8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Parte 7A

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1 8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Parte 7A
8.1–INTRODUÇÃO – PVI’s 8.2–MÉTODOS DE PASSO SIMPLES 8.3–MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLO 8.4–MÉTODOS PREVISOR-CORRETOR 8.5–EDOs DE ORDEM SUPERIOR 8.6-PVC’s E O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS hoje

2 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.1. Introdução
Seja um PVC de segunda ordem dado por: onde são constantes reais conhecidas, tais que nem , nem , sejam nulas, simultaneamente.

3 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.1. Introdução
O PVC de segunda ordem dado, tem a forma mais geral possível. Quando os valores de um PVC são dados na fronteira, por exemplo: dizemos que temos um problema de Dirichlet. Quando os valores da derivada de um PVC são dados na fronteira, por exemplo: dizemos que temos um problema de Neumann. P.G. Dirichlet ( ) e K.G. Neumann ( )

4 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.1. Introdução
Para o PVC de segunda ordem onde , dizemos que o PVC é homogêneo e a solução trivial é solução.

5 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização
A idéia básica do Método de Diferenças Finitas transformar o PVC em um sistema de equaçõ-es algébricas, aproximando as derivadas por Diferenças Finitas. Considere o intervalo do PVC dado por Fazemos Fazendo uma partição Regular, sejam n subintervalos iguais de compri- mento

6 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização
Assim, Notação: Se for linear em o sistema algébrico a ser resolvido será linear e podemos utilizar o Método de Lagrange para resolvê-lo. Se for não-linear em o sistema algébrico a ser resolvido será não-linear e podemos utilizar o Método de Newton para resolvê-lo.

7 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização
As aproximações mais utilizadas para de- rivadas primeiras são: Diferença avançada Diferença atrasada Diferença centrada

8 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização
Graficamente: aproximação por diferença avançada Derivada aproximada Derivada correta

9 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização
Graficamente: aproximação por diferença atrasada Derivada correta Derivada aproximada

10 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização
Graficamente: aproximação por diferença centrada Derivada aproximada Derivada correta

11 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização
Note que cometemos um erro ao aproximar a derivada pelas fórmulas discretas apresen- tadas. O erro cometido, da fórmula de Taylor, é Assim:

12 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização
Definição: Dizemos que é , se existe uma constante Da definição, se , então a expressão de diferença avançada, para aproxi- mar são de ordem , pois

13 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização
Analogamente, da definição, se então a expressão de diferença atrasada, para aproximar é de ordem , pois

14 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização
Enfim, para diferença centrada temos que: Somando as aproximações

15 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização
De modo que, a aproximação por diferença cen- Trada é de ordem A fórmula de diferen- ças centradas é mais utilizada.

16 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização
Discretização de derivadas segundas. Novamen- te a partir da série de Taylor, expandindo até a terceira ordem Somando as aproximações:

17 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização

18 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear
Exemplo 1: PVC linear Dividindo o intervalo [0,1] em n subintervalos de comprimento h, segue que Como conhecemos resta calcular

19 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear
Utilizando diferenças centradas para a deriva-da primeira e a discretização deduzida para a derivada segunda, ou seja: e sendo ambas aproximações de segunda ordem, para cada i, a EDO discretizada fica

20 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear
Como reescrevemos a equação discreta A primeira equação (i=1), utilizando as condi- ções no contorno, escreve-se como: Analogamente, para (i=n-1), temos a equação

21 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear
Temos que resolver o seguinte sistema linear Temos um sistema de n-1 equações, tridiagonal, a resolver, vejamos matricialmente:

22 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear
Reescrevendo matricialmente o sistema linear onde

23 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear
Note que matrizes tridiagonais são esparsas e neste caso não é conveniente utilizar métodos diretos para resolvê-las, ou seja, Método de Gauss, LU, Cholesky, entre outros. Métodos diretos provocam o preenchimento da matriz, ou seja, durante o processo de eliminação, os erros de truncamento, geram não-nulos em posições onde antes, originalmente, tínhamos termos nulos. Em matrizes esparsas deve-se utilizar métodos iterativos tipo Gauss-Seidel, associados a técnicas especiais para o armazenamento da matriz, as quais tiram proveito de sua esparsidade.

24 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear
Resolvendo o sistema linear iterativamente por Gauss- Seidel, para , temos erros de ordem x Sol. Numer. Sol. Exata Erro 0.1000 0.0007 0.2000 -0.49 0.0011 0.3000 0.0013 0.4000 0.5000 0.0012 0.6000 0.0010 0.7000 0.0009 0.8000 0.0006 0.9000 0.0003

25 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear
Novamente por Gauss-Seidel, com , e erros de x Sol. Numer. Sol. Exata Erro 0.0500 0.0001 0.1000 0.0002 0.1500 0.2000 -0.49 0.0003 0.2500 0.3000 0.3500 0.4000 0.4500 0.5000 .... 0.8000 0.8500 0.9000 0.9500

26 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.4. PVC Não-Linear
Exemplo 2: PVC não-linear Dividindo o intervalo [0,1] em n subintervalos de comprimento h, segue que Como conhecemos resta calcular

27 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.4. PVC Não-Linear
Utilizando diferenças centradas para a deriva-da primeira e a discretização deduzida para a derivada segunda, ou seja: e sendo ambas aproximações de segunda ordem, para cada i, a EDO discretizada fica

28 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.4. PVC Não-Linear
Como reescrevemos a equação discreta A primeira equação (i=1), utilizando as condi- ções no contorno, escreve-se como: Analogamente, para (i=n-1), temos a equação

29 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.4. PVC Não-Linear
Temos que resolver o seguinte sistema linear Temos um sistema de n-1 equações, tridiagonal, a resolver. Utilize um método quase-Newton, por exemplo, para resolvê-lo.

30 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.5. PVC Condições Mistas
Quando temos condições mistas do tipo uma idéia é utilizar diferenças avançadas para descrever e deste modo a com- dição de contorno escreve-se como:

31 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.5. PVC Condições Mistas
Exemplo 3: PVC linear com condição mista Discretizando a EDO A primeira equação (i=1), utilizando as condi- ções no contorno,

32 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.5. PVC Condições Mistas
Exemplo 3: PVC linear com condição mista Discretizando a EDO A primeira equação (i=1), utilizando as condi- ções no contorno,

33 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.5. PVC Condições Mistas
Note que ao aproximar a derivada primeira na condição de contorno por diferença avançada, cometemos erros da ordem de Poderíamos ter aproximado a derivada, na condição de contorno, por diferença centrada e com isto garantido erros da ordem Neste caso, temos que incluir um ponto a mais (x-1,y-1) nossa tabela e temos um sistema nxn

34 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.4. PVC Não-Linear
Então temos o sistema com a condição A primeira equação (i=0), utilizando a condição no contorno, escreve-se como: Cuidado: deduzida para i=1,2,..,n-1

35 8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear
Enfim, temos que resolver o seguinte sistema linear Temos um sistema de n equações, tridiagonal, a resolver.

36 Trabalho Final Seção 11.4 – Burden – Faires Exercício 1 – Carolina
Exercício 3 a – Everton Exercício 3 a – José Exercício 3 a – João Exercício 3 a – Vinícius