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8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Parte 7A 8.1–INTRODUÇÃO – PVIs 8.2–MÉTODOS DE PASSO SIMPLES 8.3–MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLO 8.4–MÉTODOS PREVISOR-CORRETOR.

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1 8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Parte 7A 8.1–INTRODUÇÃO – PVIs 8.2–MÉTODOS DE PASSO SIMPLES 8.3–MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLO 8.4–MÉTODOS PREVISOR-CORRETOR 8.5–EDOs DE ORDEM SUPERIOR 8.6-PVCs E O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS hoje

2 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.1. Introdução Seja um PVC de segunda ordem dado por: onde são constantes reais conhecidas, tais que nem, nem, sejam nulas, simultaneamente.

3 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.1. Introdução O PVC de segunda ordem dado, tem a forma mais geral possível. Quando os valores de um PVC são dados na fronteira, por exemplo: dizemos que temos um problema de Dirichlet. Quando os valores da derivada de um PVC são dados na fronteira, por exemplo: dizemos que temos um problema de Neumann. P.G. Dirichlet (1805-1858) e K.G. Neumann (1832-1925)

4 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.1. Introdução Para o PVC de segunda ordem onde, dizemos que o PVC é homogêneo e a solução trivial é solução.

5 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização A idéia básica do Método de Diferenças Finitas transformar o PVC em um sistema de equaçõ- es algébricas, aproximando as derivadas por Diferenças Finitas. Considere o intervalo do PVC dado por Fazemos. Fazendo uma partição Regular, sejam n subintervalos iguais de compri- mento

6 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização Assim, Notação: Se for linear em o sistema algébrico a ser resolvido será linear e podemos utilizar o Método de Lagrange para resolvê-lo. Se for não-linear em o sistema algébrico a ser resolvido será não-linear e podemos utilizar o Método de Newton para resolvê-lo.

7 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização As aproximações mais utilizadas para de- rivadas primeiras são: Diferença avançada Diferença atrasada Diferença centrada

8 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização Graficamente: aproximação por diferença avançada Derivada correta Derivada aproximada

9 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização Graficamente: aproximação por diferença atrasada Derivada correta Derivada aproximada

10 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização Graficamente: aproximação por diferença centrada Derivada correta Derivada aproximada

11 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização Note que cometemos um erro ao aproximar a derivada pelas fórmulas discretas apresen- tadas. O erro cometido, da fórmula de Taylor, é Assim:

12 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização Definição: Dizemos que é, se existe uma constante. Da definição, se, então a expressão de diferença avançada, para aproxi- mar são de ordem, pois

13 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização Analogamente, da definição, se então a expressão de diferença atrasada, para aproximar é de ordem, pois

14 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização Enfim, para diferença centrada temos que: Somando as aproximações

15 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização De modo que, a aproximação por diferença cen- Trada é de ordem. A fórmula de diferen- ças centradas é mais utilizada.

16 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização Discretização de derivadas segundas. Novamen- te a partir da série de Taylor, expandindo até a terceira ordem Somando as aproximações:

17 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização

18 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear Exemplo 1: PVC linear Dividindo o intervalo [0,1] em n subintervalos de comprimento h, segue que Como conhecemos resta calcular

19 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear Utilizando diferenças centradas para a deriva- da primeira e a discretização deduzida para a derivada segunda, ou seja: e sendo ambas aproximações de segunda ordem, para cada i, a EDO discretizada fica

20 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear Como reescrevemos a equação discreta A primeira equação (i=1), utilizando as condi- ções no contorno, escreve-se como: Analogamente, para (i=n-1), temos a equação

21 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear Temos que resolver o seguinte sistema linear Temos um sistema de n-1 equações, tridiagonal, a resolver, vejamos matricialmente:

22 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear Reescrevendo matricialmente o sistema linear onde

23 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear Note que matrizes tridiagonais são esparsas e neste caso não é conveniente utilizar métodos diretos para resolvê-las, ou seja, Método de Gauss, LU, Cholesky, entre outros. Métodos diretos provocam o preenchimento da matriz, ou seja, durante o processo de eliminação, os erros de truncamento, geram não-nulos em posições onde antes, originalmente, tínhamos termos nulos. Em matrizes esparsas deve-se utilizar métodos iterativos tipo Gauss-Seidel, associados a técnicas especiais para o armazenamento da matriz, as quais tiram proveito de sua esparsidade.

24 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear Resolvendo o sistema linear iterativamente por Gauss- Seidel, para, temos erros de ordem xSol. Numer.Sol. ExataErro 0.1000-0.2720-0.27130.0007 0.2000-0.4911-0.490.0011 0.3000-0.6641-0.66290.0013 0.4000-0.7969-0.79560.0013 0.5000-0.8947-0.89350.0012 0.6000-0.9620-0.96100.0010 0.7000-1.0029-1.00200.0009 0.8000-1.0208-1.02030.0006 0.9000-1.0190-1.01870.0003

25 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear Novamente por Gauss-Seidel, com, e erros de xSol. Numer.Sol. ExataErro 0.0500-0.1428-0.14270.0001 0.1000-0.2715-0.27130.0002 0.1500-0.3870-0.38680.0002 0.2000-0.4903-0.490.0003 0.2500-0.5821-0.58180.0003 0.3000-0.6632-0.66290.0003 0.3500-0.7342-0.73390.0003 0.4000-0.7959-0.79560.0003 0.4500-0.8489-0.84860.0003 0.5000-0.8938-0.89350.0003.... 0.8000-1.0204-1.02030.0001 0.8500-1.0219-1.02180.0001 0.9000-1.0188-1.01870.0001 0.9500-1.0114-1.01130.0001

26 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.4. PVC Não-Linear Exemplo 2: PVC não-linear Dividindo o intervalo [0,1] em n subintervalos de comprimento h, segue que Como conhecemos resta calcular

27 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.4. PVC Não-Linear Utilizando diferenças centradas para a deriva- da primeira e a discretização deduzida para a derivada segunda, ou seja: e sendo ambas aproximações de segunda ordem, para cada i, a EDO discretizada fica

28 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.4. PVC Não-Linear Como reescrevemos a equação discreta A primeira equação (i=1), utilizando as condi- ções no contorno, escreve-se como: Analogamente, para (i=n-1), temos a equação

29 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.4. PVC Não-Linear Temos que resolver o seguinte sistema linear Temos um sistema de n-1 equações, tridiagonal, a resolver. Utilize um método quase-Newton, por exemplo, para resolvê-lo.

30 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.5. PVC Condições Mistas Quando temos condições mistas do tipo uma idéia é utilizar diferenças avançadas para descrever e deste modo a com- dição de contorno escreve-se como:

31 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.5. PVC Condições Mistas Exemplo 3: PVC linear com condição mista Discretizando a EDO A primeira equação (i=1), utilizando as condi- ções no contorno,

32 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.5. PVC Condições Mistas Exemplo 3: PVC linear com condição mista Discretizando a EDO A primeira equação (i=1), utilizando as condi- ções no contorno,

33 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.5. PVC Condições Mistas Note que ao aproximar a derivada primeira na condição de contorno por diferença avançada, cometemos erros da ordem de. Poderíamos ter aproximado a derivada, na condição de contorno, por diferença centrada e com isto garantido erros da ordem Neste caso, temos que incluir um ponto a mais (x -1,y -1 ) nossa tabela e temos um sistema nxn

34 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.4. PVC Não-Linear Então temos o sistema com a condição A primeira equação (i=0), utilizando a condição no contorno, escreve-se como: Cuidado: deduzida para i=1,2,..,n-1

35 8. PVCs e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear Enfim, temos que resolver o seguinte sistema linear Temos um sistema de n equações, tridiagonal, a resolver.

36 Trabalho Final Seção 11.4 – Burden – Faires Exercício 1 – Carolina Exercício 3 a – Everton Exercício 3 a – José Exercício 3 a – João Exercício 3 a – Vinícius


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