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Inferências para uma amostra Até agora: ICs e testes de hipótese para uma amostra X 1, X 2, …, X n i.i.d. N(0,1) Baseados no fato de que, sob a hipótese.

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1 Inferências para uma amostra Até agora: ICs e testes de hipótese para uma amostra X 1, X 2, …, X n i.i.d. N(0,1) Baseados no fato de que, sob a hipótese nula ( = 0 ou 2 = 0 2 ), determinadas estatísticas têm distribuições conhecidas. Para testar a hipótese nula, basta comparar o valor dessas estatísticas com os pontos críticos apropriados de suas distribuições.

2 Inferências para uma amostra Estatísticas de Teste: (sob a hipótese nula)

3 Inferências para duas amostras X 1, …, X m i.i.d N( 1, 1 2 ) Y 1, …, Y n i.i.d N( 2, 2 2 ) com X i e Y j independentes, para todo i e j (observações não pareadas) Também pode ser considerado o caso em que as observações são pareadas.

4 Testes e ICs para as médias Baseados nas estatísticas (variâncias conhecidas ou grandes amostras) (variâncias desconhecidas, mas iguais) No caso geral, é necessário recorrer a um teste aproximado.

5 Testes e ICs para variância H o : 1 2 = 2 2 vs H 1 : Estatística do teste:

6 A distribuição F Sejam U e V v.a. independentes, com distribuição m 2 e n 2, respectivamente. A distribuição de é chamada de distribuição F com (m, n) graus de liberdade.

7 Exemplo

8 Inferência para m amostras Análise da Variância (ANOVA) com um único fator m grupos de observações X i1, X i2, …, X i n i i.i.d. N( i, i 2 ), i = 1,.., I todas as observações independentes entre si. em geral, a análise é feita supondo que as variâncias de todos os grupos são iguais.

9 Teste para a igualdade das médias H 0 : = 2 = …= I H 1 : nem todas as médias são iguais Estatísticas de interesse:

10 Teste para a igualdade das médias Teorema SQT = SQTr + SQE Sob a hipótese nula, SQTr e SQE são independentes, com distribuições 2 I–1 e 2 N–I, respectivamente, onde N = n 1 +…+n I é o número total de observações. Logo, QME = SQE/(N–I) é um estimador não viciado da variância 2.

11 Tabela ANOVA Fonte de Variação Graus de liberdade Soma dos Quadrados Média dos Quadrados F Tratamentos (Entre) I–1SQTrQMtrQMTr/QME Erros (Intra) N–ISQEQME TotalN–1SQT

12 Exemplo

13 Regressão Linear Simples Modelo: Y i = x i + i, i = 1, …, n, onde 1, 2, …, n i.i.d. N(0, 2 ) Problemas –Estimação pontual e intervalar de 0 e 1 –Testes de hipótese (o mais importante: teste de relevância do modelo). –Predição

14 Estimação Pontual A estimação de máxima verossimilhança de 0 e 1 resulta da minimização de (Y i – 0 – 1 x i ) 2 Os estimadores acima são os ENVUMV de 0 e 1 O ENVUMV de 2 é:

15 Exemplo XiXi YiYi

16 Relevância do Modelo Teste de utilidade do modelo H 0 : 1 = 0 vs. H 1 : 1 0 Pode-se empregar um teste relativo à distribuição de 1 (teste t) ou um teste ANOVA (generalizável para regressão múltipla) Estatísticas relevantes

17 Teste de Relevância do Modelo Teorema SQT = SQR + SQE Sob a hipótese nula, SQR e SQE são independentes, com distribuições 2 1 e 2 n–2, respectivamente. Logo A razão R 2 = SQR/SQT é chamado de coeficiente de determinação.

18 Tabela ANOVA Fonte de Variação Graus de liberdade Soma dos Quadrados Média dos Quadrados F Regressão1SQRQMRQMR/S 2 Errosn–2SQES2S2 Totaln–1SQT

19 Inferências relativas aos coeficientes Baseadas nas estatísticas abaixo:

20 Intervalos de Predição Para predizer o valor de Y quando x = x* Baseados em


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