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1 8. Uma Função de duas Variáveis Aleatórias Dadas duas variáveis aleatórias X e Y e uma função g(x,y), define-se uma nova variável aleatória Z como Dada.

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1 1 8. Uma Função de duas Variáveis Aleatórias Dadas duas variáveis aleatórias X e Y e uma função g(x,y), define-se uma nova variável aleatória Z como Dada a f.d.p. conjunta como obter a f.d.p. conjunta de Z ? Problemas deste tipo são de interesse do ponto de vista prático. Por exemplo, um sinal de saída de um receptor geralmente consiste de um sinal desejado somado a um ruído, a a formulação acima reduz-se a: Z = X + Y.

2 2 É importante conhecer como a estatística do sinal de entrada, para melhor se projetar o receptor. Neste contexto serão analisados problemas dos seguintes tipos: Referindo-se em primeiro lugar ao caso em que Z = g(X,Y), tem-se portanto

3 3 onde D z no plano XY, representa a região tal que é satisfeita. Note que D z não precisa ser uma região conectada, para determinar. Este método será ilustrado através de vários exemplos.

4 4 Exemplo 8.1: Z = X + Y. Encontre Solução: Seja D z a região do plano xy onde representada na figura pela área inferior à esquerda. Calcula- se em primeiro lugar Integrando-se esta área na direção do eixo x, de até a reta x=z - y. E na direção do eixo y, de a, tem-se:

5 5 Pode-se determinar diferenciando diretamente. É importante relembrar a regra da diferenciação de uma Integral devido a Leibnitz. Supondo que: Então substituindo h(x,y) por f XY (x,y) Alternativamente, a integração pode ser resolvida integrando-se primeiro em relação ao eixo y seguido do x.

6 6 Neste caso diferenciando-se em relação a z Se X e Y são independentes, então Substituindo na equação de f Z (x), acima tem-se convolução de f X (x) com f Y (y)

7 7 Como caso particular, suponha que para e que para então f Z (z) é dado por: ou Se X e Y são variáveis independentes, então

8 8 Exemplo 8.2: Suponha que X e Y são variáveis aleatórias independentes, ambas com distribuição exponencial com parâmetro. Se Z = X + Y, determine Solução: Tem-se: Exemplo 8.3: Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes, uniformemente distribuídas no intervalo (0,1). Determine onde Z = X + Y. Solução: Neste caso,. O cálculo de F Z (z) deve ser feito usando dois intervalos, 0

9 9 Fig. 8.5 Para Para é fácil verificar pela figura que:

10 10 Diferenciando F Z (z) em relação a z, tem-se Calculando f Z (z) diretamente pela pela convolução de com obtém-se o mesmo resultado acima. Para, As figuras a seguir mostram os procedimentos para determinar usando a convolução de duas funções retangulares.

11 11 Fig. 8.6 (c)

12 12 Exemplo 8.3: Seja Determine a p.d.f Solução: observando a figura abaixo pode-se escrever: Diferenciando F Z (z) em relação a z, tem-se: Se X e Y são v.a.`s independentes, a equação reduz-se a: que representa a convolução de com Fig. 8.7

13 13 No caso especial da v.a. Z = X - Y, em que Neste caso, z pode ser tanto negativo quanto positivo, o que resulta em duas situações distintas, que serão analisadas separadamente, uma vez que as regiões de integração são diferentes. Para para parar Diferenciando em relação a z, obtém-se: Fig. 8.8 (b) (a)

14 14 Exemplo 8.4: Dado que Z = X / Y, obtenha f.d.p. de Z. Solução: Tem-se que A desigualdade pode ser rescrita como se e se Então o evento precisa ser condicionado ao evento e seu complemento Visto que pelo teorema da probabilidade total: Como os eventos são mutuamente exclusivos A figura mostra as áreas correspondentes ao primeiro e ao segundo termo da integração. Fig. 8.9 (a) (b)

15 15 Integrando ambos os lados dessas regiões tem-se Diferenciando com relação a z tem-se Note que se X e Y são variáveis aleatórias não negativas, então: Fig. 8.10

16 16 Exemplo 8.5: X e Y são variáveis aleatórias conjuntamente gaussianas com média zero, tal que Mostre que a relação Z = X / Y tem uma função densidade de probabilidade de Cauchy centrada em Soluçao: Usando a fato de que onde Cauchy centrada em

17 17 Integrando-se f Z (z), obtém-se Exemplo 8.6: Obtenha Solução: Mas representa a área de um círculo de raio Diferenciando com relação a z, tem-se

18 18 Exemplo 8.7 : X e Y são variáveis aleatórias independentes com distribuição normal, ambas com média zero e variância Determine se Solução: Tomando a f.d.p. de duas v.a.`s conjuntamente gaussianas com e substituindo em f Z (z) onde Portanto Z é uma v.a. exponencial com parâmetro Exemplo 8.8 : Seja Encontre Solução:

19 19 Diferenciando com relação a z, tem-se Supondo que X e Y são v.a.`s independentes gaussianas Que representa uma distribuição de Rayleigh. Portanto representa a magnitude de um v.a. complexa do tipo Z = X + jY. Então o que dizer da fase Fazendo e

20 20 Fazendo e supondo que X e Y são v.a.s gaussianas com e considerando ainda que a fase principal de está no intervalo pode-se mostrar que U tem distribuição de Cauchy, f.d.p. Que resulta em: Em resumo: A magnitude e fase de uma v.a. gaussiana complexa com média zero tem distribuição de Rayleigh e distribuição uniforme respectivamente.

21 21 Line of sight signal (constant) Multipath/Gaussian noise Considere agora no exemplo 8.8 que X e Y tem médias e, respectivamente (diferentes de zero). Então tem distribuição de Rician. Tal esquema é usado para modelar situações de desvanecimento em múltiplos caminhos, onde há uma componente dominante constante adicionado a um ruído gaussiano com média zero. A parte constante é devido à componente do sinal em visada direta, enquanto que a v.a. gaussiana com média zero corresponde às componentes devido aos múltiplos caminhos aleatórios adicionadas incoerentemente. (veja o diagrama abaixo). A envoltória de tais sinais tem uma f.d.p. de Rician. Rician Output

22 22 Exemplo 8.9: Considerando ainda exemplo 8.8, onde X e Y tem médias diferentes de zero. Solução: onde

23 23 Exemplo 8.10: Determine Solução: As funções max e min são não lineares Assim: Fig (eventos disjuntos) Se X e Y forem independentes

24 24 W = min(X, Y). Isto significa que (a) (c) Se X e Y forem independentes:

25 25 Exemplo 8.11: Seja X e Y v.a.`s independentes com distribuição exponencial com parâmetro. Determine Se Mas, Substituindo Assim W = min ( X, Y ) é ainda exponencial com parâmetro 2.

26 26 Solução: como X e Y assumem somente valores inteiros o o mesmo é verdadeiro para Z. Logo dá um número finito de opções para X e Y. Assim, se X= 0, então Y deve ser n; se X = 1, então Y deve ser n-1, etc. De modo que o evento é a união de (n + 1) eventos mutuamente exclusivos dado por: que resulta Exemplo 8.13 (caso discreto): Seja X e Y variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson com parâmetros e respectivamente. Determine a f.d.p. de Z=X+Y.

27 27 Se X e Y são independentes, então O que representa a f.d.p. de uma variável aleatória de Poisson com parâmetro Isso significa que a soma de duas variáveis aleatórias independentes, com distribuição de Poisson, é ainda uma variável aleatória de Poisson.


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