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FUNÇÃO QUADRÁTICA O que você deve saber sobre Estudaremos as funções de 2 o grau, que também são chamadas de funções quadráticas.

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1 FUNÇÃO QUADRÁTICA O que você deve saber sobre Estudaremos as funções de 2 o grau, que também são chamadas de funções quadráticas.

2 I. Forma geral FUNÇÃO QUADRÁTICA

3 1) Canônica: y = a (x - x V ) 2 + y V, sendo x V e y V as coordenadas do vértice. 2) Fatorada: y = a(x - x 1 ). (x - x 2 ), sendo x 1 e x 2 os zeros da função (f(x) = 0), quando existirem. II. Outras formas da função quadrática FUNÇÃO QUADRÁTICA

4 III. A equação de 2 o grau e os zeros da função FUNÇÃO QUADRÁTICA

5 A curva que representa uma função quadrática é denominada parábola e apresenta algumas características muito particulares: IV. O gráfico de uma função quadrática FUNÇÃO QUADRÁTICA

6 2) O sentido da concavidade da parábola depende do sinal do coeficiente a: IV. O gráfico de uma função quadrática 1) A parábola tem simetria em relação a um eixo vertical, que passa pelo seu vértice V(x V, y V ), cujas coordenadas são dadas por: FUNÇÃO QUADRÁTICA X V = – e y V = – baba a

7 V. Esboço do gráfico de uma função quadrática Para elaborar o gráfico, é necessário determinar: 1) a concavidade da parábola (a > 0 ou a < 0); 2) as raízes (x 1 e x 2 ) da função, quando elas existirem; 3) o ponto (0, c) em que a parábola corta o eixo y; 4) as coordenadas do vértice (x V, y V ). FUNÇÃO QUADRÁTICA

8 V. Esboço do gráfico de uma função quadrática FUNÇÃO QUADRÁTICA 1. 2.

9 V. Esboço do gráfico de uma função quadrática Conclusão: FUNÇÃO QUADRÁTICA 3.

10 Simulador: funções Clique na imagem para ver o simulador. FUNÇÃO QUADRÁTICA

11 VI. Estudo do sinal da função quadrática O sinal depende do valor de e do coeficiente a: 1) a > 0 a função é crescente no intervalo x > x V. a função é decrescente no intervalo x < x V. FUNÇÃO QUADRÁTICA

12 VI. Estudo do sinal da função quadrática O sinal depende do valor de e do coeficiente a: 2) a < 0 a função é crescente no intervalo x < x V. a função é decrescente no intervalo x > x V. FUNÇÃO QUADRÁTICA

13 Basta igualar as equações associadas a essas curvas: reta: y = mx + p parábola: y = ax 2 + bx + c Igualando os y, temos: mx + p = ax 2 + bx + c ax 2 + (b - m)x + (c - p) = 0 VII. Determinação dos pontos de encontro de uma reta e da parábola FUNÇÃO QUADRÁTICA

14 VII. Determinação dos pontos de encontro de uma reta e da parábola Resolvendo a equação de 2 o grau obtida, achamos no máximo duas raízes (x 1 e x 2 ) reais. Substituindo esses valores na equação da reta, obtemos as coordenadas dos pontos comuns. FUNÇÃO QUADRÁTICA A reta é secante à parábola.

15 VII. Determinação dos pontos de encontro de uma reta e da parábola FUNÇÃO QUADRÁTICA

16 (UFF-RJ) A parábola abaixo representa o lucro mensal L (em reais) obtido em função do número de peças vendidas de um certo produto. Determine: a) o número de peças que torna o lucro nulo; b) o(s) valor(es) de x que torna(m) o lucro negativo; c) o número de peças que devem ser vendidas para que o lucro seja de R$ 350,00. 1 FUNÇÃO QUADRÁTICA – NO VESTIBULAR EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA:

17 (UFJF-MG) Um pesticida foi ministrado a uma população de insetos para testar sua eficiência. Ao proceder ao controle da variação em função do tempo, em semanas, concluiu-se que o tamanho da população é dado por f(t) = -10t t a) Determine o intervalo de tempo em que a população de insetos ainda cresce. b) Na ação do pesticida, existe algum momento em que a população de insetos é igual à população inicial? Quando? c) Entre quais semanas a população de insetos seria exterminada? 2 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS FUNÇÃO QUADRÁTICA – NO VESTIBULAR RESPOSTA:

18 (UFPA) O vértice da parábola y = ax 2 + bx + c é o ponto (-2, 3). Sabendo que 5 é a ordenada onde a curva corta o eixo vertical, podemos afirmar que: a) a > 1, b < 1 e c < 4. b) a > 2, b > 3 e c > 4. c) a 4. d) a 1 e c > 4. e) a < 1, b < 1 e c < 4. 3 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: D FUNÇÃO QUADRÁTICA – NO VESTIBULAR

19 (Unesp) O conjunto solução da inequação (x – 2) 2 < 2x – 1, considerando como universo o conjunto, está definido por: a) 1 < x < 5. b) 3 < x < 5. c) 2 < x < 4. d) 1 < x < 4. e) 2 < x < 5. 4 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: A FUNÇÃO QUADRÁTICA – NO VESTIBULAR

20 (Unifesp) De um cartão retangular de base 14 cm e altura 12 cm, deseja-se recortar um quadrado de lado x e um trapézio isósceles, conforme a figura, onde a parte hachurada será retirada. O valor de x em centímetros, para que a área total removida seja mínima, é: a) 3. b) 2. c) 1,5. d) 1. e) 0,5. 5 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: D FUNÇÃO QUADRÁTICA – NO VESTIBULAR

21 (Fuvest-SP) Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) = x 2 + mx + 2. Nessas condições: a) Determine, em função de m, as coordenadas do vértice da parábola de equação y = f(x). b) Determine os valores de m para os quais a imagem de f contém o conjunto {y | y > 1}. c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto {y | y > 1} e, além disso, f é crescente no conjunto {x | x 0}. d) Encontre, para a função determinada pelo valor de m do item (c) e para cada y > 2, o único valor de x > 0 tal que f(x) = y. 6 EXERC Í CIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: > FUNÇÃO QUADRÁTICA – NO VESTIBULAR

22 (Unifesp) A tabela mostra a distância s em centímetros que uma bola percorre descendo por um plano inclinado em t segundos. A distância s é função de t dada pela expressão s(t) = at 2 + bt + c, onde a, b, c são constantes. A distância s em centímetros, quando t = 2,5 segundos, é igual a: a) 248. b) 228. c) 208. d) 200. e) EXERC Í CIOS ESSENCIAIS 15 RESPOSTA: D FUNÇÃO QUADRÁTICA – NO VESTIBULAR


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