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TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO O que você deve saber sobre Desde o teorema de Pitágoras, o longo caminho da trigonometria começa pelo estudo do triângulo.

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1 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO O que você deve saber sobre Desde o teorema de Pitágoras, o longo caminho da trigonometria começa pelo estudo do triângulo retângulo e das razões entre as medidas de seus lados. Uma possibilidade de obter as razões, usada neste tópico, é partir da semelhança entre triângulos retângulos com um dos vértices coincidente.

2 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Observe esta construção: Pontos A, B, B e B: colineares Segmentos BC, BC e BC: perpendiculares a AB Consequência: triângulos retângulos ABC, ABC e ABC semelhantes e lados correspondentes proporcionais Tendo como referência o ângulo : Lados CB, CB e CB: catetos opostos a em cada triângulo Lados AB, AB e AB: catetos adjacentes a em cada triângulo Lados AC, AC e AC: hipotenusas de cada triângulo I. Semelhança de triângulos retângulos

3 Para qualquer triângulo retângulo semelhante a ABC, as razões correspondentes serão iguais às razões obtidas anteriormente. Essas três razões trigonométricas recebem os nomes de cosseno, seno e tangente do ângulo e são definidas como: II. Relações trigonométricas: seno, cosseno, tangente Razões entre dois lados de cada um dos triângulos: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

4 Trigonometria no Triângulo retângulo Clique na imagem a baixo para ver a animação. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

5 Construções que exibem ângulos notáveis (30º, 45º e 60º): a) o quadrado de lados e sua diagonal: Os ângulos assinalados medem 45º: III. Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

6 b) o triângulo equilátero de lados e altura O ângulo mede 60º. Valores de seno, cosseno e tangente: III. Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

7 O ângulo denominado na figura do eslaide anterior mede 30º. Valores de seno, cosseno e tangente: Os valores das razões trigonométricas de ângulos quaisquer são dados em calculadoras científicas. Ângulos complementares: valor do seno de um deles é igual ao do cosseno; o valor da tangente de um deles é o inverso do valor da tangente do outro. Os valores da tangente desses dois ângulos são inversos um do outro. III. Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

8 IV. Relação fundamental da trigonometria TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Teorema de Pitágoras: a 2 + b 2 = c 2 Razões trigonométricas do ângulo assinalado:

9 Triângulo retângulo em que a hipotenusa mede 1 unidade: Triângulo ABC: Reescrevendo o teorema de Pitágoras: Relação que surge dessa nova configuração do triângulo ABC: IV. Relação fundamental da trigonometria TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

10 (Ufla-MG) Um aparelho é construído para medir alturas e consiste de um esquadro com uma régua de 10 cm e outra régua deslizante que permite medir tangentes do ângulo de visada, conforme a figura 1. Uma pessoa, utilizando o aparelho a 1,5 m do solo, toma duas medidas, com distância entre elas de 10 metros, conforme esquema da figura 2. Sendo 1 = 30 cm e 2 = 20 cm, calcule a altura da árvore. 1 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO – NO VESTIBULAR EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA:

11 (Ufes) Um homem de 1,80 m de altura avista o topo de um edifício sob um ângulo de 45º em relação à horizontal. Quando ele se aproxima 20 m do edifício, esse ângulo aumenta para 60º. Qual a altura do edifício? 3 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO – NO VESTIBULAR RESPOSTA:

12 (UFMG) Nesta figura, está representada uma circunferência de centro O: Sabe-se que: os segmentos AB e BC medem, cada um, 4 cm; a reta AB tangencia a circunferência no ponto B; o segmento DF é perpendicular ao diâmetro BC; E pertence à circunferência e é o ponto médio do segmento DF. Calcule o comprimento do segmento OF. 6 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO – NO VESTIBULAR

13 (UFC-CE) A reta 2x + 3y = 5, ao interceptar os dois eixos coordenados, forma com estes um triângulo retângulo. Calcule o valor da hipotenusa desse triângulo. 7 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO – NO VESTIBULAR

14 1 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS 10 RESPOSTA: Calcule: a) cos ABQ b) cos ABP c) cos QBP TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO – NO VESTIBULAR (Fuvest SP) Na figura a seguir, as cincunferencias têm centros A e B. O raio da maior é do raio da menor; P é um ponto de intersecção delas e a reta AQ é tangente à cincunferência menor no ponto Q ^ ^ ^

15 (UFRJ) A figura adiante mostra duas circunferências que se tangenciam interiormente. A circunferência maior tem centro em O. A menor tem raio r = 5 cm e é tangente a OA e a OB. Sabendo-se que o ângulo AÔB mede 60º, calcule a medida do raio R da circunferência maior. Justifique. 1 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS 11 RESPOSTA: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO – NO VESTIBULAR

16 (UFScar-SP) Considere o triângulo de vértices A, B, C, representado a seguir. a) Dê a expressão da altura h em função de c (comprimento do lado AB) e do ângulo  (formado pelos lados AC e AB). b) Deduza a fórmula que dá a área S ABC do triângulo, em função de b e c (comprimentos, respectivamente, dos lados AC e AB) e do ângulo Â. 1 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS 12 RESPOSTA: TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO – NO VESTIBULAR


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