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Interpolação 1.Introdução 2.Conceito de Interpolação 3.Interpolação Polinomial 4.Formas de obter p n (x) 4.1 Resolução de sistema linear 4.2 Forma de Lagrange.

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1 Interpolação 1.Introdução 2.Conceito de Interpolação 3.Interpolação Polinomial 4.Formas de obter p n (x) 4.1 Resolução de sistema linear 4.2 Forma de Lagrange 4.3 Forma de Newton

2 Introdução A tabela abaixo relaciona calor específico da água e temperatura: Temperatura (°C) Calor específico Temperatura (°C) Calor específico

3 1. Introdução Vamos supor que desejamos saber: a) o calor específico da água a 32.5°; b) a temperatura para a qual o calor específico é Interpolação

4 Introdução Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma função g(x), escolhida dentro de uma classe de funções definida a priori e que satisfaça algumas propriedades. A função g(x) é então usada no lugar da função f(x).

5 Introdução Situações de interpolação. a)Quando temos os valores numéricos de uma função não conhecida para um conjunto de pontos e queremos o valor desta num ponto não tabelado. b)Quando uma função conhecida em estudo tem uma expressão tal que operações como diferenciação e integração são difíceis (ou impossíveis).

6 2. Conceito de Interpolação Sejam (n+1) pontos distintos:x 0, x 1,..., x n, chamados nós da interpolação, e os valores de f(x): f(x 0 ), f(x 1 ),..., f(x n ). A interpolação de f(x) que veremos consiste em obter uma função g(x) tal que: g(x 0 ) = f(x 0 ), g(x 1 ) = f(x 1 ), g(x n ) = f(x n ).

7 2. Conceito de Interpolação Graficamente x f(x)f(x) x0x0 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 (x 0,f(x 0 )) (x 1,f(x 1 )) (x 2,f(x 2 )) (x 3,f(x 3 )) (x 4,f(x 4 )) (x 5,f(x 5 )) f(x)f(x) g(x)g(x)

8 2. Conceito de Interpolação Consideraremos aqui que g(x) é uma função polinomial. Contudo, a função g(x) escolhida pode ser: racional, trigonométrica, etc. Existem outras formas de interpolação, por exemplo via fórmula de Taylor, via polinômios de Hermite, etc.

9 3. Interpolação Polinomial Dados os pontos: (x 0, f(x 0 )), (x 1, f(x 1 )),..., (x n, f(x n )), queremos aproximar f(x) por um polinômio p n (x), de grau menor ou igual a n, tal que f(x k ) = p n (x k ), k=0,1,2,..., n

10 3. Interpolação Polinomial Teorema: Existe um único polinômio p n (x), de grau menor ou igual a n, tal que f (x k ) = p n (x k ), k=0,1,2,..., n desde que

11 3. Interpolação Polinomial Demonstração do Teorema: Seja. Das condições de interpolação:

12 3. Interpolação Polinomial Demonstração do Teorema: A matriz dos coeficientes é do tipo Vandermonde, logo desde que sejam pontos distintos, então o determinante da matriz dos coeficientes é não-nulo. Consequentemente o sistema admite solução única. Conclusão: Existem únicos que satisfazem as condições de interpolação.

13 4. Formas de obter p n (x) Há várias maneiras para obter p n (x). Discutiremos três possibilidades: Resolução de Sistema Linear Forma de Lagrange Forma de Newton

14 4. Formas de obter p n (x) 1.Resolução de Sistema Linear Exemplo 1: Encontrar o polinômio de grau menor ou igual a 2 que interpola os dados da tabela abaixo: Temos então: x02 f(x)f(x)41

15 4.1 Resolução de Sistema Linear Polinômio: Resolvendo o sistema linear, obtemos polinômio que interpola f(x) em x 0, x 1 e x 2

16 4.1 Resolução de Sistema Linear Nem sempre a resolução do sistema linear para se obter p n (x) é simples e exato. Exemplo 2: Encontrar o polinômio de grau menor ou igual a 3 que interpola os dados da tabela abaixo: x f(x)f(x)

17 4.1 Resolução de Sistema Linear Polinômio: Sistema de 4 equações com 4 incógnitas

18 4.1 Resolução de Sistema Linear Resolvendo por eliminação de Gauss, com uma aritmética de ponto flutuante com três dígitos: Lembrete de aritmética de ponto fixo: é a base; e é o expoente; e t é o número de dígitos na mantissa.

19 4.1 Resolução de Sistema Linear Obter p 3 (x) usando aritmética de ponto flutuante com três dígitos e eliminação de Gauss: Para x=0.4

20 4.1 Resolução de Sistema Linear Resolvendo por Eliminação de Gauss com 18 dígitos, utilizando o programa do Maple: > with(LinearAlgebra): A := | | | >;

21 4.1 Resolução de Sistema Linear Continuando > b := ; > GaussianElimination(A); > ReducedRowEchelonForm( );

22 4.1 Resolução de Sistema Linear Note que no processo de eliminação de Gauss, a matriz escalonada tem números muito próximos de zero. Isto gera problemas de arredondamento!!!!

23 4.2 Forma de Lagrange Sejam (n+1) pontos distintos:x 0, x 1,..., x n, chamados nós da interpolação, e os valores de y i = f(x i ): f(x 0 ), f(x 1 ),..., f(x n ) para i=1,2,...,n. A interpolação de f(x) que veremos consiste em obter uma função p n (x) tal que: onde os polinômios são de grau n. IMPORTANTE: Como os y i são dados, devemos no Método de Lagrange determinar os.

24 4.2 Forma de Lagrange Queremos que as condições sejam satisfeitas, ou seja, Solução Note que e

25 4.2 Forma de Lagrange Logo, Enfim, a forma de Lagrange para o polinômio interpolador é: com

26 4.2 Forma de Lagrange - Exemplo Seja a tabela: Devemos interpolar os 3 pontos com uma forma de Lagrange. Segue: x02 f(x)f(x)41

27 4.2 Forma de Lagrange - Exemplo Enfim, a forma de Lagrange da interpolação: Mesmo resultado a resolução do sistema linear!!!

28 4.2 Forma de Newton A forma de Newton para o polinônio p n (x), que interpola f(x) em (n+1) pontos distintos x 0, x 1,..., x n, é a seguinte: No Método de Newton, os valores de são dados por diferenças divididas de ordem k.

29 4.2 Forma de Newton Operador Diferenças Divididas Seja f(x) definida em (n+1) pontos distintos x 0, x 1,..., x n. O operador diferenças divididas é dado:

30 4.2 Forma de Newton - Operador Diferenças Divididas Construímos a tabela: x Ordem 0Ordem 1Ordem 2Ordem n x0x0 x1x1 x2x xnxn

31 4.2 Forma de Newton 1.Mostra-se que é simétrica nos argumentos, ou seja, 2.Mostra-se que a forma de Newton para o polinômio de ordem n que interpola f(x) é

32 4.2 Forma de Newton - Exemplo Sejam os dados: Tabela x01 f(x)f(x) x Ordem 0Ordem 1Ordem 2Ordem 4 F[x0]=1 F[x0,x1]=0 0 1 F[x0,x1,x2]=-1/2 1/ /

33 4.2 Forma de Newton - Exemplo Dados: A forma de Newton que interpola estes pontos é dada por x01 f(x)f(x)

34 Exercícios Fazer os seguintes exercícios do capítulo 4 do livro texto: Exercício 2 a Faça o projeto proposto Método de Newton Discreto (página 206) e resolva novamente o exercício 2 a com este algoritmo.


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