A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

Matemática e suas Tecnologias

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "Matemática e suas Tecnologias"— Transcrição da apresentação:

1 Matemática e suas Tecnologias
Geometria Plana Ensino Médio, 1º Série Ângulos

2 Semi-retas: ou CA e ou CB A E e P Ɇ r A C B P
Você sabia que... ...a reta é um conjunto infinito de pontos? ...é usual representar os pontos por letras maiúsculas (A,B,C,...,M,N,...) E as retas por letras minúsculas (r,s,t,...)? Obs: Nos conjuntos numéricos, a convenção é inversa: as letras Maiúsculas designam conjuntos e as letras minúsculas os seus elementos. ...Por dois pontos distintos A e B, passa uma única reta r ou AB? Reta: r ou AB Semi-retas: ou CA e ou CB A E e P Ɇ r A C B P r | | |

3 (lê-se: a medida de PQ é igual a 3) A P u u u Q B
...Na figura estão definidas as semi-retas CA e, CB cuja origem comum é o ponto C? ... A reta ou AB é o suporte das semi-teras CA ou CB? ... A poção de uma reta r, definidas por dois de seus pontos P e Q, é chamada segmento, e é representada por ou PQ? ... Medir um segmento é compará-lo com outro tomado como unidade? ... O número, resultante da medida de um segmento, é também chamado de distância entre os dois pontos? T ... É comum dizer-se que o segmento PQ mede 3cm? ...isto significa que o resultado da medida é 3, adotando-se o centímetro como unidade? C D m(PQ) = 3 (lê-se: a medida de PQ é igual a 3) A P u u u Q B r | | | | | | u 1cm

4 MN ≡ RS (lê-se: MN é congruente a RS) M N R S
... É usual representar-se a medida do segmento de extremos P e Q. Simplesmente por PQ ao invés de m (PQ)? ... Os segmentos da figura seguinte são chamados congruentes, porque apresentam a mesma medida (adotando-se a mesma unidade)? MN ≡ RS (lê-se: MN é congruente a RS) M N R S r | | | | | | ... neste caso, usando a notação (representação) simplificada, podemos escrever - MN ≡ RS  ... os segmentos definidos na mesma reta (isto é, que têm na mesma reta suporte) são denominados colineares? (adotando-se a mesma unidade)? Segmentos colineares: AB, CD e EF A B C D E F r | | | | | |

5 ... O plano é, também, um conjunto infinito de pontos?
... os segmentos da figura a seguir são consecutivos, porque, considerados dois a dois, só possuem um extremo em comum? N Q M P MN ᵔ NP = (N) NP ᵔ PQ = (P) Segmentos consecutivos: ... O plano é, também, um conjunto infinito de pontos? ... Na sua representação são usadas letras do alfabeto grego (α – alfa, β – beta, γ – gama, ...)? ... um plano contém uma infinidade de retas? ... as retas que estão no mesmo plano são chamadas coplanares? r s t r ⊂ α s ⊂ α t ⊂ α (α) r, s e t São coplanares Plano (α)

6 ... as retas coplanares que não tem ponto em comum são denominadas paralelas? ...as retas concorrentes ou incidentes são coplanares e apresentam somente um ponto em comum? ... duas retas representadas pelo mesmo conjunto de pontos são chamadas coincidentes (ou não-distintas)? r s p (α) A q U t r ⊂ α s ⊂ α r ᵔ s = ø Retas paralelas: r e s r // s Retas concorrentes: p e q { p ᵔ q = {A} Retas coincidentes: u e t { u ᵔ t = u ᵕ t ... traçando uma reta, no chão de sua casa, e outra no teto, elas não se encontram, e, entretanto, pode não ser paralelas? Examine a figura seguinte

7 (β) s (α) r ... qualquer reta de um plano divide esse plano em regiões, denominadas semiplanos? (α1) (α2) r r é a origem comum dos semiplanos (α1) e (α2) ... ponto, reta e plano são conceitos primitivos, isto é, não são definidos?

8 ... ponto, reta e plano são conceitos primitivos, isto é, não são definidos?
Q Segmentos consecutivos: MN ᵔ NP = (N) NP ᵔ PQ = (P) ... O plano é, também, um conjunto infinito de pontos? ... Na sua representação são usadas letras do alfabeto grego (α – alfa, β – beta, γ – gama, ...)? ... um plano contém uma infinidade de retas? ... as retas que estão no mesmo plano são chamadas coplanares? r s t r ⊂ α s ⊂ α t ⊂ α (α) r, s e t São coplanares Plano (α)

9 POSTULADO – TEOREMA As sentenças (matemáticas ou não) podem ser classificadas em dois grupos: Postulados (ou Axiomas) - sentenças que são aceitas como verdadeiras sem prova. São evidentes por si mesmas. r s B M P A

10 1 - "A reta é ilimitada nos dois sentidos."
Exemplos: 1 - "A reta é ilimitada nos dois sentidos." 2 - "Por um ponto passa uma infinidade de retas." 3 - "Por dois pontos distintos passa uma e somente uma reta." r B A (α) (α)

11 Ângulo é a figura formada por duas semi-retas de mesma origem
2.1 – DEFINIÇÃO Ângulo é a figura formada por duas semi-retas de mesma origem B E I O A (α) I Região interna E Região externa Ângulo AOB = OA ᵕ OB

12 São aqueles que podem coincidir por superposição
2.2 – ÂNGULOS CONGRUENTES São aqueles que podem coincidir por superposição B A C E F D ABC ≡ DEF (lê-se: o ângulo ABC é congruente ao ângulo DEF)

13 2. 3 – BISSETRIZ DE UM ÂNGULO É a semi-reta que divide o ângulo em dois outros congruentes
OC (bissetriz) AOC ≡ COB Obs.: É comum assinalar os ângulos congruentes com igual número de traços

14 2. 4 – RETAS PERPENDICULARES: ÂNGULO RETO Duas retas são perpendiculares quando são concorrentes e formam quatro ângulos congruentes. Denomina-se ângulo reto a qualquer um desses ângulos. Representa-se por r ou ( ) Obs.: Se os ângulos não forem congruentes (DEB e DEO), as retas são oblíquas. D E B C O A BOD ≡ DOA ≡ AOC ≡ COB ≡ 1r CD AB (lê-se: CD é perpendicular a AB) DE AB (lê-se: DE é oblíqua a AB)

15 2.5 – MEDIDA DE ÂNGULOS (Sistema sexagésima)
Grau 1° = 1r/90 Minuto 1’ = 1°/60 Segundo 1” = 1’/60

16 2. 7 – ÂNGULOS CÔNCAVOS (ou NÃO-CONVEXOS)
2.6 – ÂNGULOS COVEXOS  São aqueles cuja medida está compreendida entre 0° e 180°. Entre os ângulos convexos, distinguimos: C B A E F D H G I Reto Agudo Obtuso ABC = 90° 0° < DEF < 90° 90° < GHI < 180° 2. 7 – ÂNGULOS CÔNCAVOS (ou NÃO-CONVEXOS)  São aqueles cuja medida está compreendida entre 180° e 360° O A B AOB > 180°

17 2.8 – ÂNGULOS COMPLEMENTARES, SUPLEMENTARES REPLEMENTARES  Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90° (1 reto). Neste caso, cada um deles diz-se complemento do outro. Exemplo: O complemento de 28° é 62°, porque 28° + 62° = 90°. Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180° (2 retos). Dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360° (4 retos). Daí, representando a medida de um ângulo por x, teremos: Complemento 90° - x Suplemento 180° - x Replemento 360° - x

18 2.9 – ÂNGULOS ADJACENTES  dois ângulos são adjacentes quando têm o mesmo vértice e um lado comum, compreendido entre os não-comuns C B 35° 115° 30° A D O AOB e BOC ; lado comum: OB AOC e BOD ; lado comum: OB AOC e COD ; lado comum: OC Da figura acima você conclui que: AOC + COD = 180° De um modo geral, podemos dizer: Teorema: “Dois ângulos adjacentes, que têm os lados não comuns em linha reta, são suplementares.”

19 "Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes."
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE (O.P. V.) Dois ângulos são opostos pelo vértice, quando o lado de um deles são as semi-retas opostas dos lados do outro B C d O a b c A D AOC e BOD AOD e BOC 2.11 – TEOREMA "Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes." Na figura acima temos: a = b ; c = d

20 2. 12 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 – reduza à fração de grau: a) 20° 36 b) 45° 12' 60’ → 1° Solução: a) → x = 36/60 = Logo: 20° 36' = 20° + 0,6° = 20,6° 36’ → x Observação: 1° → 60’ Da proporcionalidade , concluímos que 0,1° = 6’ 0,1° → x b) pela observação, resulta: 12’ = 0,2° assim: 45° 12’ = 45° + 0,2° = 45,2° 2 – Reduza à 4'48" a segundos. 1’ → 60” Solução: → x = 240” Logo: 4'48" = 240" + 48" = 248" 4’ → x

21 3.1 ÂNGULOS DE LADOS PARALELOS Dois ângulos de lados paralelos são: Congruentes - se ambos forem agudos, retos ou obtusos b d a c a ≡ b c ≡ d Suplementares - se ambos retos ou se um deles for agudo e o outro obtuso e f e + f 180°

22 3.2- ÂNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES Dois ângulos de lados perpendiculares são: Congruentes - se ambos agudos, retos ou obtusos Suplementares - se ambos forem retos ou se um deles for agudo e o outro obtuso n q m p m = n p + q = 180°

23 3 - DUAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL
Região externa b t A a Paralelas: r e s Transversais: t r c Região interna f B e s h g Região externa

24 Os pares de ângulos (um com vértice em A e outro em B) são definidos da seguinte forma: Do mesmo lado da transversal   Ambos na região interna: Colaterais Internos (d;e) (c;f) Ambos na região externa: Colaterais Externos (a;h) (b;g) Uma na região interna e outro na externa: Correspondentes (a;e) (b;f) (d;h) (c;g)  Em lados opostos da transversal   Ambos na região interna: Alternos Internos (c;e) (d;f) Ambos na região externa: Alternos Externos (a;g) (b;h)

25 Conclusões:  Do conhecimento dos ângulos opostos pelo vértice (2.10 e 2.11) e dos de lados paralelos (3.1), resulta que, na fig. 22:   a=c=e=g b = d =f = h Correspondentes Alternos internos Congruentes Alternos externos Colaterais interno Suplementares Colaterais externos


Carregar ppt "Matemática e suas Tecnologias"

Apresentações semelhantes


Anúncios Google