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Prof. Jorge Cálculo combinatório. Prof. Jorge Princípios de contagem Os elementos de um conjunto finito podem ser agrupados de várias formas, de acordo.

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1 Prof. Jorge Cálculo combinatório

2 Prof. Jorge Princípios de contagem Os elementos de um conjunto finito podem ser agrupados de várias formas, de acordo com os critérios utilizados na formação dos agrupamentos. O objetivo do cálculo combinatório é determinar de quantas maneiras diferentes podem ser formados os vários tipos de agrupamentos. Os processos de contagem se baseiam em dois princípios fundamentais, que passaremos a estudar agora.

3 Prof. Jorge Princípios de contagem Princípio Aditivo de contagem; Princípio multiplicativo de contagem.

4 Prof. Jorge Princípio aditivo de contagem Vamos considerar o seguinte problema Suponhamos que para se deslocar de casa até o trabalho, uma pessoa tenha as seguintes alternativas: Um de seus dois automóveis (A 1 e A 2 ); Uma das três linhas de ônibus que fazem o trajeto (O 1, O 2 e O 3 ); O metrô (M).

5 Prof. Jorge Princípio aditivo de contagem De quantas maneiras diferentes ela poderia escolher o seu transporte? hipóteses: opções: AutomóvelÔnibusMetrôouou A 1 A 2 O 1 O 2 O 3 M 2 opções3 opções 1 opção Portanto, a pessoa pode ir para o trabalho de: = 6 maneiras diferentes

6 Prof. Jorge Princípio aditivo de contagem Suponhamos que existam duas hipóteses para ocorrer um evento. Se houver m opções para a primeira hipótese e n opções para a segunda hipótese, o evento pode ocorrer de m + n maneiras diferentes. Esse princípio se estende para o caso de três ou mais hipóteses.

7 Prof. Jorge Princípio multiplicativo de contagem Vamos considerar o seguinte problema Suponhamos que um estudante pretenda escolher um conjunto tênis – calça - camiseta para ir à escola e que ele tenha como alternativas, Dois pares de tênis (T 1 e T 2 ); Quatro calças jeans (J 1, J 2, J 3 e J 4 ); Três camisetas (C 1, C 2 e C 3 ).

8 Prof. Jorge Princípio multiplicativo de contagem De quantas maneiras diferentes ela poderia fazer sua escolha? Etapas: opções: TênisJeanscamisetaee T 1 T 2 J 1 J 2 J 3 J 4 C 1 C 2 C 3 2 opções4 opções3 opções Portanto, a pessoa pode fazer sua escolha de: = 24 maneiras diferentes

9 Prof. Jorge Árvores de possibilidades 1ª etapa: escolha do tênis T1T1 J1J1 2ª etapa: escolha do jeans 3ª etapa: escolha da camiseta Resultado J2J2 J3J3 C1C1 C2C2 C3C3 J4J4 C1C1 C2C2 C3C3 C1C1 C2C2 C3C3 C1C1 C2C2 C3C3 T1J1C1T1J1C1 T1J2C3T1J2C3 T1J3C1T1J3C1 T1J3C2T1J3C2 T1J3C3T1J3C3 T1J4C1T1J4C1 T1J4C2T1J4C2 T1J4C3T1J4C3 T1J2C2T1J2C2 T1J2C1T1J2C1 T1J1C3T1J1C3 T1J1C2T1J1C2

10 Prof. Jorge Árvores de possibilidades 1ª etapa: escolha do tênis T2T2 J1J1 2ª etapa: escolha do jeans 3ª etapa: escolha da camiseta Resultado J2J2 J3J3 C1C1 C2C2 C3C3 J4J4 C1C1 C2C2 C3C3 C1C1 C2C2 C3C3 C1C1 C2C2 C3C3 T2J1C1T2J1C1 T2J2C3T2J2C3 T2J3C1T2J3C1 T1J3C2T1J3C2 T2J3C3T2J3C3 T2J4C1T2J4C1 T2J4C2T2J4C2 T2J4C3T2J4C3 T2J2C2T2J2C2 T2J2C1T2J2C1 T2J1C3T2J1C3 T2J1C2T2J1C2

11 Prof. Jorge Princípio multiplicativo de contagem Suponhamos que um evento se componha de duas etapas independentes. Se a primeira etapa pode ocorrer de m maneiras e a segunda etapa, de n maneiras, então, o evento pode ocorrer de m. n maneiras diferentes. Esse princípio se estende para o caso de três ou mais etapas.

12 Prof. Jorge Princípios de contagem Os princípios aditivo e multiplicativo são a base para resolução de problemas de cálculo combinatório. Por isso, deve ficar muito clara a distinção entre os dois princípios. A conjunção ou liga duas hipóteses e está associado à adição. A conjunção e liga duas etapas e está associado à multiplicação.

13 Prof. Jorge Exemplos A cantina do meu colégio vende 4 tipos de salgados e 5 marcas de refrigerante. De quantas formas distintas posso escolher meu lanche (um salgado e um refrigerante)? O evento se compõe de duas etapas: escolha do salgadoescolha do refrigerante 1ª etapa2ª etapa 4 opções5 opções Pelo, P.M.C., temos 4. 5 = 20 maneiras diferentes e

14 Prof. Jorge Exemplos Uma igreja tem 4 portas. Quando vai lá, Marisa sempre entra por uma porta e sai por outra. De quantas formas diferentes ela pode fazer isso? O evento se compõe de duas etapas: entradasaída 1ª etapa2ª etapa 4 opções3 opções Pelo, P.M.C., temos 4. 3 = 12 maneiras diferentes e

15 Prof. Jorge Exemplos Valéria mora num país muito desenvolvido. Há várias estradas que ligam sua cidade A a duas cidades vizinhas B e C. Valéria vai muito à cidade B. Às vezes sem passar por C; outras vezes, passando primeiro por C. Quantos trajetos diferentes ela pode fazer? AB C

16 Prof. Jorge Exemplos Valéria mora num país muito desenvolvido. Há várias estradas que ligam sua cidade A a duas cidades vizinhas B e C. Valéria vai muito à cidade B. Às vezes sem passar por C; outras vezes, passando primeiro por C. Quantos trajetos diferentes ela pode fazer? O evento se compõe de duas hipóteses: A B 1ª hipótese2ª hipótese 4 trajetos 3 trajetos A C C B 2 trajetos ou Valéria poderá fazer = 10 trajetos diferentes. e 2. 3 = 6

17 Prof. Jorge Exemplos Utilizando apenas os algarismos 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 9, quantos números podem ser formados, de 3 ou 4 algarismos? O evento se compõe de duas hipóteses: 3 algarismos 1ª hipótese2ª hipótese 4 algarismos 3 etapas 4 etapas ou

18 Prof. Jorge Exemplos Utilizando apenas os algarismos 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 9, quantos números podem ser formados, de 3 ou 4 algarismos? 1º alg. 1ª etapa 2ª etapa3ª etapa 2º alg.3º alg. 7 opções7 opções7 opções Pelo, P.M.C., são = 343 números de 3 algarismos Números de 3 algarismos:

19 Prof. Jorge Exemplos Utilizando apenas os algarismos 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 9, quantos números podem ser formados, de 3 ou 4 algarismos? 1º alg. 1ª etapa 2ª etapa3ª etapa 2º alg.3º alg. 7 opções7 opções7 opções Pelo, P.M.C., são = números de 4 algarismos 4ª etapa 4º alg. 7 opções Podemos formar = = números Números de 4 algarismos:

20 Prof. Jorge Exemplos Utilizando apenas os algarismos 1, 2, 4, 5, 7, e 9, quantos números naturais maiores que e de 4 algarismos distintos podemos formar? O evento se compõe de quatro etapas: Pelo, P.M.C., temos = 120 números 1º alg. 1ª etapa 2ª etapa3ª etapa 2º alg.3º alg. 2 opções5 opções4 opções 4ª etapa 4º alg. 3 opções

21 Prof. Jorge Observação Quando trabalhamos com os elementos de um conjunto, o princípio multiplicativo só é válido quando for importante a ordem de escolha dos elementos.

22 Prof. Jorge Exemplo A partir de um grupo de 4 pessoas (A, B, C e D), de quantas maneiras diferentes podemos formar uma comissão de 2 pessoas? O evento se compõe de duas etapas: Pelo, P.M.C., temos 4.3 = 12 comissões (incorreto) 1ª etapa2ª etapa 4 opções 3 opções escolha do 1º membro escolha do 2º membro

23 Prof. Jorge Exemplo A partir de um grupo de 4 pessoas (A, B, C e D), de quantas maneiras diferentes podemos formar uma comissão de 2 pessoas? Veja as hipóteses reais (A, B) (A, C) (A, D) (B, A) (B, C) (B, D) (C, A) (C, B) (C, D) (D, A) (D, B) (D, C) 1ª comissão 2ª comissão 3ª comissão igual à 1ª igual à 2ª igual à 4ª igual à 3ª igual à 5ª igual à 6ª 4ª comissão 5ª comissão 6ª comissão Na verdade, a comissão pode ser formada de 6 maneiras diferentes.

24 Prof. Jorge Agrupamentos ordenados e não-ordenados

25 Prof. Jorge Agrupamentos O objetivo do cálculo combinatório é contar. É descobrir de quantas formas diferentes podem ser agrupados os elementos de um conjunto finito, sob certas condições definidas previamente. Agrupamentos em que é importante a ordem em que seus elementos são dispostos são chamados agrupamentos ordenados. Agrupamentos em que não é importante a ordem em que os elementos são dispostos são chamados agrupamentos não-ordenados.

26 Prof. Jorge Exemplos A partir de um grupo de 5 estudantes (A, B, C, D e E), quais são as possíveis maneiras de se formar uma comissão de 3 pessoas? Pretende-se simplesmente escolher 3 pessoas entre as 5 disponíveis, não importando a ordem em que elas são dispostas. {A, B, C} Há 10 maneiras possíveis de se formar a comissão. Cada uma delas é um agrupamento não-ordenado. {A, B, D}{A, B, E}{A, C, D}{A, C, E} {A, D, E}{B, C, D}{B, C, E}{B, D, E}{C, D, E}

27 Prof. Jorge Exemplos A partir do mesmo grupo de 5 estudantes (A, B, C, D e E), quais são as possíveis maneiras de se formar a diretoria do grêmio estudantil, composta de presidente (P), vice-presidente (V) e tesoureiro (T)? (A, B, C) (A, B, D) (A, B, E) (A, C, D) (A, C, E) (A, D, E) (B, C, D) (B, C, E) (B, D, E) (C, D, E) (A, C, B) (A, D, B) (A, E, B) (A, D, C) (A, E, C) (A, E, D) (B, D, C) (B, E, C) (B, E, D) (C, E, D) (B, A, C) (B, A, D) (B, A, E) (C, A, D) (C, A, E) (D, A, E) (C, B, D) (C, B, E) (D, B, E) (D, C, E) (B, C, A) (B, D, A) (B, E, A) (C, D, A) (C, E, A) (D, E, A) (C, D, B) (C, E, B) (D, E, B) (D, E, C) (C, A, B) (D, A, B) (E, A, B) (D, A, C) (E, A, C) (E, A, D) (D, B, C) (E, B, C) (E, B, D) (E, C, D) (C, B, A) (D, B, A) (E, B, A) (D, C, A) (E, C, A) (E, D, A) (D, C, B) (E, C, B) (E, D, B) (E, D, C)

28 Prof. Jorge Exemplos Um grupo tem 5 pessoas (A, B, C, D, E). A seguir aparecem critérios para agrupá-los. Identifique se cada agrupamento é ordenado ou não-ordenado. a) Escolher 3 pessoas para irem a uma festa. b) Definir os 5 primeiros colocados num concurso. c) Colocar 5 pessoas em fila. d) Dar um mesmo presente a 4 dessas pessoas. e) Dar 4 presentes diferentes a 4 dessas pessoas. O O O NO NO

29 Prof. Jorge Exemplos Analise, em cada caso, se os agrupamentos são ordenados ou não-ordenados a) Números de 3 algarismos, formados a partir dos algarismos 3, 4, 7, 8 e 9. b) Códigos de 4 símbolos, escolhidos entre os elementos do conjunto {1, 3, 7, a, b, c}. c) Grupos de 5 alunos, escolhidos entre os 40 de uma sala, para participarem de um evento. Ord. Ord. N-Ord.

30 Prof. Jorge Exemplos Analise, em cada caso, se os agrupementos são ordenados ou não-ordenados d) Formas diferentes de colocar 10 livros lado a lado, em uma prateleira. e) Misturas obtidas juntando-se volumes iguais de 3 líquidos, escolhidos entre 6 disponíveis. f) Retas que podem ser formadas, ligando-se 2 a 2 um conjunto de 5 pontos não-alinhados. Ord. N-Ord. N-Ord.

31 Prof. Jorge Permutação simples

32 Prof. Jorge Permutação simples Quantas e quais são as formas diferentes que 4 pessoas (A, B, C, D) podem ser colocadas em fila? No total são 24 maneiras diferentes. Veja as possibilidades ABCD BACD CABD DABC ABDC ACBD ACDBADBCADCB BADC BCAD BCDABDACBDCA CABD CBAD CBDACDABCDBA DACB DBAC DBCADCABDCBA Dizemos que cada um desses agrupamentos ordenados é uma permutação simples de 4 elementos. P 4 = 24

33 Prof. Jorge Permutação simples Permutação simples dos n elementos de um conjunto A é cada agrupamento ordenado que contém, sem repetição, os n elementos de A. O número de permutações simples de n elementos é indicado por P n.

34 Prof. Jorge Cálculo no total de permutação simples A formação de todas as permutações simples de n elementos envolve n etapas, veja A n elementos Etapas: Opções: E 1 E 2 E 3...E n nn – 1...n – 21 P n = n(n – 1)(n – 2)

35 Prof. Jorge Exemplos O número de permutações simples de 6 elementos é P 6 = = 720 O número de permutações simples de 5 elementos é P 5 = = 120 O número de permutações simples de 4 elementos é P 4 = = 24 P 3 = = 6

36 Prof. Jorge Exemplos Chama-se anagrama de uma palavra, toda palavra (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Consideremos todos os anagramas da palavra UNIVERSO. a)Qual é o total de anagramas? b)Quantos começam por consoante e terminam por vogal? c)Quantos têm as letras R, S, O juntas, nesta ordem? d)Quantos têm as letras R, S, O juntas, em qualquer ordem?

37 Prof. Jorge Exemplos Chama-se anagrama de uma palavra, toda palavra (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Consideremos todos os anagramas da palavra UNIVERSO. a) Qual é o total de anagramas? P 8 = = anagramas

38 Prof. Jorge VogalCons. Exemplos Chama-se anagrama de uma palavra, toda palavra (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Consideremos todos os anagramas da palavra UNIVERSO. b) Quantos começam por consoante e terminam por vogal? A palavra tem 4 vogais e 4 consoantes. P6P P 6 = opç.4 opç. =

39 Prof. Jorge URSONIVE Exemplos Chama-se anagrama de uma palavra, toda palavra (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Consideremos todos os anagramas da palavra UNIVERSO. c) Quantos têm as letras R, S, O juntas, nesta ordem? P6P6 P 6 = = 720

40 Prof. Jorge URSONIVE P3P3 Exemplos Chama-se anagrama de uma palavra, toda palavra (com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de posição. Consideremos todos os anagramas da palavra UNIVERSO. d) Quantos têm as letras R, S, O juntas, em qualquer ordem? P6P6 P 3. P 6 = 4320=

41 Prof. Jorge Arranjo simples

42 Prof. Jorge Arranjo simples Com os algarismos 2, 4, 5 e 8 vamos formar todos os números possíveis de 3 algarismos distintos. Qual o total deles? Para formar cada número temos duas etapas: Escolhemos 3 algarismos 2, 4, 5 2, 4, 8 2, 5, 8 4, 5, Ordenamos os alg. escolhidos Dizemos que cada um desses números é um arranjo simples de 4 elementos, tomados 3 a 3.

43 Prof. Jorge Arranjo simples Arranjo simples dos n elementos de um conjunto A, tomados p a p (p n), é cada agrupamento ordenado que contém, sem repetição, p elementos de A. O número de arranjos simples de n elementos, tomados p a p, é indicado por A n,p. No nosso exemplo, A 4,3 = 24

44 Prof. Jorge Cálculo no total de Arranjo simples A formação de todos os arranjos simples de n elementos, tomados p a p, envolve p etapas, veja A vamos escolher p entre os n elementos. Etapas: Opções: E 1 E 2 E 3...E p nn – 1...n – 2n – (p – 1) A n,p = n(n – 1)(n – 2)..... (n – p + 1)

45 Prof. Jorge Cálculo no total de Arranjo simples No cálculo de A n,p é importante perceber os significados de n e p. n primeiro fator A n,p p número de fatores

46 Prof. Jorge Exemplos A 4,3 = = 24 1.º fator 4 Número de fatores 3 A 8,5 = = º fator 8 Número de fatores 5 A n+1,3 = (n + 1)n(n – 1) 1.º fator n Número de fatores 3 A n,p é o produto dos p números naturais consecutivos tomados decrescentemente a partir de n.

47 Prof. Jorge Exemplos Formei todos os arranjos simples com os elementos de um conjunto A, tomados 2 a 2. Eram 90 arranjos. Quantos são os elementos de A? A n,2 = 90 n(n – 1) = 90 n = 10

48 Prof. Jorge Exemplos Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formar a)De 4 algarismos? b)Ímpares, de 3 algarismos? c)Maiores que ?

49 Prof. Jorge Exemplos Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formar a) De 4 algarismos? A 7,4 = = 840

50 Prof. Jorge ímpar Exemplos Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formar b) Ímpares, de 3 algarismos? A 6,2 5 opções 5. A 6,2 = 150 =

51 Prof. Jorge Exemplos Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formar c) Maiores que ? Nesse caso, há três hipóteses: 1.ª hipótese: números de 5 algarismos A 6,4 2 opções (7 ou 9) 2. A 6,4 = 150 =

52 Prof. Jorge Exemplos Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formar c) Maiores que ? Nesse caso, há três hipóteses: 2.ª hipótese: números de 6 algarismos A 7,6 = =

53 Prof. Jorge Exemplos Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formar c) Maiores que ? Nesse caso, há três hipóteses: 3.ª hipótese: números de 7 algarismos A 7,7 = P 7 = =

54 Prof. Jorge Exemplos Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formar c) Maiores que ? 1.ª hipótese: ª hipótese: ª hipótese: Total: =

55 Prof. Jorge Exemplos Um torneio de futebol é disputado por 8 equipes: A, B, C, D, E, F, G e H. a)Quantas são as alternativas de definição dos 4 primeiros colocados? b)Se a equipe E já foi declarada campeã antecipadamente, quantas são as alternativas de definição do 2.º ao 4.º colocado?

56 Prof. Jorge Exemplos Um torneio de futebol é disputado por 8 equipes: A, B, C, D, E, F, G e H. a) Quantas são as alternativas de definição dos 4 primeiros colocados? A 8,4 = = b) Se a equipe E já foi declarada campeã antecipadamente, quantas são as alternativas de definição do 2.º ao 4.º colocado? A 7,3 = 210 = 7.6.5

57 Prof. Jorge Combinação simples

58 Prof. Jorge Combinação simples Tenho 5 amigos (A, B, C, D, E) e quero convidar 3 deles para a festa de meu aniversário. Quantas alternativas tenho? O meu problema é escolher apenas 3 dos 5 amigos. Dizemos que cada um desses agrupamentos é uma combinação simples de 5 elementos, tomados 3 a 3. {A, B, C}{A, B, D}{A, B, E}{A, C, D}{A, C, E} {A, D, E}{B, C, D}{B, C, E}{B, D, E}{C, D, E} No total são 10 maneiras diferentes. C 5,3 = 10

59 Prof. Jorge Combinação simples Combinação simples dos n elementos de um conjunto A, tomados p a p (p n), é cada agrupamento não-ordenado que contém, sem repetição, p elementos de A. O número de combinações simples de n elementos, tomados p a p, é indicado por C n,p.

60 Prof. Jorge Cálculo no total de Combinações simples O cálculo do número de combinações simples está relacionado ao cálculo do número de arranjos simples e de permutações simples. A formação de arranjos simples envolve duas etapas: 1ª etapa Formação das combinações simples 2ª etapa Formação das permutações simples Resultado Formação dos arranjos simples C n,p. P p = A n,p C n,p = A n,p PpPp

61 Prof. Jorge P A 10,4 P A 12,3 P 3 (n – 1).(n – 2) 2 A n – 1,2 Exemplos C 10,4 = = = 210 C 12,3 = = = 220 C n – 1,2 = =

62 Prof. Jorge Exemplos Duas pessoas de um grupo de amigos serão escolhidas para cuidarem dos preparativos de uma festa. A escolha pode ser feita de 21 modos diferentes. Quantas pessoas há no grupo? P 2 n.(n – 1) 2 C n,2 = 21 A n,2 = 21 = 21 n.(n – 1) = 42 n = 7

63 Prof. Jorge Exemplos Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De quantos modos pode-se formar uma comissão de: a)5 pessoas? b)7 pessoas, com exatamente 3 professores? c)4 pessoas, com pelo menos 3 professores? d)3 pessoas, com pelo menos 1 professor?

64 Prof. Jorge A 11,5 P 5 Exemplos Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De quantos modos pode-se formar uma comissão de: a) 5 pessoas? C 11,5 = = = 462

65 Prof. Jorge Exemplos Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De quantos modos pode-se formar uma comissão de: b) 7 pessoas, com exatamente 3 professores? C 7,4. C 4,3 =. 1ª etapa Escolher 4 alunos 2ª etapa Escolher 3 professores = 35. 4= 140 C 7,4 C 4,3

66 Prof. Jorge Exemplos Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De quantos modos pode-se formar uma comissão de: c) 4 pessoas, com pelo menos 3 professores? 7 C 7,1. C 4,3 =. 1ª etapa Escolher 1 aluno 2ª etapa Escolher 3 professores = 7. 4= 28 Temos 2 hipóteses: 1ª hipótese: C 7,1 C 4,3

67 Prof. Jorge Exemplos Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De quantos modos pode-se formar uma comissão de: c) 4 pessoas, com pelo menos 3 professores? C 4,4 = Escolher 4 professores = 1 Pelo princípio aditivo, = 29 maneiras Temos 2 hipóteses: 2ª hipótese:

68 Prof. Jorge Exemplos Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De quantos modos pode-se formar uma comissão de: d) 3 pessoas, com pelo menos 1 professor? C 11,3 = = 165 Total de comissões de 3 pessoas Total de comissões de 3 pessoas, só com alunos menos C 7,3 = = – 35 = 130 maneiras.

69 Prof. Jorge Exemplos Duas retas r e s são paralelas. Tomam-se 5 pontos em r e 6 pontos em s. Com vértices nesses pontos, quantos triângulos e quantos quadriláteros convexos podemos construir? Veja a ilustração da situação. r s

70 Prof. Jorge Exemplos Duas retas r e s são paralelas. Tomam-se 5 pontos em r e 6 pontos em s. Com vértices nesses pontos, quantos triângulos e quantos quadriláteros convexos podemos construir? Total de triângulos. (2 pontos de r e 1 de s) ou (1 ponto de r e 2 de s) C 5,2. C 6, C 5,1. C 6, C 5,2. C 6,1 + C 5,1. C 6,2 = = 135

71 Prof. Jorge Exemplos Duas retas r e s são paralelas. Tomam-se 5 pontos em r e 6 pontos em s. Com vértices nesses pontos, quantos triângulos e quantos quadriláteros convexos podemos construir? Total de quadriláteros é obtido escolhendo-se 4 pontos, sendo 2 de r e 2 de s. C 5,2. C 6,2 = = = 150

72 Prof. Jorge Distinguindo permutações, arranjos e combinações simples

73 Prof. Jorge Arranjos, combinações ou permutações? ArranjoOrdenado Escolher e ordenar os escolhidos CombinaçãoNão-ordenado Só escolher os elementos PermutaçãoOrdenado Só ordenar os elementos (todos) Nome do agrupamento Tipo de agrupamento Critério de formação


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