de probabilidades, não de amplitudes C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

137 Apagando a informação sobre o caminho
mola C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

138 Apagando a informação sobre o caminho
Segundo semiespelho: ou seja, o estado final é a informação sobre o caminho foi apagada e a interferência restabelecida C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

139 O palito de fósforo quântico
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

140 O palito de fósforo quântico
fósforo “bom” fóton fósforo “ruim” fóton C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

141 O palito de fósforo quântico
palitos bons e ruins misturados Problema: como encher uma caixa de fósforos apenas com palitos bons? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

142 Teste clássico palito bom queimado palito ruim
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

143 Teste quântico D1 D2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

144 palito ruim  D2 nunca dispara
transparente palito ruim  D2 nunca dispara C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

145 Palito bom palito bom  D2 dispara em 25% das vezes,
50% palito bom  D2 dispara em 25% das vezes, e o fósforo permanece intacto C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

146 Teste quântico D2  fósforo bom intacto
D1  fósforo bom intacto ou fósforo ruim Fósforo acende  fósforo bom queimado Dos fósforos bons: 25% estão identificados e intactos 50% foram queimados 25% em dúvida Retestando os casos duvidosos é possível identificar 1/3 dos fósforos bons. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

147 Mais aplicações a sistemas simples
O problema de Deutsch Molécula de H2+ Benzeno Oscilação de neutrinos Polarização do fóton Spin ½ Informação quântica C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

148 Emaranhamento C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

149 Emaranhamento | | | | sistema I sistema II sistema composto
subsistema I | subsistema II sistema composto C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

150 Emaranhamento Estados do sistema composto:
 sistema I no estado |, sistema II no estado |  sistema I no estado |, sistema II no estado | Superposição  estado emaranhado: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

151 Emaranhamento Não é possível associar vetores de estado aos subsistemas individuais. O emaranhamento pode ocorrer mesmo quando os subsistemas estão separados por distâncias macroscópicas. Um dos mais estranhos e surpreendentes aspectos da mecânica quântica. “O melhor conhecimento possível de um todo não inclui o melhor conhecimento possível de suas partes, nem mesmo quando essas estão completamente separadas umas das outras e no momento não influenciam umas às outras.” - E. Schrödinger, The Present Situation in Quantum Mechanics (o artigo de 1935 onde apareceu o gato de Schroedinger) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

152 Realismo, Contextualidade e Localidade
“Eu só gostaria de saber que diabos está acontecendo, é só! Eu gostaria de saber que diabos está acontecendo! Você sabe que diabos está acontecendo?” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

153 grandeza medida no experimento
Variáveis ocultas Medidas: revelam um valor preexistente? criam o resultado encontrado? variável “oculta” que determina o valor de A grandeza medida no experimento C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

154 Experimentos com um sistema composto
II AI = 1 AII = 1 BII = 1 BI = 1 incompatíveis compatíveis C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

155 Quatro experimentos com um sistema composto
Quatro experimentos possíveis: Medida de AI e AII AI = +1 e AII = +1  encontrado algumas vezes Medida de AI e BII AI = +1 e BII = +1  nunca encontrado Medida de BI e AII BI = +1 e AII = +1  nunca encontrado Medida de BI e BII BI = -1 e BII = -1  nunca encontrado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

156 Quatro experimentos com um sistema composto
grau de emaranhamento P(AI, AII) (em %) P(AI, BII) = 0 P(BI, AII) = 0 P(BI, BII) = 0 A. G. White, D. F. V. James, P. H. Eberhard, P. G. Kwiat, Nonmaximally Entangled States: Production, Characterization, and Utilization, Physical Review Letters 83, 3013 (1999) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

157 Experimentos com um sistema composto
Se os valores de AI, AII, BI e BII já existiam antes das medidas: AI = +1 AII = +1 sempre BI = -1 BII = -1 !! Mas BI = BII = -1 nunca é encontrado (exp. 4)! C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

158 P(BI, BII) = 0  experimento 4
Estados de Hardy estado emaranhado P(BI, BII) = 0  experimento 4 L. Hardy, Quantum Mechanics, Local Realistic Theories, and Lorentz-Invariant Realistic Theories, Physical Review Letters 68, 2981 (1992). L. Hardy, Nonlocality for two particles without inequalities for almost all entangled states, Physical Review Letters 71, 1665 (1993) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

159 Estados de Hardy Experimentos 1, 2 e 3:
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160 Estados de Hardy Experimentos 1, 2 e 3: 3) 2) 1)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

161 medido em II (AII ou BII)
Contextualidade o que está sendo medido em II (AII ou BII) o que está sendo medido em I (AI ou BI) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

162 Não-localidade I II AI AII BII BI
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163 O teorema de Bell Qualquer teoria de variáveis ocultas compatível com a mecânica quântica é necessariamente não-local. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

164 Operadores, autovalores, autovetores
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165 Conexão com os operadores
Produto escalar: | Projetores: || Operador associado à grandeza A: Autovalores e autovetores de A: É mais fácil encontrar (postular) o operador A do que os “eixos” |an e valores an. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

166 Em seguida: Simetrias e grandezas conservadas Posição e momentum
Partícula em 1 dimensão: aplicações Partícula livre Potenciais constantes por partes: estados ligados, tunelamento, etc. Oscilador harmônico C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

167 E se houver tempo: Partículas idênticas
Partícula em 3 dimensões; momento angular Soma sobre caminhos Descoerência Muitos-mundos, de Broglie-Bohm C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

168 Concluindo É possível apresentar alguns dos princípios básicos da mecânica quântica utilizando apenas matemática acessível a professores (e alunos?) do ensino médio. Essa abordagem permite descrever apropriadamente a mecânica quântica de sistemas simples. Aspectos pouco (ou nada) intuitivos da mecânica quântica podem ser discutidos sem interferência de dificuldades adicionais associadas à matemática. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

169 Funciona? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

170 Curtiu? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014