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Método de diferenças finitas para problemas lineares Problema linear de valores de contorno de segunda ordem, y´´ = p(x)y´+ q(x)y + r(x), com x entre a.

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1 Método de diferenças finitas para problemas lineares Problema linear de valores de contorno de segunda ordem, y´´ = p(x)y´+ q(x)y + r(x), com x entre a e b, y(a) = e y(b) = Seleciona N>0 Divide [a,b] em (N+1) subintervalos iguais x i = a+ih, para i = 0,1,...,N+1 e h = (b-a)/(n+1) No interior da malha: y´´(x i ) = p(x i )y´(x i ) + q(x i ) y(x i ) + r(x i ), i = 1,2,...,N

2 Calculando y(x i+1 ) e y(x i-1 ) pela série de Taylor, somando essas equações e fazendo uma simples manipulação algébrica obtem-se: y´´(x i ) = 1/h 2 [y(x i+1 ) - 2y(x i ) + y(x i-1 )] - h 2 /24 [y (4) ( + ) + y (4) ( - )] Usando o teorema do valor intermediário: y´´(x i ) = 1/h 2 [y(x i+1 ) - 2y(x i ) + y(x i-1 )] - h 2 /12[y (4) ( i )], chamada de fórmula centrada de y´´(x i ) A fórmula centrada para y´(x i ), obtida de maneira semelhante é: y´(x i ) = 1/2h[y(x i+1 ) - y(x i-1 )] - h 2 /6(y´´´( i )

3 Substituindo y´´(x i ) e y´(x i ) na equação original temos: y(x i+1 ) - 2y(x i ) + y(x i-1 )/h 2 = p(x i )[y(x i+1 ) - y(x i - 1)/2h] + q(x i )y(x i ) + r(x i ) - h 2 /12[2p(x i )y´´´( i ) - y (4) ( i )] juntando as condições de contorno: w 0 = e w n+1 =, e [(2w i - w i+1 - w i-1 )/h 2 ] + p(x i )[(w i+1 - w i-1 )/2h] + q(x i )w i = -r(x i ), para i = 1,2,...,N

4 Reescrevendo a equação anterior -(1+h/2p(x i ))w i-1 + (2 + h 2 q(x i ))w i - (1- h/2p(x i ))w i+1 = -h 2 r(x i ) resultando em um sistema de equações da forma Aw = b

5 Teorema 11.3 Supondo p, q e r continuas em [a,b], se q(x) >= 0 então o sistema trigonal tem uma única solução em h < 2/L onde L = max a<=x<=b |p(x)|

6 Equação diferencial parcial elíptica Equação de Poisson: 2 u(x,y) 2 u/ x 2 (x,y) + 2 u/ y 2 (x,y) = f(x,y), para (x,y) R u(x,y) = g(x,y) para (x,y) S onde R = {(x,y)|a

7 Escolha inteiros n e m Defina h e k em que: h = (b-a)/n k = (d-c)/m Coordenadas (x i,y i ): x i = a + ih, para i = 0,1,...,n y j = c + jk, para j = 0,1,...,m

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9 Linhas x=xi e y=yi são linhas de grade Suas intersecções são pontos de junção da grade Usando as fórmulas centradas de 2 u/ x 2 (x i,y j ) e 2 u/ y 2 (x i,y j ) e as condições de contorno na equação de Poisson, obtemos a método centrado com erro da ordem de O(h 2 + k 2 ) 2[(h/k) 2 + 1]w i,j – (w i-1,j + w i-1,j ) – (h/k) 2 (w i,j + w i,j- 1 ) = -h 2 f(x i,y j ), para valores dentro de R Para os contornos: w 0,j = g(x 0,y j ), w n,j = g(x n,y j ), para j = 0,1,...,m w i,0 = g(x i,y 0 ), w i,m = g(x i,y m ), para i = 1,2,...,n-1

10 Localização dos pontos em forma de estrela

11 Se usarmos condições de contorno apropriadas teremos um sistema linear (n-1)(m-1) por (n-1)(m- 1) com aproximações não conhecidas w i,j para u(x i,y j ) Renomeando os pontos: P l = (x i,y j ) e w l = w i,j onde l = i + (m-1-j)(n-1) para i = 1,2,...,n-1 e j = 1,2,...,m-1

12 Grade com pontos renomeados

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