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1 Seja o resultado de um experimento aleatório. Suponha que uma forma de onda é associada a cada resultado.A coleção de tais formas de ondas formam um.

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1 1 Seja o resultado de um experimento aleatório. Suponha que uma forma de onda é associada a cada resultado.A coleção de tais formas de ondas formam um processo estocástico. O conjunto de e o índice de tempo t podem ser contínuo ou discreto (contável finito ou infinito). Se fixo, é uma função específica do tempo. Se t é fixo, é uma variável aleatória. Se e t são fixos, é um número. 14. Processos Estocásticos

2 2 Exemplo de um processo aleatório X(t). onde a e são constantes e é uma v.a. uniformemente distribuída no intervalo se X(t) é um processo estocástico, então para um t fixo, X(t) representa uma variável aleatória. Sua função distribuição de probabilidade é dada por: Note que depende de t, então para diferentes valores de t, tem- se diferentes variáveis aleatórias. Portanto representa a função densidade de probabilidade de primeira ordem do processo X(t).

3 3 Para t = t 1 e t = t 2, X(t) representa duas diferentes variáveis aleatórias X 1 = X(t 1 ) e X 2 = X(t 2 ), respectivamente. Sua distribuição conjunta é dada por e representa função densidade de probabilidade de segunda ordem do processo X(t). Da mesma forma representa a função densidade de probabilidade conjunta de n-ésima ordem do processo estocástico X(t). A especificação completa do processo estocástico X(t) requer o conhecimento de todo e todo n. Média de um processo estocástico: representa o valor médio do processo X(t), em geral, a média depende de t.

4 4 Função autocorrelação de um processo X(t) é definido como que representa o inter-relacionamento entre as variáveis aleatórias X 1 = X(t 1 ) e X 2 = X(t 2 ) geradas do processo aleatório X(t). Propriedades: 1. 2 (Potência média instantânea) 3. representa uma função definida não negativa, isto é, para qualquer conjunto de valores constantes e representa a função autocovariância do processo X(t).

5 5 Similarmente Examplo Considere o processo aleatório Determine a média e a função autocorrelação de X(t) Exemplo Se Então

6 6 Processos Estocásticos Estacionários Processos estacionários apresentam uma importante propriedade estatística: São invariantes ao deslocamento do índice de tempo. Assim, por exemplo, estacionariedade de segunda ordem implica que as propriedades estatística dos pares {X(t 1 ), X(t 2 ) } e {X(t 1 +c), X(t 2 +c)} são as mesmas para qualquer c. Da mesma forma estacionariedade de primeira ordem implica que as propriedade estatísticas de X(t i ) e X(t i +c) são as mesmas para todo c. Processo Estocástico Estritamente Estacionário Um processo é estritamente estacionário se: Para qualquer c, onde o lado direito da equação representa a f.d.p. conjunta das as v.as., e o lado esquerdo representa a f.d.p. conjunta das v.a.'s aleatórias

7 7 Para um processo estacionário no sentido estrito, tem-se, para qualquer c. Em particular, se c = – t isto é, a f.d,p. de primeira ordem de X(t) é independente de t. Neste caso Considerando-se a estatística de segunda ordem, tem-se para qualquer c. Para caso onde c = – t 2, tem-se isto é, a f.d.p.conjunta de segunda ordem, de um processo estacionário no sentido estrito depende somente da diferença de tempo

8 8 Para a função autocorrelação tem-se: isto é, a função autocorrelação de segunda ordem de um processo estacionário no sentido estrito depende somente da diferença de tempo Processo Estacionário no Sentido Amplo Um processo estocástico é denominado de estacionário no sentido amplo se: i) e ii) Isto é, não diz nada a respeito da função densidade de probabilidade do processo aleatório, mas somente se refere à média e à função autocorrelação. Assim pode-se afirmar que estacionariedade no sentido estrito implica em estacionariedade no sentido amplo. No entanto, a recíproca não é verdadeira, com exceção para processos gaussianos.

9 9 Isto segue do fato de que, se X(t) é um processo gaussiano, então, por definição, são variáveis conjuntamente gaussianas para qualquer, cuja função característica é dada por: onde é a matriz covariância. Se X(t) é estacionário no sentido amplo, então assim se o conjunto de índices de tempo forem deslocados de uma constante c, gera um novo conjunto de variáreis aleatórias conjuntamente gaussianas Assim o conj. de variáveis aleatórias e tem a mesma função distribuição de probabilidade para todo n e todo c, estabelecendo a estacionariedade de um processos gaussiano.

10 10 Resumindo: se X(t) é um processo gaussiano, então estacionaridade no sentido amplo implica em estacionariedade no sentido estrito. No caso do processo ele é estacionário no sentido amplo, mas é não no sentido estrito. Se X(t) é um processo estacionário no sentido amplo, com média nula, então a variância da v.a., é dada por: Como t 1 e t 2 variam de –T a +T, varia de –2T a + 2T. é constante sobre a área da região hachuriada, que é dada por: que se reduz a:

11 11 Sistemas com Entrada Aleatória Um sistema deterministico 1 transforma uma forma de onda de entrada em uma forma de onda operando somente sobre a variável de tempo t. Assim, um conjunto de formas de ondas correspondentes a um processo X(t), gera um novo conjunto de formas na saída do sistema associado a um novo processo Y(t). Nossa meta é estudar as propriedades estatísticas da saída em termos das propriedades estatísticas da entrada. 1 A stochastic system on the other hand operates on both the variables t and

12 12 Sistemas Determinísticos Sistemas com memória Invariantes no tempo Sistemas lineares invariantes no tempo (LTI) Sistemas sem memória Variantes no tempo LTI system

13 13 Sistemas sem memória: A saída Y(t) neste caso depende somente do valor atual da entrada X(t). i.e., (14-25) Sistema sem memória Sistema sem memória Sistema sem memória entrada estacionária no sentido estrito entrada estacionária no sentido amplo X(t) estacionário Gaussiano com saída estacionária no sentido estrito Não precisa ser estacionária em qq sentido Y(t) estationario, mas não Gaussiano com Fig. 14.4

14 14 Sistemas Lineares : L[.] representa um sistema linear se Assim, representa a saída de um sistema linear. Sistema invariante no tempo: L[.] representa um sistema invariante no tempo se isto é, o deslocamento da entrada resulta no mesmo deslocamento na saía. Se L[.] satisfaz as duas condições acima, então o sistema é linear e invariante no tempo: LTI. Sistema LTI podem ser completamente especificados pela resposta ao impulso: LTI Impulso Resposta ao impulso Resposta ao impulso

15 15 Demonstração: Expressndo X(t) como Relacionando X(t) com a saída Y(t) do sistema LTI By Linearity By Time-invariance Então LTI arbitrary input

16 16 Saída do sistema: Usando a definição de valor médio e relacionado a entrada com a saída Da mesma forma, definindo a função correlação cruzada entre o processo de entrada e de saída, então: A função autocorrelação da saída é dada por:

17 17 ou h(t)h(t) h*(t 2 )h(t1)h(t1) (a) (b)

18 18 Em particular se X(t) é estacionário no sentido amplo, então e portanto ainda, tal que Assim, X(t) e Y(t) são conjuntamente estacionários no sentido amplo. A função autocorrelação de saída é então simplificada substituindo, obtém-se:


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