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Erros - Aritmética de ponto flutuante - Erros. Os computadores representam números na forma de ponto flutuante. Na aritmética de ponto flutuante o número.

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1 Erros - Aritmética de ponto flutuante - Erros

2 Os computadores representam números na forma de ponto flutuante. Na aritmética de ponto flutuante o número é representado na forma: onde é a base; t é o número de dígitos na mantissa e é o chamado expoente no intervalo [l,u] Aritmética de ponto flutuante

3 Exemplo: Numa máquina que opera no sistema os números são representados na forma Nesta máquina, em módulo, o menor número, em módulo: maior número, em módulo:

4 Considere um número real tal que Então temos que: i) o número nesta máquina (que opera com três dígitos) será representado por, se for usado o truncamento e, se for usado o arredondamento. ii) (underflow). Exemplo: iii) (overflow). Exemplo:

5 Comentário: Precisão Dupla Note que em algumas linguagens de programação é possível declarar uma variável em dupla precisão. Neste caso, esta variável será representada no sistema de aritmética da máquina, aproximadamente, com o dobro de dígitos disponíveis na mantissa.

6 Exemplos: Considere xarredondamentotruncamento UnderflowExpoente< OverflowExpoente>+4

7 Erros Erro absoluto: diferença entre o valor exato de um número x e de seu valor aproximado : Erro relativo: erro absoluto dividido pelo valor aproximado Normalmente não temos o valor de x !!!!

8 Exemplos Sabendo-se que, então uma estimativa do erro absoluto é: Seja um número representado por tal que,isto é, e seja um número representado por tal que, isto é,

9 Note que os erros absolutos são iguais. Os erros relativos nos dois caso são: Portanto, o número x é representado com maior precisão. Portanto, apesar dos erros absolutos serem iguais, a precisão das medidas não o são!!!

10 1.4 - Erros de arredondamento e Truncamento Sabemos que a representação de um número depende da máquina utilizada, pois seu sistema definirá a base numérica adotada, o total de dígitos na mantissa etc... Vimos também que algumas linguagens de programação permitem dupla precisão.

11 Considere uma aritmética de ponto flutuante com t dígitos, na base 10. Seja o número x representado na forma: Por exemplo, se t=4 e x=234.57, então Aritmética de ponto flutuante

12 Note que não pode ser incorporado à mantissa!!!!!!!!! Existem dois procedimentos: Truncamento Arredondamento

13 Truncamento: é desprezado e Erro Absoluto: Erro Relativo: Menor valor que f x pode assumir

14 Arredondamento: é modificado para levar em consideração parte de. Arredondamento simétrico: Se somamos 1 no último dígito de Se desprezamos Erro Absoluto: Erro Relativo:

15 Propagação de Erros Dada uma seqüência de operações como dá-se a propagação de erros? O erro total é composto pelo erro dos fatores e pelo erro no resultado da operação.

16 Bibliografia: Ruggiero, Márcia A. Gomes e Lopes, Vera Lúcia da Rocha Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais 2 ed., São Paulo: Makron Books, 1996.


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