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Resolução de Sistemas Não-Lineares- Parte 1. Sistemas não-lineares Normalmente, em problemas aplicados temos que resolver sistemas de equações não-lineares.

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1 Resolução de Sistemas Não-Lineares- Parte 1

2 Sistemas não-lineares Normalmente, em problemas aplicados temos que resolver sistemas de equações não-lineares de ordem

3 Dada Procuramos a solução do sistema não-linear Em notação matricial: Sistemas não-lineares

4 EXEMPLO DE SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn Exemplo1: Intersecção de círculo com hipérbole. Temos 4 soluções (intersecções)!!!!!!!!!!!!!!!!

5 EXEMPLO DE SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn Exemplo2: Intersecção de duas parábolas. Não temos soluções!!!!!!!!!!!!!!!!

6 SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn HIPÓTESES Seja onde é um aberto de. Em, suponha que tenha derivadas contínuas. Suponha que exista pelo menos um tal que.

7 SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn HIPÓTESES Seja o vetor gradiente de dado por e a matriz Jacobiana de :

8 SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn MÉTODO DE NEWTON O Método de Newton é método básico. Consiste na linearização local do sistema não-linear Seja a aproximação. Para qualquer, existe, tal que: Aproximando, temos um modelo local linear

9 SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn MÉTODO DE NEWTON O modelo local linear do sistema não-linear é Seja, então Passo 1: Dado, calcule e. Passo 2: Resolve-se o sistema linear. Neste ponto técnicas de fatoração, pivoteamento e métodos iterativos podem ser utilizadas para determinar. O Método de Newton com resolução do sistema linear de modo iterativo é chamado de Método de Newton Inexato.

10 SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn Comentário 1: Estudaremos os métodos para sistemas não-lineares são iterativos. Dado inicial, gera- se uma seqüência, de modo que Comentário 2: Critérios de parada a) norma dos vetores de. b) norma infinito. c) tolerância ou número máximo de iterações.

11 SISTEMAS NÃO-LINEARES nxn MÉTODO DE NEWTON INEXATO Algoritmo. Dados,,, faça: Passo1: Calcule e. Passo 2: Se, faça e pare. Senão, Passo 3: Obtenha, solução de Passo 4: Faça Passo 5: Se faça e pare. Senão Passo 6: Faça e volte ao passo 1.

12 MÉTODO DE NEWTON – Exemplo Resolva o sistema. Sabemos que as soluções são Tomamos, e calculando o Jacobiano, obtemos.

13 MÉTODO DE NEWTON – Exemplo Iteração 1: continue! métodos diretos ou iterativos e continue!!!!!!

14 MÉTODO DE NEWTON – Exemplo Passo 1: Comentário: Note que no processo de resolução de sistemas não-lineares, devemos resolver um sistema linear a cada iteração. Métodos diretos: Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial ou total, fatoração LU ou Cholesky..... Métodos iterativos: Método de Gauss-Jacobi o Gauss-Seidel

15 MÉTODO DE NEWTON – Exemplo CONTINUANDO. Iteração 2: continue e continue!!!!!!

16 MÉTODO DE NEWTON – Exemplo 1-Continuar o processo até que um dos dois critérios de parada seja atingido, ou seja ou 2-Convergência do Método de Newton Inexato é Quadrática em condições adequadas. 3-Diferentes abordagens do Método de Newton Inexato geram algoritmos alternativos.

17 MÉTODO DE NEWTON MODIFICADO O Método de Newton Modificado consiste em tomar a cada iteração, sempre,, em vez de. O método iterativo é dado pela seqüência. Neste procedimento temos que resolver no passo o sistema linear:

18 MÉTODO DE NEWTON MODIFICADO O Método de Newton Modificado tem a vantagem de calcular uma única vez a matriz Jacobiana. No caso de resolver por fatoração LU, os fatores L e U também serão calculados uma única vez.

19 MÉTODO DE NEWTON MODIFICADO– EXEMPLO Resolva o sistema. Sabemos que as soluções são Tomamos, e calculando o Jacobiano, obtemos. Fixado!!!!

20 MÉTODO DE NEWTON MODIFICADO Iteração 1: continue! métodos diretos ou iterativos e continue!!!!!!

21 MÉTODO DE NEWTON MODIFICADO Iteração 2: continue Diferença e continue!!!!!!

22 MÉTODO DE NEWTON CONVERGÊNCIA O Método de Newton Modificado, Inexato, perde a propriedade de convergência quadrática, apesar que neste exemplo, aparentemente, o nível de convergência foi semelhante. Verifica-se que o Método de Newton Modificado converge linearmente.

23 MÉTODOS DE QUASE-NEWTON Os Métodos de Quase-Newton, Inexatos, consistem em gerar seqüências, com Boas propriedades de convergência, sem ter que avaliar (calcular) a matriz Jacobiana a cada iteração.

24 MÉTODOS DE QUASE-NEWTON No Método de Newton Inexato a seqüência é gerada por onde é a solução do sistema linear A idéia é impor condições sobre gerando a) algum princípio de variação mínima. b) preservar alguma estrutura (simetria, esparsidade,..) da matriz Jacobiana.


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