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Resumo de aulas anteriores Geodésica: menor distância entre dois pontos espaço euclidiano: linhas retas espaço esférico: arco de círculo máximo espaço.

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2 Resumo de aulas anteriores Geodésica: menor distância entre dois pontos espaço euclidiano: linhas retas espaço esférico: arco de círculo máximo espaço hiperbólico: hipérbole Um caminho descrito por um corpo livre que obedece a 1 a lei de Newton de movimento pode ser descrita expressando suas coordenadas espaciais como função do tempo: x(t), y(t), z(t) t absoluto Este caminho representa a menor distância entre dois pontos geodésica do espaço

3 CASO RELATIVÍSTICO: t é relativo Supondo um espaço plano 3-D dado por dl 2 =dx 2 +dy 2 +dz 2 Pode-se substituí-lo por um espaço-tempo 4-D de Minkowski, definido pelas coordenadas espaciais x,y,z e pela distância temporal ct, onde x( ), y( ), z( ), t( ) tempo próprio (absoluto) ds 2 =c 2 dt 2 -|dl 2 | métrica pseudo-euclidiana a distância espacial dl entre dois pontos num espaço 3-D é generalizada à distância ds entre dois eventos num E-T 4-D definido pelas coordenadas de tempo e espaço

4 Dois eventos separados no E-T são causamente conectados por sua separação espacial dl e temporal dt obedecendo a lei: ds 2 =c 2 dt 2 -|dl 2 |, se dl/dt=c dl=cdt ds 2 =c 2 dt 2 -c 2 dt 2 = 0 um sinal de luz tem separação nula ou atravessa um espaço de geodésicas nulas (ligth-like) O intervalo de tempo próprio d = ds/c (entre dois eventos ao longo da linha de mundo de um corpo) luz : d = 0 Limita o universo observável presente contém todas as linhas de mundo que podem ser observadas em princípio

5 MÉTRICA DE ROBERTSON-WALKER Sai do caso plano (K=0), para diferentes K ou geometrias possíveis Mas K é sempre constante (princípio cosmológico) Ҝ= -1/R 2 Ҝ= 1/R 2 X Y Z R P Definição: Geometrias Possíveis: Ҝ(t)=k / R 2 (t) k =-1,0,+1 A curvatura é constante somente num dado t, mas varia para tempos diferentes fator de escala ou parâmetro de expansão

6 Suposições: universo como um fluído isotrópico e homogêneo : fluído cosmológico descrição da posição de um objeto no espaço : coordenadas comóveis como coordenadas lagrangeanas quantidade absoluta: = tempo próprio medido por relógios em repouso em relação ao fluído cosmológico referencial inercial Vimos que a métrica de um espaço 3-D de Ҝ constante pode ser descrito como: Onde a não é o raio próprio no espaço a Raio próprio

7 a não é comóvel corte vertical da esfera anterior: a R expandindo ou contraindo a esfera a muda o seu valor mas fica constante Podemos usar como coordenada comóvel: = sin Substituindo na métrica r= R(t) e Ҝ=k/R 2 (t) MÉTRICA DE ROBERTSON WALKER (MRB) (1934) adimens.

8 MRW : ds 2 = distância entre dois eventos num E-T 4D definidos pelas coordenadas de tempo e espaço Ao longo da linha de mundo de um observador comóvel (em repouso em relação a um dado ref. inercial) ds 2 espacial =0 ds 2 =c 2 dt 2 -ds 2 espacial d ds/c d =dt Pode-se demonstrar que se (,, ) = constante é uma geodésica no E-T (todos os observadores comóveis estão em queda livre) Se (,, ) = constante d =d = d =0 ds 2 espacial =0 d =dt

9 Demonstração: Pelo princípio da equivalência: gravitação é considerada como um aspecto intrínseco do E-T Campo gravitacional é uma manifestação da curvatura do E-T: g oo determina propriedades geométricas do E-T (ex. K) Cada galáxia segue, além da expansão, um caminho natural descrito pela geometria do E-T movimentos de algumas galáxias são observados em direções diferentes da direção dada pelo movimento de recessão devido à expansão Postulado da TRG: corpos livres movem-se ao longo de geodésicas no E-T curvo Se (,, ) = constante é uma geodésica referencial comóvel observador em queda livre

10 Sistema de coordenadas comóveis: está em repouso em relação à matéria no universo DEFINIÇÕES DE DISTÂNCIAS E VELOCIDADES PRÓPRIAS em termos da MRW Seja: nossa galáxia coordenadas (,, )=(0,0,0) galáxia arbitrária coordenadas (,0,0) definição de D própria dD P =cdt (no E-T ds 2 =0) dD 2 P

11 Sendo e fixos: D P depende de R que depende do t Analisando: 1.k=0 : D P = R(t) pode crescer sem limite com D P Espaço plano ( =a/R(t), D P =a) universo não-ligado

12 2.k=+1: D P = R(t) arcsin =sin(D P /R(t)) DPDP /2 R valor máximo de : D P = /2 R Viajando a uma distância DP= R através de um espaço curvo 3D voltamos ao ponto de partida!!! Universo com k>0 : ligado e fechado

13 3.k=-1: D P = R(t) arcsinh =sinh(D P /R(t)) sinhx=(e x -e -x )/2 DPDP pode crescer indefinidamente com D P k=-1: universo não-ligado e aberto

14 Velocidade própria entre duas galáxias: Se Então: Onde: é o parâmetro de Hubble V P =H(t)D P é uma equação semelhante à de Hubble, não Estritamente igual pois envolvem D P e V P que não podem Ser medidas diretamente

15 EQUAÇÕES DE FRIEDMANN Obtidas a partir das equações de Einstein da TRG, usando a MRW: G ij = tensor de Einstein : descreve a geometria do universo T ij = tensor energia-momentum: descreve a distribuição de matéria e energia Distribuição de matéria+energia provoca uma curvatura no E-T que é descrita pelas equações de Einstein

16 Vimos que: campo gravitacional é uma manifestação da curvatura do E-T: Generalização desta equação para a TRG: A TRE diz que toda a forma de energia possui massa (E=mc 2 ) = matéria + energia a generalização de nos leva a Tij = distribuição de matéria e energia generalização de para uma métrica pseudo-riemanniana arbitrária leva ao chamado tensor de Einstein G ij que depende de g ij e suas derivadas 1 a e 2 a

17 Em cosmologia Tij vai depender de 2 funções: pressão p(t) e densidade (t), onde p(t) é a pressão exercida num fluído cosmológico devido à radiação + movimento peculiar das galáxias pressão dinâmica Então chega-se a duas equações fundamentais que descrevem a dinâmica do universo: constante cosmológica

18 introduzida por Einstein para obter soluções para um universo em equilíbrio Soluções estáticas (R=cte) Combinando as duas equações: Equação do movimento que vai definir a expansão ou contração do universo Estas equações nos dão: k (geometria) e R(escalas de distância) do universo, conhecendo-se e p. Obtemos a equação da evolução do universo R(t) t para uma dada geometria

19 Notinha: se =0 e p=0 = cosmologia newtoniana para cte =0 No entanto R(t) tem outra interpretação... Vê-se que não existem soluções estáticas para =0,isto é, R=cte... por isso Einsten introduziu


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