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Exercícios Linguagens Formais. 1.Para cada um dos pares de descrições de linguagens a seguir, escolha o relacionamento correto de acordo com essas quatro.

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1 Exercícios Linguagens Formais

2 1.Para cada um dos pares de descrições de linguagens a seguir, escolha o relacionamento correto de acordo com essas quatro opções: (1) (2): linguagem (1) é um subconjunto da linguagem (2). (1) (2): linguagem (1) é um super-conjunto da linguagem (2). (1) = (2): as linguagens (1) e (2) são as mesmas. (1) ? (2): as linguagens (1) e (2) não possuem relação de subconjunto; ou seja, existem cadeias em (1) que não estão em (2), e há cadeias em (2) que não estão em (1). a) (1): A linguagem da GLC com as produções S 0S1 | 1S0 | λ (2): A linguagem da expressão regular (0 + 1 )*. (1) está contida em (2). (2) gera todas as cadeias de 0s e 1s, enquanto (1) não gera cadeias como 11, ou qualquer string de tamanho ímpar.

3 b) (1): A linguagem da GLC com as produções S AS | SB | λ, A 0 e B 1 (2): A linguagem da expressão regular 0*1* As linguagens são iguais.

4 c)(1): A linguagem da expressão regular (0 + 1)*11(0 + 1)* (2): A linguagem da expressão regular (0*1*11)*0*110*1* (1) contém (2). (1) é formada por todas as cadeias de 0s e 1s com dois 1s consecutivos. (2) não possui algumas dessas cadeias, como por exemplo as terminadas em

5 2) Seja L a linguagem consistindo de todas as cadeias de zero ou mais 0s seguidas por um ou mais 1s, seguidas por dois ou mais 2s. Por exemplo, , 122 e estão em L; 012 (poucos 2s) e (um 2 precede um 1) não estão. a) Escreva uma expressão regular cuja linguagem seja L. 0*11*222*

6 b) Dê uma gramática livre de contexto que gere a mesma linguagem. É suficiente apenas dar as produções, assumindo que S é o símbolo inicial. Existem várias gramáticas aceitáveis, uma delas é: S ABC A 0A | λ B 1B | 1 C 2C | 22

7 3) Construa uma gramática regular para cada uma das linguagens a seguir: (a) o conjunto das cadeias sobre {a, b, c} que não contém aa. S aA | bS | cS | λ A bS | cS | λ (b) o conjunto das cadeias sobre {a, b, c} nas quais cada b é seguido por pelo menos um c. S aS | bA | cS | λ A cS (c) o conjunto das cadeias sobre {a, b} nas quais o número de as é divisível por 3. S aA | bS | λ A aB | bA B aS | bB

8 d) O conjunto das cadeias sobre {a, b} nos quais cada a é precedido (imediatamente) ou seguido (imediatamente) por b. S aA | bB | λ A bB B aS | bB | λ

9 4) Seja G a gramática S aS | Sb | ab | SS (a) Dê uma expressão regular para L(G). (a+b+)+ (b) Construa duas derivações mais a esquerda de aabb. S aS aSb aabb S Sb aSb aabb (c) Construa as árvores de derivação para as derivações da parte (b) SS aSSb SbaS a bab

10 (d) Construa uma gramática não ambígua equivalente a G. S aS | abA A bA | S | λ (e) Escreva uma gramática regular equivalente. S aS | aB B bA A bA | aS | aB | λ

11 5) Seja G a gramática livre de contexto com as seguintes produções: S aS | Sb | a | b (a)Prove, por indução no tamanho da derivação, que todas as cadeias w Є L(G) tem a propriedade de não conter ba como uma subcadeia. Seja t = tamanho da indução. (i)Se t = 1 então S => a ou S => b. Portanto, não possuem ba como subcadeia. (ii)Supomos que, para 1 t * w e |w|= t, então w não possui ba como subcadeia. (iii)Vamos mostrar que a proposição vale para t = k Nesse caso, S => k w. Como em cada passo de derivação exatamente um terminal é gerado (a ou b), então necessariamente |w| = k. Além disso, w foi gerado num caminho S => aS => k-1 ax ou S=> Sb => k-1 yb, e |x| = |y| = k-1. Por (ii), nem x nem y têm ba como subcadeia. Logo, ax e yb também não têm ba como subcadeia c.q.d.

12 6) Construa uma gramática para cada uma das linguagens: (a) {a m b n | m > n} S aS | aA A aAb | λ (b) {w Є {a, b}* | o número de as em w é o dobro do número de bs} S aSaSbS | aSbSaS | bSaSaS | λ (c) {a m b n | n m 2n} S aSb | aaSb | λ (d) {a m b n c p d q | m + n p + q}

13 6) Construa uma gramática para cada uma das linguagens: (a) {a m b n | m > n} S aS | aA A aAb | λ (b) {w Є {a, b}* | o número de as em w é o dobro do número de bs} S aSaSbS | aSbSaS | bSaSaS | λ (c) {a m b n | n m 2n} S aSb | aaSb | λ (d) {a m b n c p d q | m + n p + q} S aSd | A | B = gera igual número de a e d A bAd | C = gera igual número de b e d B aBc | C | D = gera igual número de a e c C bCc | E = geral igual número de b e c D aD | E = gera pelo menos um a E bE | λ = gera pelo menos um b

14 Exercícios da 4a. Lista (material web) 6) Indicar qual é a linguagem gerada pela gramática dada, e classificá-la: (a)S A0 A 1A A0 10 L = G.Regular equivalente: S A0 A 1A | 1

15 (e) S 0A | 1B A 0A | 0 B 1B | 1 L= ( ) A linguagem é regular.


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