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Variáveis Aleatórias Uma variável aleatória associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório. Mais precisamente…

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1 Variáveis Aleatórias Uma variável aleatória associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório. Mais precisamente…

2 Variáveis Aleatórias Uma variável aleatória é uma função X: R que associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório.

3 Exemplos de variáveis aleatórias Moeda honesta lançada 3 vezes = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições Quando se observa cck: X = 2 Y = 1

4 Exemplos de variáveis aleatórias Moeda honesta lançada 3 vezes = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições x0123 P(X=x)

5 Exemplos de variáveis aleatórias Moeda honesta lançada 3 vezes = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições x0123 P(X=x)1/83/8 1/8 função de massa de probabilidade (fmp) de X

6 Exemplos de variáveis aleatórias Moeda honesta lançada 3 vezes = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições y012 P(Y=y)

7 Exemplos de variáveis aleatórias Moeda honesta lançada 3 vezes = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições y012 P(Y=y)1/42/41/4

8 Função de Distribuição Acumulada A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X é a função F X : R R definida por F X (x) = P(X x)

9 Função de Distribuição Acumulada Exemplo: x0123 P(X=x)1/83/8 1/ /2 7/8 1 Se x < 0: P(Xx) = 0 Se 0 x <1: P(Xx) = P(X=0) = 1/8 Se 1 x <2: P(Xx) = P(X=0 ou X=1) = 1/8 + 3/8 = 1/2

10 Função de Distribuição Acumulada Roleta numerada continuamente de 0 a 10 X = prêmio ganho 0, se x < 0 P(X x) = x/10, se 0 x 10 1, se x >

11 Função de Distribuição Acumulada Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta numerada continuamente de 0 a 10 X = prêmio ganho

12 Função de Distribuição Acumulada Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta numerada continuamente de 0 a 10 X = prêmio ganho 0, se x < 0 P(X x) = ½ + ½ x/10, se 0 x 10 1, se x >

13 Tipos de Variáveis Aleatórias Discretas F X (x) = x i x P(X = x i ) (Absolutamente) Contínuas F X (x) = x i x f X (x) dx (onde f X (x) é a densidade de probabilidade de X) Mistas F X (x) = x i x P(X = x i ) + x i x f X (x) dx (Há outras, mais patológicas …)

14 Exemplo 10 1 P(X = 0) = ½ 0, se x < 0 f X (x) =1/20, se 0 x 10 0, se x > 10

15 Função de Distribuição Acumulada A f.d.a. caracteriza completamente a distribuição de qualquer v.a. (ou seja, conhecendo a f.d.a. podemos obter a probabilidade de qualquer evento envolvendo a v.a.) P(X = 2) = P(X = 3) = P(X < 3) = P(1 X 3) =

16 Variáveis Aleatórias Contínuas F(x) = - x f(t) dt f 0 é a densidade de X P(a < X < b) = a b f(t) dt - + f(t) dt = 1 f(x) = F (x) P(x– / 2 < X < x+ / 2 ) f(x) x

17 Exemplo Seja X a abscissa de um ponto escolhido ao acaso no triângulo da figura. Qual é a densidade de X? 1 1

18 Solução 1 1 x

19 Outra solução 1 1 x

20 Principais Distribuições Discretas Bernoulli Binomial Geométrica Hipergeométrica Poisson

21 Principais Distribuições Contínuas Uniforme Exponencial Gama Normal (e associadas: 2, t, F)

22 Bernoulli Espaço amostral binário (sucesso-fracasso, sim-não, 1-0) 1, com probabilidade p X = 0, com probabilidade 1–p Notação: X be(p)

23 Binomial Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso X = número de sucessos

24 Binomial Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso X = número de sucessos Cada uma das seqüências com k sucessos e n–k fracassos tem probabilidade p k (1–p) n-k.

25 Binomial Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso X = número de sucessos Cada uma das seqüências com k sucessos e n–k fracassos tem probabilidade p k (1–p) n-k. Logo: Notação: X B(n, p)

26 Distribuição de Poisson Em média, um site de internet tem = 0,5 acessos por segundo. Qual é o modelo apropriado para a distribuição do número de acessos efetuados em um minuto?

27 Distribuição de Poisson Discretizar 1 segundo em n intervalos de duração 1/n Como o número de usuários é grande, é razoável considerar a existência de acessos neste intervalos como eventos independentes, cada um com probabilidade p. Para que o número médio de acessos por minuto seja igual a, deve-se ter np =

28 Distribuição de Poisson

29 Caso limite da distribuição binomial, quando n e np se mantém constante –Acessos a sites –Chegadas de consumidores a um banco –Número de erros tipográficos em um texto –Número de partículas radioativas emitidas

30 Exemplo No caso da página de internet, qual é a probabilidade de que haja pelo menos um acesso em um dado segundo?

31 Exemplo No caso da página de internet, qual é a probabilidade de que haja pelo menos um acesso em um dado segundo? P(X>0) = 1- P(X=0) = 1-e -0.5 = 0,395

32 Exemplo Qual é a distribuição do número de acessos em um minuto?

33 Exemplo Qual é a distribuição do número de acessos em um minuto? Poisson (30) Em geral, o número de acessos em um intervalo de duração t tem distribuição Poisson ( t)

34 Distribuição Uniforme a b 1/(b-a) a b 1 fXfX FXFX

35 Distribuição Exponencial De volta ao exemplo do site na Internet. Qual é a distribuição do tempo de espera X até a ocorrência do primeiro acesso?

36 Distribuição Exponencial De volta ao exemplo do site na Internet. Qual é a distribuição do tempo de espera X até a ocorrência do primeiro acesso? X > t se e só se o número de acessos em [0, t] é igual a 0 Logo, P(X>t) = P(N = 0), onde N~Poisson( t) Portanto, P(X>t) = e - t

37 Distribuição Exponencial X tem distribuição exponencial com parâmetro quando F X (x) = 1–e – x, para x >0 Ou seja, f X (x) = e – x, para x > 0

38 Exemplo O tempo de vida, em meses, de um componente tem distribuição exponencial de parâmetro = 0,5. a)Qual é a probabilidade de que um componente novo dure pelo menos 2 meses? b)Dado que um componente usado já tem 1 mês de vida, qual é a probabilidade de que ele dure pelo menos mais dois meses?

39 Processo de Poisson Tempo entre chegadas consecutivas independentes, com distribuição exponencial ( ) Número de chegadas em intervalos disjuntos independentes e com distribuição Poisson ( t), onde t é o comprimento do intervalo

40 Exemplo Os acidentes em uma rodovia ocorrem de acordo com um Processo de Poisson de taxa 2 acidentes por dia –Número médio de acidentes por semana? –Número médio de dias sem acidentes por semana? –Intervalo médio entre acidentes? –Probabilidade de que haja 2 acidentes na 2 a e 1 na 3 a ? –Probabilidade de que o primeiro acidente em um certo dia só ocorra depois das 12 horas?


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