Intervalos de confiança Sejam X 1, X 2, …, X n i.i.d. com distribuição F. Um intervalo de confiança de nível 1– para é um par de estatísticas [T 1 (X),

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1 Intervalos de confiança Sejam X 1, X 2, …, X n i.i.d. com distribuição F. Um intervalo de confiança de nível 1– para é um par de estatísticas [T 1 (X), T 2 (X)] tais que P( [T 1 (X), T 2 (X)] ) 1– para todo.

2 Observações A probabilidade da definição se refere a T 1 e T 2 e não a. O ideal é obter intervalos de confiança em que a probabilidade indicada é sempre igual a 1–. Intervalos de confiança são normalmente reportados através dos valores observados de T 1 e T 2.

3 Como obter um I.C.? Método da quantidade pivotal Obter uma função S(x, ) (quantidade pivotal) cuja distribuição independa de. Escolher dois números a e b tais que P(a S(x, ) b) = 1 – Resolver a inequação obtida em termos de.

4 Exemplo X 1, X 2,..., X n i.i.d. U[0,

5 Intervalos de confiança para distribuição normal X 1, X 2,..., X n i.i.d. N(, 2 ) Quatro casos: I.C. para, com 2 conhecido I.C. para 2, com conhecido I.C. para, com 2 desconhecido I.C. para 2, com desconhecido

6 I.C. para, com 2 conhecido Aplicável quando –a distribuição é normal e 2 é de fato conhecido, ou –a distribuição é normal e a amostra é grande, de modo que se possa estimar 2 com razoável precisão –a distribuição não é normal, mas a amostra é grande e deseja-se um I.C. aproximado para a média da distribuição, usando o T.C.L.

7 I.C. para, com 2 conhecido I.C. central I.C. unilaterais z

8 Exemplo n = 25, X = 60, = 10, = 0,1

9 Exemplo Em uma pesquisa de opinião com 400 pessoas, 190 foram favoráveis a uma certa proposta. Obtenha um I.C. de nível 95% para a fração de pessoas favoráveis na população.

10 I.C. para, com conhecido I.C. central I.C. unilaterais x 2 n ( )

11 A distribuição 2 Sejam X 1, …, X n i.i.d. N(0,1). A distribuição de X 1 2 +… + X n 2 é chamada de distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade.

12 Exemplo n = 20, = 60, X i - 2 = 90.000, = 0,1

13 I.C. com e 2 desconhecidos Teorema Fundamental Sejam X 1, …, X n i.i.d. N(0,1). (X i – X) 2 e X são independentes (X i – X) 2 tem distribuição 2 n-1 tem distribuição t n-1

14 A distribuição t de Student Sejam X e Y variáveis independentes, X com distribuição N(0,1) e Y com distribuição 2 n. A distribuição de é chamada de distribuição t de Student com n graus de liberdade.

15 Observação No caso de X 1, …, X n i.i.d. N(, 2 ). (X i – X) 2 e X são independentes (X i – X) 2 / 2 tem distribuição 2 n-1 tem distribuição t n-1

16 I.C. para, com 2 desconhecido I.C. central I.C. unilaterais

17 I.C. para, com desconhecido I.C. central I.C. unilaterais

18 Exemplo Obter I.C. de nível 95% para e 2 para o caso em que n = 16, X i = 960 e X i 2 = 70.000