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Análise de Padrões Gradientes de Deformações Topológicas em Variedades Dinâmicas Cristiane P. Camilo *, Reinaldo R. Rosa *, Nandamudi Vijaykumar *, Fernando.

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1 Análise de Padrões Gradientes de Deformações Topológicas em Variedades Dinâmicas Cristiane P. Camilo *, Reinaldo R. Rosa *, Nandamudi Vijaykumar *, Fernando M. Ramos * e Marcelo Rebouças ** * Núcleo para Simulação e Análise de Sistemas Complexos (NUSASC) Laboratório Associado de Computação e Matemática Aplicada (LAC) Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) São José dos Campos – SP ** Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (CBPF) Rio de Janeiro – RJ

2 Objetivo: Caracterização da resposta local devido à deformação topológica em variedades dinâmicas extensas. Neste trabalho nós apresentamos uma variedade dinâmica 2D baseada em uma função escalar Laplaciana em uma superfície triangular. Essa superfície é dividida em duas classes de regiões: (a)onde uma deformação local máxima ocorre e (b)onde o efeito desta deformação alcança. A aplicação da análise de padrões gradientes nestas regiões para uma oscilação com dois modos em uma superfície Laplaciana, mostra que a deformação topológica é detectável por meio da caracterização da quebra de simetria local da variedade. Nós discutimos e apresentamos também a detectabilidade da deformação em variedade não trivial e sua aplicação para caracterização das deformações devido à torções no campo gravitacional. 1

3 O que são problemas de variedades dinâmicas com deformações topológicas? São problemas de contorno livre para um: { (t): 0 t

4 Exemplos: Figura 1 – Exemplos de variedades dinâmicas e suas possíveis deformações. ( *,t) 3

5 A pergunta fundamental: Para uma dada deformação global em uma variedade, como podemos caracterizá-la (detectá-la) a partir de uma região distante da máxima deformação? Um estudo sobre essa caracterização é feito através da análise dos padrões gradientes gerados localmente. A figura a seguir mostra dois exemplos de deformação oscilatória de uma superfície Laplaciana 4

6 Figura 2. Exemplo de deformação oscilatória de uma superfície Laplaciana (a) com 1 modo de amplitude e (b) com 2 modos de amplitude. (a) (b) deformação local deformação global Conceito de modo de amplitude: Identifica os níveis de amplitude, considerando a quantidade de máximos e mínimos da estrutura 5

7 Dada uma matriz M temos as seguintes operações: 1. M 2. A M 3. T d [ ] L Pontos I Linhas As possíveis deformações são computadas através do parâmetro de fragmentação assimétrica, dado pela seguinte equação (2) : g 3 = onde g 3 é o terceiro momento gradiente extraído da matriz M * Análise de Padrões Gradientes: (2) R. R. Rosa, A. S. Sharma, J. A. Valdivia, Physica A 257:509 (1998) R. R. Rosa, A. S. Sharma, J. A. Valdivia, Int. J. Mod. Phys. C 10(1):147 (1999) (3) * todo M pode ser representado por 3 momentos gradientes, na forma: M= g 1 e ig2 g 3 6

8 Aplicação em Variedades Protótipos: Vibração oscilatória com dois modos: Figura 3. Vibração oscilatória com 2 modos de amplitude em tripleto. Figura 4. Exemplos de sítios de operação. Membrana com 6 exemplos de sítios de operação local: 7

9 Estudo da variabilidade do terceiro momento gradiente: Figura 5. Valores de g 3 para cada sítio de operação - azul: membrana com mínima deformação, vermelho: membrana com máxima deformação. 8

10 Dinâmica de campo gravitacional sobre topologia Garrafa de Klein. Modelo 2-D - Farrar - Melott (3) Figura 6 – Figuras (a) e (b), exemplos de padrões que surgem através de torções no campo gravitacional. (3) Farrar K. A.; Melott, A. Computers in Physics, 4:185 (1990) 9

11 Teste de sensibilidade do terceiro momento gradiente (g 3 ): (a)(b)(c) Figura 7 – Figura (a) imagem sem deformação = 0, (b) imagem com mínima deformação e parâmetro de deformação = 0,2 e (c) imagem com máxima deformação e = 1. Para o teste de sensibilidade, calculamos g 3 nas 5 sub-matrizes em cada uma das imagens (100x100) acima (sítios de operação), com as seguintes dimensões: 25x25, 20x20, 15x15, 10x10 e 5x5, localizados nas extremidades de cada, os resultados são mostrados a seguir: 10

12 (a) Sub-matriz 25x25(b) Sub-matriz 20x20(c) Sub-matriz 15x15Resultados: (d) Sub-matriz 10x10(e) Sub-matriz 5x5 Figura 8 – Resultados do teste de sensibilidade. 11

13 Conclusão: A partir dos estudos realizados, verificamos que o momento gradiente g 3 é localmente sensível à deformação global (mínima e máxima, figura 5). Notamos que as deformações locais não são homogêneas, pois dependem da sua localização com relação ao tipo de deformação global, e sensível a deformação de estruturas localizadas, como podemos observar na seqüência de resultados da figura 8, principalmente para as sub-variedades 25x25, 20x20 e 15x15. Para as escalas inferiores, o momento gradiente é sensível à deformação, mas não aos padrões de amplitude. Portanto, sua aplicação em padrões topológicos gerados por modelos gravitacionais, restringe-se a raios de aspecto até 10% da escala global. 12


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