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CORPOS REDONDOS O que você deve saber sobre Presentes em muitos objetos do nosso cotidiano, como na bola de futebol, na latinha de refrigerante ou na casquinha.

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1 CORPOS REDONDOS O que você deve saber sobre Presentes em muitos objetos do nosso cotidiano, como na bola de futebol, na latinha de refrigerante ou na casquinha de sorvete, alguns corpos redondos têm estreita ligação com a circunferência e o círculo.

2 I. Cilindro circular Elementos Bases: os círculos C e C, contidos, respectivamente, nos planos e ; Eixo: paralelo à reta r, passa pelos centros dos círculos; Geratrizes: segmentos paralelos ao eixo, com extremidades nas circunferências C e C; Altura (h): distância entre os planos e. CORPOS REDONDOS Sólido delimitado por 3 superfícies distintas: bases e superfície lateral.

3 Classificação Reto: o eixo do cilindro é perpendicular aos planos das bases; também é chamado cilindro de revolução, pois pode ser obtido pela rotação de uma superfície retangular em torno de um eixo sobre um de seus lados. Oblíquo: o eixo do cilindro não é perpendicular aos planos das bases. I. Cilindro circular CORPOS REDONDOS

4 área da base: área lateral: área total: A total = A lateral + 2 A base Volume É dado pela expressão: Área da superfície I. Cilindro circular CORPOS REDONDOS

5 Elementos Base: círculo C, contido no plano ; Vértice: Ponto V, externo a ; Eixo: reta VO; Matrizes: segmentos de reta com extremidades em V e em um ponto da circunferência C; Altura (h): distância entre V e o plano. II. Cone CORPOS REDONDOS Sólido delimitado por duas superfícies: base e superfície lateral.

6 Classificação II. Cone CORPOS REDONDOS Reto: o eixo do cone é perpendicular ao plano. Também é chamado cone de revolução, pois pode ser obtido pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo sobre um de seus catetos. Oblíquo: o eixo do cone não é perpendicular ao plano.

7 área lateral: área da base: área total: A total = A base + A lateral Volume: Área da superfície II. Cone CORPOS REDONDOS base 2

8 Cônicas Clique na imagem para ver a animação. CORPOS REDONDOS

9 Sólido obtido mediante a secção de um cone reto por um plano paralelo à sua base. O tronco é a porção do cone original que resta entre o plano e plano que contém a base. III. Tronco de cone reto CORPOS REDONDOS

10 , em que h t é a altura do tronco. área lateral: área total: A total = A lateral + A base maior + A base menor Área da superfície III. Tronco de cone reto, em que g t é a geratriz do tronco, R é o raio da base maior e r é o raio da base menor. CORPOS REDONDOS Volume:

11 Corpo redondo formado por todos os pontos que estão a uma distância de C (centro) menor ou igual a r (raio, representado por um número real positivo). Área da superfície esférica IV. Esfera É formada por todos os pontos que distam r de seu centro C. CORPOS REDONDOS

12 Volume: Cunha esférica Sólido obtido quando uma esfera é seccionada por dois planos secantes que passam pelo centro dela. Ele se assemelha a um gomo de tangerina, e seu volume é proporcional ao ângulo entre tais planos. IV. Esfera CORPOS REDONDOS

13 Esferas Clique na imagem para ver a animação. CORPOS REDONDOS

14 (UFG-GO) Num laboratório, um recipiente em forma de um cilindro reto tem marcas que mostram o volume da substância presente a cada 100 mL. Se o diâmetro da base do cilindro mede 10 cm, qual a distância entre duas dessas marcas consecutivas? 1 CORPOS REDONDOS NO VESTIBULAR EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA:

15 (UFRJ) Considere um retângulo, de altura y e base x, com x > y, e dois semicírculos com centros nos lados do retângulo, como na figura a seguir. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região sombreada em torno de um eixo que passa pelos centros dos semicírculos. Justifique. 3 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: CORPOS REDONDOS NO VESTIBULAR

16 (UFABC-SP) As figuras mostram um cone circular reto de raio da base r e a planificação da sua área lateral. Relembrando que o volume de um cone é igual a do produto entre a área da base e a altura do cone, calcule o raio da base e o volume desse cone. 5 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS CORPOS REDONDOS NO VESTIBULAR RESPOSTA: 3

17 a) a área da casca de cada fatia da melancia (fuso esférico); b) quantos cm 2 de plástico foram necessários para embalar cada fatia (sem nenhuma perda e sem sobrepor camadas de plástico), ou seja, qual é a área da superfície total de cada fatia? 7 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: (Unesp) Uma quitanda vende fatias de melancia embaladas em plástico transparente. Uma melancia com forma esférica de raio de medida R cm foi cortada em 12 fatias iguais, onde cada fatia tem a forma de uma cunha esférica, como representado na figura. Sabendo-se que a área de uma superfície esférica de raio R cm é 4 R 2 cm 2, determine, em função de e de R: CORPOS REDONDOS NO VESTIBULAR

18 (Mackenzie-SP) Uma xícara de chá tem a forma de um tronco de cone reto, conforme a figura. 1 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS 11 Supondo = 3, o volume máximo de líquido que ela pode conter é: a) 168 cm 3. b) 172 cm 3. c) 166 cm 3. d) 176 cm 3. e) 164 cm 3. CORPOS REDONDOS NO VESTIBULAR RESPOSTA: A

19 Se a área da base deste novo sólido é da área de B, determine seu volume. 1 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS 15 RESPOSTA: (Fuvest-SP) Um torneiro mecânico dispõe de uma peça de metal maciça na forma de um cone circular reto de 15 cm de altura e cuja base B tem raio 8 cm (figura 1). Ele deverá furar o cone, a partir de sua base, usando uma broca, cujo eixo central coincide com o eixo do cone. A broca perfurará a peça até atravessá-la completamente, abrindo uma cavidade cilíndrica, de modo a obter-se o sólido da figura 2. CORPOS REDONDOS NO VESTIBULAR

20 Sejam T o custo com parafina transparente e V o custo com parafina vermelha para fabricar uma dessas velas. Assim, é correto afirmar que: a)d) b)e) c) 1 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS 16 (UFTM-MG) Um designer projetou uma vela decorativa com a forma de cone circular reto, de altura 8 cm e raio da base 6 cm. Uma parte da vela será feita com parafina transparente, e a outra, com parafina vermelha. A parte vermelha será uma esfera inscrita no cone, como indicado na figura, feita fora de escala. CORPOS REDONDOS NO VESTIBULAR Sabe-se que o preço de 1 cm 3 de parafina transparente é o dobro do preço de 1 cm 3 de parafina vermelha. RESPOSTA: E

21 (UFPR) Um sólido de revolução é um objeto obtido a partir da rotação de uma figura plana em torno de um dos eixos coordenados. Por exemplo, rotacionando-se um retângulo em torno do eixo y, pode-se obter um cilindro, como na figura abaixo. Considere agora a região R do primeiro quadrante do plano xy delimitada pelas retas r 1 : y = x, r 2 : x = 0, r 3 : x = 1 e pela circunferência : x 2 + (y - 4) 2 = 1. a) Faça um esboço da região R e do sólido de revolução obtido pela rotação dessa região em torno do eixo y. b) Encontre o volume do sólido de revolução obtido no item anterior. 1 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS 17 RESPOSTA: CORPOS REDONDOS NO VESTIBULAR


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