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NÚMEROS COMPLEXOS O que você deve saber sobre Os números complexos vieram suprir uma lacuna deixada pelos números reais na solução de certos tipos de equação.

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1 NÚMEROS COMPLEXOS O que você deve saber sobre Os números complexos vieram suprir uma lacuna deixada pelos números reais na solução de certos tipos de equação. Apesar das resistências iniciais, eles encontraram terreno fértil para serem aceitos e usados amplamente.

2 NÚMEROS COMPLEXOS No século XIX demonstrou-se que os números complexos formavam um conjunto numérico que estava de acordo com a teoria dos conjuntos. A teoria também mostrou que eles englobavam o conjunto dos números reais, como representado abaixo. I. Introdução

3 Números complexos representados na chamada forma algébrica: em que a e b são números reais, e i é chamado unidade imaginária. A unidade imaginária é um número i tal que: Decorrência da definição anterior: II. Forma algébrica NÚMEROS COMPLEXOS

4 Coeficiente a: parte real de z, representada por Re(z). Coeficiente b: parte imaginária de z, indicada por Im(z). Todo número real é complexo e pode ser representado como tal, desde que sua parte imaginária b seja igual a zero. Se a parte real de um número complexo é nula, ele é um número imaginário puro. Dois números complexos, z e w, para serem iguais, devem ter suas partes reais e imaginárias, respectivamente, iguais. Definição do conjunto dos números complexos: II. Forma algébrica NÚMEROS COMPLEXOS

5 Dados os dois números complexos z = a + bi e w = c + di: Soma e subtração: é feita pela soma (ou subtração) de suas respectivas partes reais e imaginárias: Multiplicação: é feita pela aplicação da propriedade distributiva: III. Operações com números complexos NÚMEROS COMPLEXOS

6 Divisão: necessita do conceito de complexo conjugado. O conjugado de z, escrito como |z|, é dado por: O produto de um número complexo por seu conjugado resulta sempre em um número real. Assim, para obter o quociente, devemos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado de z: III. Operações com números complexos NÚMEROS COMPLEXOS

7 Potências de i: observe na tabela que os resultados se repetem a partir da quarta potência de i: Na potenciação de i, já que há 4 possibilidades de resultado, divide-se o expoente por 4 (lembrar que i 4 = 1) e toma-se o resto da divisão como um valor equivalente para o expoente de i. III. Operações com números complexos NÚMEROS COMPLEXOS

8 O número complexo z = a + bi é representado, no plano de Argand-Gauss, pelo ponto P(a, b). P é chamado de imagem de z, e z é denominado afixo do ponto P. IV. Representação geométrica de número complexo NÚMEROS COMPLEXOS Representação por um ponto i

9 Representação vetorial: podemos representá-lo como um vetor OP, com origem em O(0, 0) e extremidade no ponto P. Módulo de z: indicado pela letra grega (rô), é definido como a medida do segmento OP e dado por: Direção de z: indicada pelo ângulo (0 2), que o vetor estabelece com eixo real. Esse ângulo é conhecido como argumento de z. IV. Representação geométrica de número complexo NÚMEROS COMPLEXOS

10 Representação trigonométrica: como decorrência da representação de um número complexo z por um vetor e a partir da substituição de seu módulo e de seu argumento na forma algébrica, podemos também representá-lo na forma trigonométrica ou polar: IV. Representação geométrica de número complexo NÚMEROS COMPLEXOS

11 Dados dois números complexos z 1 = 1 (cos 1 + i sen 1 ) e z 2 = 2 (cos 2 + i sen 2 ), definimos: Produto Quociente Potenciação (1 a fórmula de De Moivre) V. Operações na forma trigonométrica NÚMEROS COMPLEXOS

12 Radiciação (2 a fórmula de De Moivre) Todo número complexo w, tal que w n = z, é denominado raiz enésima de z. As raízes enésimas de z podem ser obtidas pela fórmula: V. Operações na forma trigonométrica com k = 0, 1, 2, 3,... (n - 1) e n e n > 1. Podemos interpretar os valores obtidos pela fórmula como as enésimas raízes distintas de z, todas de mesmo módulo ; e argumentos distintos iguais. No plano imaginário, os pontos que representam as n raízes de z estão sobre uma circunferência de centro na origem e raio ; a circunferência fica então dividida em n arcos congruentes medindo cada um. NÚMEROS COMPLEXOS

13 (UFRJ) Determine o módulo, o argumento e represente graficamente o número complexo z = NÚMEROS COMPLEXOS - NO VESTIBULAR EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA:

14 (UFRJ) No jogo Batalha Complexa são dados números complexos z e w, chamados mira e alvo respectivamente. O tiro certeiro de z em w é o número complexo t tal que tz = w. Considere a mira z e o alvo w indicados na figura ao lado. Determine o tiro certeiro de z em w. 3 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: NÚMEROS COMPLEXOS NO VESTIBULAR

15 (Fuvest-SP) A figura representa o número no plano complexo, sendo i = a unidade imaginária. Nessas condições: a) determine as partes real e imaginária de e de 3. b) represente e na figura a seguir. 4 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: c) determine as raízes complexas da equação z 3 – 1 = 0. NÚMEROS COMPLEXOS NO VESTIBULAR

16 (Ufal) Na figura a seguir, o ponto P é o afixo do número complexo z. Se o número complexo z 1 = a + bi é o cubo de z, determine o valor da diferença b a. 7 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: NÚMEROS COMPLEXOS NO VESTIBULAR

17 (UFC-CE) Sejam x, y, z e w números complexos tais que suas representações geométricas coincidem com os vértices de um quadrado inscrito em uma circunferência com centro na origem. Se x = + i, determine y, z e w. 8 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: NÚMEROS COMPLEXOS NO VESTIBULAR

18 (UFRN) Os números complexos são representados geometricamente no plano XY por meio da correspondência biunívoca z = a + bi P = (a, b), conforme ilustração a seguir. a) Represente, no plano XY anterior, os números complexos z 1 = 2 + 2i e z 2 = i. 1 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS 12 NÚMEROS COMPLEXOS NO VESTIBULAR RESPOSTA:

19 112 b) Represente geometricamente, no mesmo plano, os segmentos de reta Oz 1 e Oz 2 e calcule o ângulo z 1 Ôz 2. c) Se z = a + bi, prove que z = iz é obtido girando-se z 90º no sentido anti-horário, em torno da origem. EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: NÚMEROS COMPLEXOS NO VESTIBULAR RESPOSTA:

20 1 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS 14 RESPOSTA: (Unicamp-SP) Um número complexo z = x + iy, z 0, pode ser escrito na forma trigonométrica: z = | z | (cos + i sen ), onde | z | = cos =. Essa forma de representar os números complexos não nulos é muito conveniente, especialmente para o cálculo de potências inteiras de números complexos, em virtude da fórmula de De Moivre: que é valida para todos t. Use essas informações para: a) calcular. b) sendo z = calcular o valor de 1 + z + z z z 15. NÚMEROS COMPLEXOS NO VESTIBULAR


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