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Interpolação-Parte II Estudo do Erro 1.Estudo do Erro na Interpolação 2.Interpolação Inversa 3.Grau do Polinômio Interpolador 4.Função Spline em Interpolação.

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1 Interpolação-Parte II Estudo do Erro 1.Estudo do Erro na Interpolação 2.Interpolação Inversa 3.Grau do Polinômio Interpolador 4.Função Spline em Interpolação 4.1 Spline Linear 4.2 Spline Cúbica

2 1.Estudo do Erro na Interpolação O erro em aproximar a função f(x) por um polinômio interpolador p n (x), de grau menor ou igual a n, é: E n (x)=f(x)-p n (x) para todo x de [x 0,x n ]. Estudar o erro na interpolação significa saber o quão próximo f(x) está de p n (x).

3 1.Estudo do Erro na Interpolação Interpolação linear de f 1 (x) e f 2 (x) x f(x)f(x) x0x0 x1x1 f 1 (x 0 )= f 2 (x 0 )=p 1 (x 0 ) f 1 (x) p1(x)p1(x) f 2 (x) f 1 (x 1 )= f 2 (x 1 )=p 1 (x 1 )

4 1.Estudo do Erro na Interpolação Interpolação linear de f 1 (x) e f 2 (x) por p 1 (x). O mesmo polinômio p 1 (x) interpola f 1 (x) e f 2 (x) em x 0 e x 1. O erro E 1 1 (x)=f 1 (x)-p 1 (x) > E 1 2 (x)= f 2 (x)- p 1 (x) para todo x de (x 0, x 1 ). O erro depende da concavidade da curva, ou seja, de f 1 (x) e f 2 (x).

5 1.Estudo do Erro na Interpolação Teorema 1: Sejam pontos. Seja f(x) com derivadas até ordem (n+1) para todo x em [x 0,x n ]. Seja p n (x) o polinômio interpolador de f(x) nos pontos x 0, x 1, x 2,...,x n. Então, em qualquer ponto do intervalo [x 0,x n ] o erro é dado por E n (x)=f(x)-p n (x)= (x-x 0 )(x-x 1 )...(x-x n ) onde.

6 1.Estudo do Erro na Interpolação Demonstração:Teorema 1 oNote que x=x i para i=1,2,..,n, segue que G(x)= (x-x 0 )(x-x 1 )...(x-x n )=0 E n (x)=0, logo a fórmula do erro está correta para x=x i. oDefinindo a função H(t)= E n (x)G(t)- E n (t)G(x), com. Então, H(t) tem n+1 derivadas e pelo menos n+2 zeros. Note que x 0,x 1,..,x n e x são zeros de H(t). oAplicando o Teorema de Rolle sucessivamente, n+1 vezes, demonstra-se o teorema.

7 1.Estudo do Erro na Interpolação Teorema 2: Sejam pontos. Seja p n (x) o polinômio interpolador de f(x) nos pontos x 0, x 1, x 2,...,x n. Da forma de Newton E n (x)=f(x)-p n (x)= (x-x 0 )(x-x 1 )...(x-x n ) f[x 0, x 1, x 2,...,x n,x]. Portanto, com. Demonstração imediata.

8 1.Estudo do Erro na Interpolação Corolário1: Estimativa do Erro. Sob as hipóteses dos teoremas 1 e 2, temos que onde

9 1.Estudo do Erro na Interpolação Corolário2: Estimativa do Erro. Sob as hipóteses dos teoremas 1 e 2, temos que onde

10 Estimativa para o erro Seja dada na tabela: a) Obter f (0.47) usando um polinômio de grau 2. b) Encontrar uma estimativa para o erro. x f(x)

11 Tabela de diferenças x Ordem 0Ordem 1Ordem 2Ordem x 0 = x 1 = x 2 =

12 Estimativa para o erro Escolhendo a) b)

13 2. Interpolação inversa Seja dada na tabela: Obter x tal que f( x)= e encontrar uma estimativa para o erro. Este é o problema da interpolação inversa. x f(x)

14 2. Interpolação inversa Solução versão 1: Obtenha p n ( x) que interpola f( x)= e determine x. Problema: não temos como estimar o erro cometido!!!!!!! Solução versão 2: Se f( x) for monotonicamente crescente ou decrescente no intervalo considerado, então ela pode ser invertida. Então faça a interpolação da função inversa e calcule o erro.

15 Tabela de diferenças divididas - Versão 2 y Ordem 0Ordem 1Ordem 2Ordem y 0 = y 1 = y 2 =

16 Estimativa para o erro Escolhendo a) b)

17 3.1 Grau do polinômio interpolador Para a escolha do grau do polinômio interpolador: 1) Construir a tabela de diferenças divididas; 2) Examinar as diferenças na vizinhança do ponto de interesse; Se as diferenças de ordem k forem praticamente constante, ou se as diferenças de ordem k+1 variarem em torno de zero, o polinômio de grau k será o que melhor aproximará a função na região considerada.

18 3.1 Grau do polinômio interpolador Seja com os valores da tabela: Um polinômio de grau 1 é uma boa aproximação para x f(x)

19 3.1 Grau do polinômio interpolador x Ordem 0Ordem 1Ordem

20 3.2 Fenômeno de Runge Questão: A seqüência {p n (x)} converge para f(x) no intervalo [a,b] se {x 0,x 1,...,x n } pertencem a {a,b] e n tende ao infinito? Interpolando a função no intervalo [-1,1] com

21 3.2 Fenômeno de Runge Interpolação linear de f 1 (x) e f 2 (x) com n=10 x 1 f(x) P 10 (x)

22 4. Função Spline em Interpolação Fenômeno de Runge é superado pela função Spline. Definição: Seja tabelada para. A função é denominada spline de grau se: a) Em cada subintervalo, para, é um polinômio de grau. b) é contínua e tem derivadas contínuas até ordem em. c).

23 4.1 Função Spline Linear A função spline linear interpolante de f(x), ou seja S 1 (x) nos nós x 1,x 2,...,x n, pode ser escrita em cada subintervalo como Note que S 1 (x) é polinômio de grau 1 no intervalo. s 1 (x) é contínua em todo intervalo Nos pontos nós. Logo, S 1 (x) é a spline linear interpolante de f(x).

24 4.1 Função Spline Linear Achar a função spline linear que interpola f(x) Da definição: Analogamente:

25 4.1 Função Spline Linear Graficamente x f(x)f(x) 1 7 s3(x)s3(x) 52 s2(x)s2(x) s1(x)s1(x) f(x)f(x)

26 4.2 Função Spline Quadrática As spline quadráticas tem derivadas contínuas até ordem 1 e portanto a curvatura de S 2 (x) não é suave nos nós. Seja a função Note que a função e sua derivada primeira são contínuas em x=1. Contudo, sua derivada segunda, em x=1, não é contínua.

27 4.2 Função Spline Quadrática Graficamente

28 4.2 Função Spline Quadrática Graficamente, vemos a descontinuidade da derivada segunda (curvatura). Considere agora a situação em que f(x) e sua derivada primeira são contínuas em x=1, contudo ocorre mudança de sinal da derivada segunda em x=1 Esta é situação que ocorre no ajuste de spline quadrática.

29 4.2 Função Spline Quadrática Graficamente

30 4.2 Função Spline Cúbica As splines cúbicas são as mais usadas. Uma spline cúbica S 3 (x) é uma função polinomial por partes, contínua, onde cada parte s k (x) é um polinômio de grau 3 nos intervalos [x k-1,x k ]. S 3 (x) tem derivadas primeira e segunda contínuas, logo não tem bicos e não troca abruptamente a curvatura nos nós.

31 4.2 Função Spline Cúbica - Construção A função spline cúbica interpolante de f(x), ou seja S 3 (x), nos nós x 1,x 2,...,x n, pode ser escrita em cada subintervalo como polinômios de grau 3. Denotada por s k (x) para k=1,2,...,n, deve satisfazer:

32 4.2 Função Spline Cúbica - Construção Sejam as parte da spline cúbica dadas por O Cálculo de envolve a determinação de 4n coeficientes: Condições 1: satisfeitas por construção. Condições 2: (n+1) condições nos nós. Condições 3: (n-1) condições de continuidade de S 3 nos nós. Condições 4: (n-1) condições de continuidade de S 3 nos nós. Condições 5: (n-1) condições de continuidade de S 3 nos nós. Total de 4n-2 condições. Restam duas condições em aberto!!!

33 4.2 Função Spline Cúbica - Construção Notação: Impondo as condições:

34 4.2 Função Spline Cúbica - Construção Resta impor mais duas condições. Alternativas 1: Chamada spline natural Alternativa 2: Chamada spline parabólica. Alternativa 3: Impor inclinações nos extremos. Geralmente quando temos informações físicas do problema

35 4.2 Função Spline Cúbica - Exemplo Achar a spline cúbica natural que interpola f(0.25) dada Temos 4 subintervalos iguais. Dadas resolvendo o sistema linear para x f(x)

36 4.2 Função Spline Cúbica - Exemplo Substituindo os valores de resolvemos o sistema linear obtendo: Calculamos Como queremos f(0.25) fazemos

37 5. EXERCÍCIOS Faça os seguintes exercícios do capítulo 5 do livro texto. Exercícios: 9,10 e projeto 2 página 266.


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