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Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica UNIFRA Mestranda: Ana Paula Noro Orientador:

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1 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica UNIFRA Mestranda: Ana Paula Noro Orientador: Prof. Dr. Vanilde Bisognin Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática Centro Universitário Franciscano CONTRIBUIÇÕES DA ENGENHARIA DIDÁTICA PARA O ENSINO E APRENDIZAGEM DE POLIEDROS

2 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica O presente trabalho tem como objetivo analisar as possibilidades que a proposição de uma Sequência Didática fundamentada na metodologia da Engenharia Didática traz para o ensino e aprendizagem dos Poliedros. O referencial teórico da investigação envolve o ensino de Matemática, em particular o ensino de Geometria, os fundamentos da Engenharia Didática e o uso de materiais manipuláveis. A pesquisa teve cunho qualitativo. Os principais instrumentos utilizados foram observações participativas durante todo o processo de desenvolvimento da sequência didática em que a pesquisadora e participantes interagiram.

3 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica A pesquisa tem como objetivo geral investigar se a utilização de uma sequência didática, embasada nos princípios da Engenharia Didática, contribui para o estudo de poliedros em uma turma do terceiro ano do ensino médio. OBJETIVO GERAL OBJETIVOS ESPECÍFICOS - Investigar se o uso de materiais manipuláveis e digitais possibilita a aprendizagem dos alunos sobre poliedros; - Analisar se a proposição de uma sequência didática composta de atividades relacionadas com o conteúdo de poliedros possibilita a compreensão das inter-relações entre os conceitos e suas propriedades.

4 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica Os sujeitos participantes da pesquisa foram 20 alunos do terceiro ano no Ensino Médio, da escola Professora Lelia Ribeiro, do município de São Martinho da Serra, Rs. A pesquisa ocorreu durante as aulas de matemática e teve a duração de 10 horas aula. Para o desenvolvimento do trabalho na sala de aula os alunos foram divididos em cinco grupos formados livremente. Em todo o trabalho os elementos dos grupos mantiveram-se os mesmos.

5 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica A metodologia de pesquisa adotada nesse trabalho é a Engenharia Didática. Os instrumentos utilizados para a coleta de dados foram: Observação participante; Registros ordenados no Diário de campo da pesquisadora; Análise das produções dos sujeitos da pesquisa; Abordagem Metodológica

6 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica Análise prévias ou preliminares; Concepção e análise a priori de experiências didático pedagógicas. Experimentação, implantação da experiência ou aplicação da Sequência Didática. Análise a posteriori e validação da experiência Fases da Engenharia Didática

7 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica Com a finalidade de verificar o nível de conhecimento dos alunos, referente ao conteúdo de geometria, optou-se por aplicar um teste diagnostico composto de cinco questões. O teste teve duração de uma hora aula, realizado individualmente e envolveu conteúdo de geometria plana, nomenclatura, elementos dos polígonos, cálculo de área e perímetro TESTE DIAGNÓSTICO CLIQUE PARA O TESTE

8 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica HexaedroTetraedroOctaedro IcosaedroDodecaedro Para a realização da sequência didática os alunos foram divididos em grupos e cada grupo fez o estudo detalhado de um dos cinco poliedros de Platão. Sequência Didática

9 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica ATIVIDADES INICIAIS ATIVIDADES INICIAIS ATIVIDADES INICIAIS ATIVIDADES INICIAIS ATIVIDADES COMPLEMENTARES ATIVIDADES COMPLEMENTARES ATIVIDADES COMPLEMENTARES ATIVIDADES COMPLEMENTARES

10 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica Vídeos: Diálogo Geométrico Mão na Forma. Vídeos: Diálogo Geométrico Mão na Forma. Poliedros e situações reais Tetraedro Hexaedro Octaedro Icosaedro Dodecaedro Realizar uma pesquisa em livros, internet e apontar as diferença entre polígonos e poliedros Construindo sólidos de Platão ATIVIDADES INICIAIS

11 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica Possíveis respostas: Grupo A 1 : Polígono tem duas dimensões: comprimento e largura. Poliedro tem três dimensões: comprimento, largura e profundidade. Grupo A 2 : Polígono é uma figura plana: folha de papel, quadro. Poliedro: sólido no qual cada face é um polígono, o dado por exemplo. Grupo A 3 : Poliedro é um sólido geométrico cuja superfície é composta por um número infinito de faces, em que cada uma das faces é um polígono. Os seus elementos mais importantes são as faces, as arestas e os vértices. Polígono é uma figura geométrica plana limitada por uma linha poligonal fechada. A palavra polígono vem do grego e quer dizer muitos (Poly) e ângulos (gon),exemplo um quadrado. Pesquisa realisada

12 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica Grupo A 4 : Poliedro é um sólido geométrico cuja superfície é composta de um número finito de faces, em que cada face é um polígono. Os seus elementos mais importantes são as faces as arestas e os vértices. Faces: figuras planas que limitam o sólido. Arestas: segmentos de reta que limitam as faces. Vértices: ponto de encontro das arestas. Polígono é uma figura plana limitada por segmentos de reta consecutivos chamados de lados A palavra polígono advém do grego e quer dizer muitos (poly) e ângulos (gon). É uma linha fechada simples, os polígonos são os lados dos poliedros.

13 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica Grupo A5: A palavra polígono significa muitos ângulos. Um polígono é uma figura geométrica plana cujo contorno é fechado e formado por segmentos de reta, que são seus lados. Em outras palavras, o contorno de um polígono é uma linha poligonal fechada. Pensamos em um polígono como sendo constituído por seu contorno (um linha poligonal fechada) e seus pontos interiores. Os triângulos, os quadriláteros e os pentágonos são polígonos de três, quatro e cinco lados, respectivamente. Se todos os lados têm a mesma medida, dizemos que o polígono é um polígono regular.

14 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica Possíveis respostas: Grupo A 1 : Sim estamos rodeados por poliedros, eles estão presentes em construções, obras de arte, em embalagens de alimentos e em diversas outras coisas ao nosso redor. Grupo A 2 : Sim, os poliedros podem ser encontrados em obras de arte, na natureza (cristais, organismos vivos), na cultura humana, por exemplo, as pirâmides do Egito. Grupo A 3 : Sim, os poliedros podem ser encontrados na arquitetura dos prédios, em nosso dia-dia na caixa de leite, de sabão em pó, na natureza como o favo de mel, na arte, na tecnologia o formato de um CPU é um paralelepípedo. É possível afirmar que os poliedros fazem parte de nossa vida?

15 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica Grupo A 4 : Sim, os poliedros estão presentes na natureza através das cadeias de DNA, formação de algumas algas e seres vivos e até mesmo na forma de um brinquedo de criança como, por exemplo, o cubo mágico. Grupo A 5 : Sim, vivemos em um mundo tridimensional dessa forma alguns poliedros fazem parte de nosso cotidiano, nossa sala de aula é um poliedro, a caixa dos nossos tênis é um poliedro, um pote de sorvete, até mesmo a casquinha do sorvete é um cone.

16 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica lico.gov.br/download/vi deo/me wmv Mão na Forma /index.php?option=com_ zoo&view=item&item_id =4816http://tvescola.mec.gov.br /index.php?option=com_ zoo&view=item&item_id =4816. Diálogo Geométrico

17 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica Este sólido chama-se Hexaedro, mas todos nós o conhecemos como cubo, ou o dado de nossas brincadeiras. Ele é formado por seis quadrados que formam os as faces. Cada lado do quadrado e chamado de arestas, e os pontos que unem as arestas é chamado de vértice. O hexágono possui: seis faces, 12 arestas e oito vértices. Hexaedro (Cubo)

18 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica PLANIFICAÇÃO HEXAEDRO (CUBO)

19 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica O hexaedro (cubo), pode ser encontrado em objetos de decoração, obras de arte, em brincadeiras. Cubo com objetos de decoração e embalagens para presentes. Embalagens de presentes. Conhecido como cubo mágico, objeto usado em brincadeiras. Móveis, construídos usando o hexaedro

20 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica Dados, usado em brincadeiras infantis, jogos de azar. O arranha-céu Urban Tree é composto por uma série de cubos que parecem flutuar no ar. Acima de cada um, há a possibilidade de criar um grande jardim, com árvores e plantas. Projetado pelo escritório de arquitetura verde israelense Geotectura, o prédio também teria a função de captar a energia solar. A intenção de criar um prédio em cubos é transformá-lo em uma construção modular e flexível, capaz de otimizar a vista e a circulação de ar. Geotectura

21 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica O cubo Universo O cubo ao primeiro olhar parece ser um simples objeto, inanimado, incapaz, peso de papel, decoração, pedaço... O cubo fica ali parado, parado em qualquer lugar, alguns opacos outros coloridos. Uns artesanais, outros modernos. Pesados, leves, ocos ou não. O cubo de pedra esculpido sem querer pela natureza, o cubo de madeira cortado pela mão do marceneiro, o cubo de acrílico feito pelo designer, cientista, o cubo de plástico feito pela fábrica de brinquedo,o cubo de metal feito pela indústria e para a indústria. O cubo desenhado no chão como piso de calçada. O cubo desenhado no chão pelo giz da criança quando brinca de amarelinha. Céu e inferno?

22 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica Apesar da intensa presença, cubos e mais cubos, para todos os fins e com as mais simbólicas representações, o cubo mantém a medida. Na entrelinha do corte lateral ela está lá.Não há cubo sem medidas iguais.Há cubo de texturas diferentes, uns mais polidos, outros mais ásperos, mas ainda assim cubos. Vem o artesão e molda incansavelmente com a lixa o bloco de madeira. Vem um criativo e coloca pequenos cubos em todas as faces do cubo, põe cores e movimento.O cubo desmontável,objeto de raciocínio surge então.Cubo com objetivo, que te deixa horas sentado com desejo de acertar. Um cubo que atravessa eras e traz implícito o Algoritmo sagrado. Só os movimentos precisos para remontar. Mito? Talvez.

23 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica Matemática? Muita. O cubo está ali na estante esperando utilidade. O cubo está ali no chão esperando cor. O cubo está ali na pedra querendo se tornar escultura. O cubo guarda também segredos quando, dentro do guarda- roupa vira porta treco. Guardião de chaves, saudades e batons. O cubo e sua dinâmica de ser tudo e nada ao mesmo tempo. Incrível isso não? Óbvio que tudo depende de quem vê e sente o Universo: Geométrico ou Ilusão ! O cubo em si, desmontado, gera mais formas e por isso, quem te garante que a Terra não?Destrinchada, planificada, cortada? Um Planeta feito de cubos? Um cubo Universo? Talvez, Por que não? Autor desconhecido. Disponível em

24 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica Usando os conhecimentos da geometria plana calcular a quantidade de papel gasto para forrar as caixas de papel.

25 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica 9,5cm 26,5 cm 13 cm Papel gasto na tampa. 26,5 cm 13 cm Temos um retângulo por isso fazemos a base vezes à altura. A t : 26,5 x 13 = 344,5 cm² Papel gasto na lateral maior 26,5 cm 9,5cm Temos um retângulo por isso fazemos a base vezes à altura. AL: 26,5 x 9,5 = 251,75 cm²

26 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica Papel gasto na lateral menor 13 cm 9,5cm Temos um retângulo por isso fazemos a base vezes à altura. A l : 13 x 9,5 = 123,5 cm² Como a tampa o fundo tem as mesmas medidas fazemos. 344,5 x 2 = 689, Também temos duas laterais maiores e duas laterais menores, portanto fazemos: 251,75 x 2 = 503,5 e 123,3 x 2 = 246. Sendo assim o material gasto para forrar a caixa desconsiderando as laterais da tampa é: , = 1438,5 cm ²

27 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica 12cm 4 cm A quantidade de papel gasto na tampa e no fundo é a mesma. O polígono que forma a tampa e o fundo da caixa é uma quadrado e que tem 12cm de lado assim a área é dada por base x altura. A( tampa) = 12 x 12 =144 cm² Área da tampa e fundo = = 288 cm² Área lateral ( um retângulo) Área (base x altura)= 12 cm x 4 cm = 48 cm² 48 cm² x 2= 96cm² Área total = 288cm² + 96cm² = 384cm²

28 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica 15,5 cm 6,5 cm Não apresentaram cálculo; Quantidade de papel usado para forrar a caixa 870,5cm ²

29 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica Área da tampa e fundo. Área da lateral menor Área da lateral maior Quantidade de papel usado : = 1776 cm ²

30 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica Área da lateral maior c Área da tampa e do fundo Como encontramos a área de cada um dos retângulos separadamente agora é só fazer a soma dessa forma teremos.Quantidade de papel usado será dado por : 2ac + 2 ab + 2cb a a b b c É um retângulo, portanto é só calcular base vezes altura então área = a.c. Como temos dois retângulos com essas medidas temos assim 2ac. É um retângulo, portanto é só calcular base vezes altura então área = a.b. Como temos dois retângulos com essas medidas temos assim 2ab. É um retângulo, portanto é só calcular base vezes altura então área = c.b. Como temos dois retângulos com essas medidas temos assim 2cb. Área da lateral menor

31 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica O octaedro é um poliedro regular ou sólido platónico. O octaedro é constituído por oito faces iguais sendo todas triângulos equiláteros, reunindo-se em cada vértice quatro triângulos (octo significa oito em grego), tem seis vértices e doze arestas. Octaedro

32 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica PLANIFICAÇÃO OCTAEDRO

33 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica Podemos encontrar octaedros em várias situações, conforme descreveremos a seguir: Este refletor no formato de um octaedro tem por finalidade refletir o sinal de um navio a outro a fim de mostrar sua localização. A magnetita é um óxido de ferro cúbico, de cor preta, fortemente magnético, opaco, um dos três principais minerais-minério de ferro.

34 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica O tetraedro é um poliedro, formado por triângulos equiláteros. Ele possui: 4 vértices, 4 faces e 6 arestas. O tetraedro regular representa o elemento fogo. Tetraedro

35 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica PLANIFICAÇÃO DO TETRAEDRO

36 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica Podemos encontrar as formas tetraédricas em várias situações, conforme descreveremos a seguir. A figura ilustra a molécula de metano. Os quatro átomos hidrogênio (H) estão dispostos em torno do átomo de carbono (C) formando um tetraedro regular. O Pyramorphix O pyramorphix é um quebra cabeça tridimensional em forma de um tetraedro semelhante ao pyramix, porém mais simples, sendo composto por apenas 8 peças móveis. O Robô Tetraédrico da NASA O TETWalker (do ingês TETrahedral walker, andarilho tetraédrico) é um dos primeiros protótipos de robôs que conseguem mudar a sua forma para que, através deste movimento, sejam capazes de ultrapassar os diferentes obstáculos da superfície de um planeta

37 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica A Plataforma de Observação em Bottrop- Batenbrock Esta plataforma de observação na forma de um tetraedro foi idealizada pelo arquiteto Wolfgang Christ em Ela possui 60 metros de altura e está localizada na área industrial da cidade de Bottrop-Batenbrock na Alemanha Cristais da Calcopirita em Formato de Tetraedro A calcopirita é um sulfeto de cobre e ferro tetragonal, o mais importante mineral- minério de cobre, que ocorre especialmente em veios hidrotermais de alta temperatura e em pegmatitos, depósitos metamórficos e xistos.

38 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica Este sólido é o icosaedro. Ele é formado por triângulos equiláteros, que constituem suas faces. Ele possui 20 faces, 30 arestas e 20 vértices. Platão identificou este sólido como sendo o elemento água. Icosaedro

39 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica PLANIFICAÇÃO ICOSAEDRO

40 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica Podemos encontrar as formas icosaedrica em várias situações, conforme descreveremos a seguir. Muitos vírus, como o vírus da herpes, assumem uma simetria icosaédrica. Circogonia icosahedra: Protistas radiolários Lâmpada no formato de um icosaedro, gerado a partir da união de seções de uma esponja.

41 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica Vestido criado pela artista Amila Hrustic, que faz parte da coleção sólidos de Platão Este auto falante produzido pela CNMAT (California Berkeley's Center for New Music and Audio Technologies) tem como finalidade mimetizar os diversos tipos de padrões de radiações produzidas por diversos instrumentos musicais acústicos. Icosaedro Romano de Bronze

42 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica Um dodecaedro regular é constituído por 12 pentágonos regulares e é um dos sólidos platônicos. O dodecaedro possui 20 vértices, 30 arestas, 12 faces. Dodecaedro

43 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica PLANIFICAÇÃO DO DODECAEDRO

44 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica Podemos encontrar octaedros em várias situações, conforme descreveremos a seguir: Dodecaedro de Bronze Em 1939 foi encontrado um dodecaedro de bronze na cidade de Leopoldswall na Alemanha. Não se sabe qual era a finalidade deste objeto. Hipóteses incluem: um candelabro, um instrumento de guerra, um instrumento de medida ou um objeto místico. Caixa Acústica Este sistema de sonorização de alto desempenho foi projetado pelo professor Sylvio Bistafa da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Sua patente de desenho industrial foi concedida à Agência USP de Inovação Doce em Formato de Dodecaedro

45 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica Com base nos sólidos apresentados e possível completar a tabela abaixo: Nomenclatura Número de vértices Número de arestas Número de faces Tetraedro464 Hexaedro8126 Octaedro6128 Dodecaedro Icosaedro A partir dos dados fornecidos pela tabela é possível verificar a veracidade da formula F+V = A+2. Onde F = número de faces V = número de vértices A = número de arestas Conhecida como Relação de Euler.

46 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica ATIVIDADES COMPLEMENTARES A superfície de um poliedro, que é formada de superfícies poligonais planas, pode ser colocada sobre o um plano de tal modo que cada uma das faces do poliedro tenha pelo menos um lado em comum com a outra face. Obtemos assim uma figura plana, que costuma ser chamada de molde do poliedro, ou planificação da superfície do poliedro ou simplesmente de planificação do poliedro. Dessa forma associe cada uma das planificações com o seu poliedro de origem. Atividade 1

47 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica Numere a 2ª coluna de acordo com a 1ª

48 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica Considerando os cinco poliedros construídos complete o quadro abaixo com os valores inexistentes PoliedroNomenclaturaElementos faces triangulares 4 vértices arestas Hexaedro regular 6 faces 8 6 arestas faces 6 12 faces vértices arestas Icosaedro regular faces vértices arestas Atividade 2

49 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica No país do México, há mais de mil anos, o povo Asteca resolveu o problema de armazenamento da pós- colheita de grãos com um tipo de silo em forma de uma bola colocada sobre uma base circular de alvenaria. A forma desse silo é obtida juntando 20 placas hexagonais e mais 12 pentagonais. Com base no texto é correto afirmar que esse silo tem: (UFPel- RS) a) 90 arestas e 60 vértices. b) 86 arestas e 56 vértices. c) 90 arestas e 56 vértice. d) 86 arestas e 60 vértices. e) 110 arestas e 60 vértices. Observação: Realize os cálculos e posteriormente marque a atividade correta Atividade 3

50 Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa SAIR Sequência Didática Referências Abordagem Metodológica ALMEIDA, F. J.; Júnior, F. M. F. PROINFO: Projetos e Ambientes Inovadores / Secretaria de Educação a Distância. Brasília: Ministério da Educação, Seed, ALSINA, C. (1999). Painel Geometria no currículo de Matemática. Em Departamento de Educ. da Fac. De Ciências da Univ. de Lisboa (Eds), Ensino da Geometria no virar do milénio, Lisboa, p. 65. CARNEIRO, V. C. G. Engenharia Didática: Um Referencial para ação investigativa e para formação de professores de Matemática. Zetetiké, Campinas, v. 13, n. 23, p , jan./jun., CASTELNUOVO, E. Didática de la Matemática Moderna. México: Trillas, LEIVAS, J. C. P. Imaginação, Intuição e Visualização: A riqueza de possibilidades da abordagem geométrica no currículo de cursos de Licenciatura de Matemática. Universidade Federal do Paraná, Tese de Doutorado. REFERÊNCIAS


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