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APLICAÇÕES COM EXCEL: Distribuição Binomial Considere: p a probabilidade de sucesso; q = 1-p a probabilidade de insucesso(fracasso); A probabilidade do.

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1 APLICAÇÕES COM EXCEL: Distribuição Binomial Considere: p a probabilidade de sucesso; q = 1-p a probabilidade de insucesso(fracasso); A probabilidade do evento acontecer exatamente x vezes, em n tentativas (x sucessos e n-x insucessos) é definida por:

2 Função DistrBinom: calcula a Prob.de x sucessos (cumulativo=0) ou a soma acumulada desde x=0 (cumulativo=1) até o valor estipulado.

3 Exemplo 1: A porcentagem de neutrofilos numa amostra de sangue é de 70%. Qual a probabilidade de encontrar 50% de neutrofilos tomando-se 20 leucócitos ao acaso?

4 p(x 1) = p(0)+p(1) Exemplo 2: Uma infecção experimental em camundongos determina morte de 30% dos animais a ela submetidos, 70% sobrevivendo. Qual a probabilidade de obter num lote de 5 animais, uma mortalidade de, no máximo 20%?

5 APLICAÇÕES COM EXCEL: Distribuição Poisson Definição Considere X uma variável aleatória com os seguintes valores: 0,1,2,3,...,n. A probabilidade de assumir um valor k é dada pela fórmula de distribuição de probabilidade:

6 Função Poisson: calcula a Prob.de x sucessos (cumulativo=0) ou a soma acumulada desde x=0 (cumulativo=1) até o valor estipulado.

7 Nº DE ÓBITOSNº DE CONDADOS ou mais0 TOTAL34 Exemplo: Mortes por esclerose múltipla, em uma determinada população. Encontrar os valores esperados, admitindo uma distribuição de Poisson.

8 APLICAÇÕES COM EXCEL: Distribuição Normal Características: 1.A área sob a curva normal é igual a 1; 2.Como a distribuição é continua, só faz sentido calcular a Prob.de X assumir valores dentro de intervalos; 3.Como a média é igual à mediana, a Prob. de se obter um valor inferior à média é igual a 0,50; 4.A maior concentração de freqüências ocorre no centro da distrbuição, isto é, em torno da média.

9 Função Dist.norm: calcula a área da curva normal de menos infinito (cumulativo=1) até o valor estipulado (X).

10 APLICAÇÕES COM EXCEL: Distribuição Normal Exemplo 3. Seja a variável X = altura de indivíduos adultos, com distribuição aproximadamente normal, com média m = 1,65 m e desvio padrão = 0,09 m. Ou seja, X N(1,65;0,09). Qual a proporção de indivíduos desta população que mede 1,65 m e 1,80 m?

11 APLICAÇÕES COM EXCEL: Distribuição Normal A curva normal padronizada é dada por: Exemplos: Calcular 1) P(0 z 1,96)4) P(-2 z 2) 2) P(0 z 2,56)5) P(-3 z 3) 3) P(1,44 z 1,96)

12 Função Dist.normp: calcula a área da curva normal de menos infinito (cumulativo=1) até o valor estipulado (z).

13 Exemplo 4 1.Seja a variável X = altura de indivíduos adultos, com distribuição aproximadamente normal, com média m = 1,65 m e desvio padrão = 0,09 m. Ou seja, X N(1,65;0,09). Calcular a proporção de indivíduos desta população que mede 1,65 m e 1,80 m, ou seja, entre a média da distribuição e 1,80 m. Para isso transformar o valor x = 1,80 m em um específico valor z, usando a relação.

14 Função Padronizar: calcula o valor de z, ao se digitarem os valores de x, da média e do desvio-padrão.

15 Com variância conhecida Conforme mostrado na aula anterior, o intervalo de confiança bilateral de 100 (1- )% para é dado por: Intervalo de Confiança para a Média

16 Função Int.Confiança: calcula o valor do erro de amostragem dado os valores de alfa, desvio-padrão e tamanho da amostra.

17 Considere duas populações com distribuição de Gauss com médias 1, 2 e variâncias 1 2 e 2 2. Retire uma amostra aleatória de tamanho n 1 da primeira população, com uma variância s 1 2, e outra amostra aleatória de tamanho n 2 da segunda população com variância s 2 2. A Distribuição F A estatística indica a relação entre as razões das variâncias amostral e da população. Supondo que as variâncias amostrais sejam oriundas de amostras aleatórias independentes e com as mesmas variâncias populacionais, então: F=s 1 2 /s 2 2. A distribuição teórica que modela essa razão denomina-se Distribuição F

18 No menu Ferramentas, a opção Análise de Dados leva ao Teste F.. Função TesteF: realiza o teste de igualdade de variância dado os valores da amostra1 e da amostra2 e do valor de alfa.

19 Exemplo: Considere as medidas de alturas de alunos e alunas da disciplina RGM F 1,60 1,65 1,54 1,55 1,59 1,65 1,73 1,71 1,73 M 1,71 1,72 1,92 1,73 1,83 1,80 1,82 1,76 1,75 Considerando-se uma confiança de 95%, pode-se afirmar que as variâncias são iguais? Exercício sobre o Teste F No Menu Ferramentas, a opção Análise de Dados leva ao Teste F:duas amostras para variâncias, que realiza o teste de igualdade de variâncias.

20 Considerando iguais as variâncias das populações A variável aleatória X 1 é modelada por uma distribuição de Gauss com média 1 e variância 1 2, isto é, X 1 ~N( 1, 1 2 ) e a variável X 2, também é de Gauss, isto é, X 2 ~N( 2, 2 2 ) Intervalo de Confiança para a Diferença de Médias O intervalo de 100 (1- )% de confiança para a diferença ( ) entre as médias das duas populações é dado por: Com a variância comum, ponderada, dada por:

21 Considere uma população de tamanho n que tem uma distribuição de Gauss com média 0 e variância 1, ou seja, z 1 2, z 2 2,..., z n 2. A distribuição qui-quadrado( 2 ) é definida como a soma dos quadrados dos n valores de zi: 2 =z z z z n 2 A Distribuição Qui-quadrado Se continuarmos a retirar as amostras da mesma população, cada uma das n quantidades terá uma distribuição de probabilidade 2 que poderá ser representado por um histograma. Com o número de amostras(n) grande, tem-se a distribuição do qui- quadrado com n-1 graus de liberdade.

22 No menu Colar função, escolher Estatística e a opção INV.QUI ou DIST.QUI. Exemplo com o Excel

23 TESTES DE HIPÓTESES Exemplos 1. Suponha que um medicamento P tenha, com relação a uma doença, uma eficiência de curas da ordem de 50%. Admita, ainda, que o laboratório esteja interessado em lançar no mercado um novo medicamento N cuja eficiência, com relação à mesma doença, seja E N, esperada superior a E P.

24 H 0 E N = 50% H 1 E N 50% O objetivo é testar a hipótese de que os dois medicamentos têm a mesma eficiência contra a hipótese de que o medicamento N é mais eficiente do que o padrão (P) H 0 E N = E P H 1 E N E P ou

25 TESTES DE HIPÓTESES Exemplos 2. Suponha que um levantamento realizado na população de postos de gasolina do Estado de São Paulo tenha fornecido a média de R$ 1,437. Após, o atentado de 11 de setembro houve um aumento de preço do petróleo no mercado internacional. Temendo as repercussões sobre a inflação doméstica, o governo reduziu os impostos sobre a gasolina. Pela cultura de inflação no Brasil, parece que o preço da gasolina aumentou nos postos do Estado assim, o governo selecionou uma amostra de 36 postos para testar a hipótese de que houve aumento de preços.

26 TESTES DE HIPÓTESES Selecionada a amostra e colhidos os preços, encontrou- se média maior que R$ 1,437, a antiga média da população. Há evidência suficiente para concluir que os preços da gasolina aumentaram no Estado de São Paulo?

27 ELEMENTOS DE UM TESTE ESTATÍSTICO A hipótese alternativa, H a ou H 1 O teste estatístico A região de não rejeição A hipótese nula, H 0

28 Região de não rejeição

29

30 Para testar H 0 contra H 1, suponha a realização do seguinte experimento: Toma-se uma amostra de indivíduos apresentando as características da doença e casualmente aplica-se os dois medicamentos. Por exemplo, 20 indivíduos, 10 tomam o medicamento P e o restante o N.

31 Ao final do experimento, com os resultados obtidos, o laboratório deverá tomar uma decisão, entre duas possíveis: aceitar H 0, ou seja, o medicamento N tem a mesma eficiência que o P. rejeitar H 0 (aceitar H 1 ), isto é, o medicamento N tem eficiência maior que o P.

32 se for tomada a primeira decisão (aceitar H 0 ), não se estará cometendo erro se for tomada a segunda decisão (rejeitar H 0 ), comete-se um erro, denominado tipo I que consiste em rejeitar H 0 quando H 0 é verdadeira, cuja probabilidade de ocorrência é o. Ao tomar uma decisão o laboratório estará cometendo algum tipo de erro? a) Suponha que H 0 seja realmente verdadeira

33 b) Suponha que H 1 seja realmente verdadeira: se for tomada a primeira decisão (aceitar H 0 ), comete-se um erro, denominado tipo II que consiste em aceitar H 0 quando H 0 é falsa, cuja probabilidade de ocorrência é.

34 EM RESUMO

35 b) Ao reduzir um ocorre aumento no outro ; c) A única maneira de reduzir ambos é aumentando o tamanho da amostra; a) Os dois erros são igualmente importantes, porém depende do problema; OBSERVAÇÕES

36 d) Em geral, fixa-se o e o é o menor possível; e) A escolha prévia do valor de, não é um problema estatístico e sim do pesquisador interessado em testar H 0 contra H 1. OBSERVAÇÕES

37 Resumo: Funções: 1.DistrBinom 2.Poisson 3.Dist.norm 4.Dist.normp 5.Padronizar 6.Int.Confiança 7.TesteF:duas amostras


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