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Centro Universitário Franciscano Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: ENSINAR E APRENDER AS QUATRO OPERAÇÕES.

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1 Centro Universitário Franciscano Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: ENSINAR E APRENDER AS QUATRO OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS NO 7° ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL Mestrando: Mestrando: Ana Paula Magalhães de Abreu Orientadora: Orientadora: : Profª. Drª. Silvia Maria de Aguiar Isaia

2 Cenários e Sujeitos Uma turma do sétimo ano do Ensino Fundamental de uma escola Municipal, com 15 alunos, com idade de 11 a 16 anos. Durante 10 aulas foram analisadas as atividades de quatro duplas.

3 Foto da turma 72 com a professora. Professora

4 Conhecimento Escolar a ser Desenvolvido As Quatro Operações com números inteiros

5 PRIMEIRA AULA Questionário de levantamento dos conhecimentos prévios Objetivo: verificar os seus conhecimentos prévios dos alunos sobre as quatro operações matemáticas, utilizando o conjunto dos números inteiros. Os alunos responderam ao questionário, sendo que os mesmos já haviam estudado com a professora da turma este conteúdo, mas com outra metodologia. A partir das informações obtidas, foram organizadas as aulas seguintes, podendo-se, assim, estruturar atividades de acordo com o grau de informação que a turma descreveu. Contudo constatou-se falhas de compreensão a partir da questões colocadas como pode se perceber a seguir.

6 1) O que vocês sabem ou entendem sobre o conjunto dos números naturais? E sobre o conjunto dos números inteiros? Dos quinze alunos da turma, treze responderam: não sabemos ou não lembramos, e apenas dois alunos responderam de forma diferente dos demais: números naturais são: {1,2,3,4,5,6,7,8,9} e inteiros são: {1,2,3,...} sei tudo. Dos alunos três responderam que não sabiam, os demais responderam de forma correta, indicando que as quatro operações são: adição, subtração, divisão e multiplicação, oito alunos explicaram que: na adição usa a soma, na divisão se divide, na subtração se subtrai, e na multiplicação se multiplica. 2) Quais são as quatro operações matemáticas? O que vocês sabem sobre cada uma delas?

7 Apenas dois citaram exemplos como: Os números das casas ou Propagandas da TV (televisor). Os demais disseram que não sabiam nenhum exemplo. 3) Existe diferença entre as operações com números naturais e as operações com números inteiros? De modo geral os alunos ficaram confusos ao tentar responder, indicando que não conseguiam diferenciar os dois termos. Por parte de todos os alunos da turma houve dúvida sobre o significado da palavra cotidiano, assim foi explicado o seu significado. 4) Cite algumas situações do cotidiano nas quais podemos usar os números inteiros:

8 Apenas dois alunos responderam errado, dizendo que o desconto foi de R$ 3,00 (três reais), os demais responderam corretamente que era uma operação de subtração, na qual o desconto foi de R$4,00. Somente um aluno respondeu que teve dificuldades. Foi possível perceber que os alunos souberam resolver o problema, sem apresentar dificuldades.. 5) Supondo que vocês ficassem sabendo da seguinte informação: Na sua escola, uma editora irá oferecer livros por um preço mais barato. De R$25,00 passará a custar R$21,00. O que você entende? Que operação pode-se fazer para chegar neste preço? Quantos reais o livro teve de desconto?. 6) Vocês encontraram dificuldades para resolver o problema acima? Quais?

9 Como grande parte da turma não sabia o que era o material concreto, dez alunos responderam que não, os demais responderam que sim. Foi observado que no momento inicial da pesquisa, os alunos não tinham muita certeza do que escreviam, por isso não conseguiam se expressar, nem explicar sua idéia no papel. Grande parte da turma perguntou à professora o que era o material concreto?. Somente três alunos responderam que já haviam trabalhado com material concreto. Um aluno disse que o material concreto era o lápis e a borracha outro aluno disse que já trabalhou, mas nunca manuseou; os demais alunos da turma disseram que não haviam trabalhado com o material concreto. 7) Vocês já trabalharam com o material concreto? Em caso afirmativo cite quando foi usado 8) Se vocês já trabalharam com o material concreto respondam esta questão: O material concreto auxiliou na compreensão e resolução de problemas?

10 Atividades introduzindo o conceito de adição e subtração de números inteiros utilizando o material concreto. Objetivo: Manusear as fichas livremente, e em seguida utilizá-las para resolver expressões e situações-problema com os números inteiros que envolvam fatos do cotidiano. A turma se organizou em duplas para realizar as atividades em sala de aula. Para manter o anonimato dos alunos, cada dupla recebeu uma letra. Foram selecionados 8 alunos, os quais mantiveram-se fiéis as suas duplas e presentes em todas as aulas. As duplas pesquisadas foram: B, C, D e G. SEGUNDA AULA

11 Primeiro momento: foi entregue a turma, para analisar, um termômetro, apresentando aproximadamente 40 cm de comprimento, ou seja, de tamanho maior do que eles conheciam, para que visualizassem melhor as unidades no termômetro, as unidades positivas e as unidades negativas e as respectivas distâncias entre as unidades. Também foi entregue a cada dupla um quite, contendo canudinhos de refrigerante, palitos de picolé, dinheiro falso, contendo cédulas de R$1,00, R$2,00, R$5,00, R$10,00, R$20,00, R$50,00 e R$100,00, 10 fichas vermelhas e 10 fichas azuis. Este quite foi entregue a cada dupla no início de cada aula e recolhido ao seu final.

12 1) Os termômetros abaixo indicam as temperaturas, máxima e mínima, registradas num certo dia nas cidades A, B, C e D: a)Analisando os termômetros, identifique a temperatura máxima A questão a, todos responderam de forma correta,

13 Foto das duplas manuseando o termômetro de forma ilustrativa.

14 Duas duplas responderam de forma correta, após o auxílio da professora, pois estavam errando ao somar temperaturas negativas com temperaturas positivas. cidade A: máxima = +12 e mínima = +2 cidade B: máxima = +20 e mínima = +15 cidade C: máxima = 0 e mínima = - 5 cidade D: máxima = - 2 e mínima = -10 b)Quais as temperaturas, máxima e mínima, registradas num certo dia nas cidades A, B, C e D: Todas as duplas responderam: c) Qual a soma das temperaturas máximas? E das mínimas?

15 As duplas B e C responderam o seguinte: a temperatura máxima foi de 27º e temperatura mínima foi de 2º, fazendo os cálculos numa folha de rascunho. A dupla D colocou de forma errada, respondendo o seguinte: a temperatura máxima foi de 0º e a mínima foi é 0º. Pela sua resposta pode-se perceber que eles não leram com atenção o enunciado e nem analisaram de forma correta o desenho da atividade. A dupla G em sua resposta colocou de forma incorreta: A temperatura máxima foi de 37º e a mínima foi de 32º. Somaram todas as temperaturas, ignorando o sinal delas, não levando em consideração que algumas eram negativas.

16 2) Conforme o modelo de termômetro da atividade anterior desenhe os termômetros que indiquem as seguintes temperaturas: a) -2ºC b) +20ºC Alguns se basearam no modelo da atividade um e fizeram igual. Nas letras a e b, todos desenharam de forma correta e marcaram as temperaturas pedidas -2ºC e 20ºC, respectivamente. Segue o desenho feito pela dupla C:

17 A ficha vermelha representa uma unidade negativa; A ficha azul representa uma unidade positiva. No primeiro momento da aula 2, os alunos manusearam as fichas livremente e em seguida utilizaram-nas para resolver as atividades propostas. Para resolvê-las os alunos utilizaram fichas vermelhas e azuis, sempre tendo o conceito de que: INTRODUÇÃO DO CONCEITO DE ADIÇÃO

18 a)Quanto obtemos ao adicionarmos três fichas azuis com duas fichas azuis? b) Quanto obtemos ao adicionarmos três fichas vermelhas com duas fichas azuis? c) Quanto obtemos ao adicionarmos duas fichas vermelhas com três fichas azuis? d) Quanto obtemos ao adicionarmos duas fichas vermelhas com três fichas vermelhas? Nas questões a, b, c e d, os alunos tinham que construir a expressão que correspondesse à frase, e montá-la utilizando as fichas para fazer a sua representação

19 Resolução da dupla C na questão a sobre a adição. Seguem os desenhos das fichas feitos pela dupla C com relação às questões a, b, c e d. Resolução da dupla C na questão b sobre a adição.

20 Resolução da dupla C na questão c sobre a adição. Resolução da dupla C na questão d sobre a adição.

21 a) Quantas fichas obtemos quando temos três fichas azuis e retiramos duas fichas azuis? INTRODUÇÃO DO CONCEITO DE SUBTRAÇÂO Restou uma ficha azul que representa o número (+1). Assim das três fichas azuis, eles retiraram duas das que já tinham e ficaram com uma ficha azul, que representa o número 1 positivo. A resposta correta com a representação adequada foi dada pela dupla B:

22 b) Quantas fichas obtemos quando temos quatro fichas vermelhas e retiramos duas fichas vermelhas? Seguem as repostas de alguma das duplas: Resolução da dupla B: Restaram duas fichas vermelhas que representam o número (-2). A ilustração da questão desta dupla está clara e correta, das quatro fichas vermelhas retiraram-se duas fichas, ficando apenas com duas fichas vermelhas, que representam o número dois negativo, -2.

23 Resolução da dupla C e G: O desenho que a dupla C fez no seu material de registro evidencia que eles não souberam expressar a operação aritmética através das fichas no papel. Enquanto que, trabalhando com as fichas concretamente a dupla resolveu a questão de modo correto. Conclui-se que a dupla não soube expressar a sua ideia corretamente no material de registro

24 2) Efetuem os seguintes cálculos: a)(+2) + (+4) = ________ Na questão a, as 4 duplas responderam de forma correta, mas nem todas as duplas utilizaram inicialmente as fichas. Todas as duplas fizeram à representação da expressão em suas classes da seguinte maneira: Totalizam 6 fichas azuis.

25 A dupla D representou da seguinte maneira em sua classe: Restaram 2 fichas vermelhas. b) (+2) + (- 4) =________

26 As atividades a seguir foram primeiramente desenhadas no quadro verde, pela professora, afim de que os alunos compreendessem o significado das fichas azuis e vermelhas. Tem-se 3 fichas vermelhas mais 5 fichas azuis; como se sabe uma ficha vermelha representa o número –1 e uma ficha azul representa o número +1. Portanto quantas fichas restaram e de que cor. Restaram duas fichas azuis

27 Tem-se duas fichas vermelhas mais uma ficha azul. Portanto quantas fichas restaram e de que cor. Uma fichas azuis

28 Escrevam a expressão que corresponde ao desenho. Restaram três fichas azuis. A resposta apresentada indica que os alunos compreenderam o processo de utilizar as fichas e seus significados. Todas as duplas escreveram corretamente a expressão que representava o desenho, respondendo da seguinte maneira: (-2) + (+5) = +3

29 Pelo desenvolvimento da aula e pelos resultados obtidos, foi observado que a dificuldade dos alunos de interpretar as informações que os exercícios forneciam ou pediam, se dava pelo fato de que eles inicialmente tendiam a responder muito rápido e acabavam não acertando as questões por detalhes, por falta de atenção. Num segundo momento, a professora intermediava as atividades de acordo com os passos da resolução de problemas (Polya, 1978). Além disso, as duplas discutiam entre si para compreender como resolver as atividades. Em alguns momentos os componentes de cada dupla não pensavam da mesma forma, assim discutiam entre si qual a maneira correta de resolver a atividade até chegarem a um consenso.

30 Atividades introduzindo o conceito de adição e subtração de números inteiros através de situações-problema. Objetivo: Resolver problemas que envolvessem as operações de adição e subtração de números inteiros utilizando o material concreto como instrumento mediador no processo de aprendizagem, relacionando-os com o cotidiano dos alunos. As situações-problema desenvolvidas na Aula 2, foram elaboradas a partir de situações que ilustrassem o dia-a-dia dos alunos fora do ambiente escolar, e estes apresentavam subsídios para se trabalhar em sala de aula. A composição das duplas permaneceu a mesma das aulas anteriores. As duplas apresentaram maior entrosamento entre elas, com os demais colegas e, principalmente, com a professora pesquisadora, pois eles sentiam-se a cada aula que se passava mais a vontade. TERCEIRA AULA

31 1) Na sala de Fernando há 18 meninos e 23 meninas. a) Quantas crianças há na sala? b) E na sua sala, quantos são meninos? c) Quantas são meninas? d) Quantos são ao todo? No problema 1, as duplas tinham que analisar os dados do problema para responder as questões referentes a ele. Na questão a, das 4 duplas pesquisadas, somente as duplas B e G responderam de forma correta somando o número de meninos com o número de meninas ( = 41). Esta questão é de nível fácil e sua resolução é de forma direta. Já as demais duplas não responderam a pergunta, deixaram-na em branco. Acredita-se que não tenham resolvido por falta de atenção e não por dificuldades. Todas as duplas resolveram sem maiores dificuldades e de forma correta as questões b e c. Quanto à questão d, todos a acertaram sem problemas. Nesta questão eles tinham que somar o número de alunos da sua turma, algo com o que eles se identificaram intimamente. 1

32 2) Rafael e Sérgio foram para uma festa na escola, na banca de derrubar latas, Rafael jogou a 1ª bola e derrubou três latas, Sérgio jogou a 2ª bola e derrubou duas latas. 2

33 a)Baseado na figura, quantas latas há no jogo? b) Quantas bolas foram jogadas por Rafael e Sérgio? c) Quantas latas Sérgio derrubou? d) Quantas latas Rafael derrubou? e) Quantas latas faltam para ser derrubadas? No problema 2, na questão a, era necessário apenas contar quantas latas aparecem no desenho disponíveis para serem derrubadas. Apenas a dupla B errou a questão e as demais duplas a acertaram. Eles apenas contaram o número de latas na figura e escreveram a quantidade exata no seu material de registro. A questão b era uma questão de leitura e interpretação do enunciado do problema.

34 Todas as duplas responderam corretamente, menos à dupla C, que disse: Rafael jogou 1 bola e Sérgio jogou 2 bolas. Este erro ocorreu pela falta de atenção na interpretação dos dados do problema e não na resolução do mesmo. Na questão c, apenas a dupla B respondeu: nada. Esta resposta se justifica pelo mesmo motivo que a dupla C errou a questão b. As demais duplas responderam de forma correta esta questão. Todas as duplas responderam de forma correta a questão d. E, para a questão e, a dupla B respondeu: 7 latas, enquanto que as demais duplas responderam corretamente, mostrando seguir corretamente os passos da resolução de problemas, conforme Polya (1978).

35 3) Ana foi a uma loja com suas amigas levando R$50,00. Gastou R$24,00 e emprestou o restante para sua amiga Luíza. a) Com quantos reais Ana ficou? b) Quanto ela emprestou para Luíza? c) Se Ana, após emprestar o dinheiro para Luíza, fosse comprar um vestido de R$72,00, o que aconteceria? Sobraria dinheiro ou faltaria? Quanto? Neste problema as duplas ficaram bastante entusiasmadas com o uso do dinheiro falso como material concreto. Os alunos identificaram esta questão com atividades do seu dia-a-dia. No problema 3, na questão a, apenas a dupla B respondeu de forma incorreta. Já as demais duplas responderam que: Ana não com ficou nada, mostrando assim que entenderam a pergunta e trocaram ideias, discutiram entre si para chegar à resposta correta. Na questão b, a dupla C deixou a questão em branco, já as demais duplas responderam-na corretamente. 3

36 Foto das duplas utilizando o dinheiro falso como instrumento didático na realização das atividades.

37 Na questão c, as duplas tinham que interpretar o que o enunciado do problema informava para responder corretamente esta questão. Todas as duplas responderam-na de forma incorreta. O problema já diz que Ana tinha levado R$50,00, que tinha gasto R$24,00 e que o restante havia emprestado para sua amiga, ou seja, ela não tinha mais dinheiro para comprar alguma coisa na loja. A dupla D, por exemplo, respondeu: faltariam 22,00 reais. O erro cometido pelas duplas nesta questão está na interpretação do enunciado do problema.

38 PessoasIdades Luiza43 Naiane33 Luana16 Sérgio13 Felipe12 Sandro11 Ricardo10 4) Analisando a tabela abaixo, respondam as perguntas: a)Qual a idade da pessoa mais nova? b)b) Qual a idade da mulher mais nova? c) Qual a idade do homem mais velho? d) Quantos anos Luiza é mais velha do que Naiane? 4

39 e) Quantos anos Naiane é mais velha do que Luana? f) Duas pessoas têm juntas 45 anos. Quais são elas? g) Juntando a idade de duas pessoas corresponde a idade da 3ª pessoa. Quais são essas três pessoas? Existem outras três com as quais isso ocorre? No problema 4, na questão a, as duplas tinham que identificar na tabela a idade da pessoa mais nova. Resolvendo de forma direta todas as duplas responderam corretamente a idade da pessoa mais nova, mas não justificaram de quem era essa idade. Nas questões b e c, as duplas tinham que identificar na tabela a idade da mulher mais nova e do homem mais velho. Todos responderam corretamente esta questão, identificando as idades correspondentes.

40 Na questão d os alunos utilizaram a operação subtração para chegar ao resultado correto. Foi possível observar que no momento que as duplas precisaram fazer cálculos para chegar ao resultado, utilizaram o material concreto. Neste caso usaram canudinhos. Se faltava material devido ao número ser um valor alto as duplas compartilhavam o material entre si. A interação entre os grupos foi fundamental, a troca de ideias deu mais segurança as duplas e assim, elas não precisaram tanto da ajuda da professora pesquisadora para resolver estas atividades. Na questão e o processo para chegar ao resultado é o mesmo da questão d. Todas as duplas chegaram ao resultado correto, com exceção da dupla D. Na questão f, todas as duplas acertaram esta questão.

41 Houve bastante interação e questionamentos entre as duplas sobre essa questão. Alguns alunos citavam dois nomes e outros não concordavam, a interação era mútua, não somente entre as duplas, mas entre todos na sala de aula. Na questão g todos analisaram corretamente, exceto a dupla B. A resposta desta dupla foi: Felipe + Sandro + Ricardo = Naiane. Este raciocínio não está errado, mas o problema pedia a idade de duas pessoas cuja soma é a idade de uma terceira pessoa e neste caso eles usaram quatro pessoas e não três.

42 TimesGols feitos Gols sofridos Saldo de gols Representação matemática do saldo de gols Grêmio1266 feitos São Paulo15 0 Cruzeiro1248 feitos Internacional5105 sofridos Juventude7103 sofridos 5) No ano de 2008, tivemos o Campeonato Brasileiro e nele participaram diversos times de todos os estados do Brasil. O jornal local de nossa cidade destacou a colocação na tabela de pontos de apenas alguns times que estão localizados abaixo: Tabela do Campeonato Brasileiro de

43 a)Complete a coluna da representação matemática do saldo de gols: b)b) Represente na reta numérica abaixo a classificação dos times de acordo com o saldo de gols: c) Quem obteve a melhor classificação? Por quê? Quem obteve a pior classificação? Por quê? d) Quem ficou com saldo de gols nulo? Por quê? No problema 5, o primeiro assunto que surgiu foi da disputa dos times Inter e Grêmio, e na aula foi criado um momento de descontração e de brincadeiras por serem times que geram uma polêmica saudável entre os alunos.

44 Neste problema, as duplas tinham que analisar as informações da tabela, completá-la e em seguida responder o que foi pedido. A dúvida dos alunos foi em qual posição, se antes ou depois do número se coloca o sinal na representação matemática. Na questão a, a dupla B ao representar matematicamente o saldo de gols, colocou o sinal depois do número ao invés de colocá-lo na frente do número, por exemplo: 6+. Já a dupla C, errou a representação, pois não entendeu o enunciado da questão. Por exemplo, para o time do Grêmio a representação matemática do saldo de gols foi: +12 – 6 – 6 =. As outras duplas representaram corretamente o saldo de gols como o problema pedia. Na questão b, as duplas tinham que representar na reta numérica a classificação dos times de acordo com o saldo de gols. Neste momento foi relembrado o que é a reta numérica para o conjunto dos números naturais.

45 A dupla B colocou os pontos na reta numérica, mas de forma incorreta e sem identificar os times. Porém a dupla C, preencheu os pontos na seqüência correta, mas não colocou o saldo de gols dos times da tabela e nem identificou os times conforme sua classificação. Já as demais duplas completaram a reta numérica na forma correta como o problema pedia. Na questão c, todas as duplas acertaram corretamente. As justificativas foram: dupla G Cruzeiro porque eles tem mais pontos e o Inter porque tem menos pontos. A dupla C respondeu o seguinte: Cruzeiro porque fez 8 gols e o Juventude porque levou 3 gols; nesta resposta a dupla não interpretou bem as informações da tabela, e por isto não respondeu corretamente o item c do problema. Na questão d, todos identificaram o porquê da classificação do São Paulo, justificando a questão corretamente.

46 Conforme a descrição do desenvolvimento da Aula 2 houve muita interação e também questionamentos sobre o modo de resolver as atividades, entre os componentes das duplas, entre as duplas e com a professora pesquisadora. As duplas inicialmente elas tiveram dúvidas, por terem que desenvolver as atividades de um modo com o qual não estavam habituadas a trabalhar.. Em alguns momentos o processo para resolução das atividades foi modificado e o aluno compreendeu melhor o que estava fazendo. Em todas as atividades procurou- se seguir os passos da Resolução de Problemas. Não se pode deixar de enfatizar que no ensino de Matemática, não importa apenas se a criança responde corretamente um algoritmo, mas sim quais foram os métodos e as relações utilizadas por ela para obter o resultado da operação (RABELO, 2002).

47 Atividades introduzindo o conceito de adição e subtração de números inteiros através de situações-problema. Objetivo: Criar e resolver problemas do cotidiano do aluno, usando as operações de adição e subtração de números inteiros. Na aula 3 os alunos criaram e resolveram problemas relacionados ao cotidiano, utilizando as operações de soma e subtração de números inteiros. TERCEIRA AULA

48 Nesta aula, a turma apresentou dificuldades para elaborar os problemas e também quanto à redação dos mesmos. Foi observado que nos diálogos os alunos trocaram ideias, discutiram, sugeriram, mas na hora de escrever sempre esperavam pelo colega e, com isso, o desenvolvimento da atividade foi bem mais lento. A pesquisadora procurou orientá-los, deu dicas, sugestões de problemas e todos ficaram bem atentos a estas explicações. Assim foi proposta a atividade: Utilizando os seus conhecimentos sobre adição e subtração, usem a imaginação e inventem um problema que envolva números inteiros, cuja resposta seja: a) R$15,00 b) 10

49 Eles tinham que criar um problema e devido as muitas dificuldades apresentadas, a professora pesquisadora deu algumas dicas para lembrá-los, por exemplo, de situações ocorridas na escola, em casa, na rua quando saiam com seus amigos e pais. Na questão a todas as duplas criaram os seus problemas, abordando assuntos diferentes, uns com enunciados mais simples ou diretos e outros mais detalhados. Seguem os problemas criados por duas duplas. Atividade 1

50 Problema da dupla B: Maria tinha R$30,00, foi ao mercado e comprou uma massa de lasanha que custava R$7,00 e uma lata de óleo que custava R$3,00 e mais R$5,00 de pão. Ao total quanto deu? E quanto sobrou?. Na resolução eles colocaram o seguinte: (7) + (3) + (5) = +15, então deu R$15,00 no mercado e sobraram R$15,00. Problema da dupla C: Amanda ganhou de seu pai R$10,00 e achou R$5,00. Com quantos reais ela ficou?. Na resolução a dupla colocou: Ela ficou com R$15,00. 10,00 +5,00 15,00

51 Na questão b todos formularam problemas interessantes de assuntos diferentes, uns mais fáceis e outros mais elaborados. Também surgiram problemas cuja resposta não era 10. Na sequência estão os problemas criados por duas duplas. Problema da dupla B: Um grupo de jovens tinha 4 pessoas e no outro grupo tinha 6 pessoas. Quantas pessoas tinham ao total?. Na resolução colocaram: 6+4=10 Problema da dupla C: Bianca tinha 20 pirulitos, comeu 10 deles. Quantos pirulitos ela ficou?. Na resolução responderam: Ela ficou com 10 pirulitos.

52 Na questão C somente as duplas C e D, formularam e resolveram corretamente seus problemas. As demais não o acertaram. Problema da dupla C: A temperatura da cidade era de 0ºC e diminuiu 3ºC. Com quantos graus ficou na cidade?. A dupla colocou a seguinte resposta: A cidade ficou com –3ºC. Problema da dupla D: Ana apostou 10 canetas que Rodrigo não ia ganhar o jogo, mas ele ganhou, só que Ana tinha somente 7 canetas. Quantas canetas ela ficou devendo?. Na resolução tinha somente: -3.

53 Com base no cardápio do bar de nossa escola, apresentado na seqüência, invente uma situação-problema e resolva: Nesta atividade as duplas pesquisadas criaram problemas semelhantes, colocaram o resultado, mas não desenvolveram os cálculos. Todos os problemas envolveram dinheiro e para resolvê-los as duplas utilizaram dinheiro falso. Esta atividade foi feita de modo bem descontraído. As duplas interagiram de forma divertida e ao mesmo tempo interessadas em resolver a atividade. Lanches Cachorro-quente R$2,00 Bauru R$3,00 Torrada R$1,00 Suco de laranja R$1,00 Refrigerante R$2,00 Sorvete (duas bolas) R$3,00 Atividade 2

54 Dupla B: A Maísa foi ao bar, ela tinha R$5,00, o que ela podia comer?. Responderam o seguinte: A Maísa podia comer um cachorro-quente que custava R$2,00 e comprou mais duas bolas de sorvete que custava R$3,00, ao total gastou os R$5,00. A dupla elaborou um problema simples, que pode ter mais de uma resposta. Dupla C: Pietro tem R$10,00, e ele quer comprar no bar da escola uma torrada de R$1,00 e um refrigerante de R$2,00. Quantos reais ele gastou? E quanto sobrou? Responderam o seguinte: Ela gastou R$3,00 e sobrou R$7,00.

55 Nesta aula foi possível perceber que as aulas tornam-se bem mais produtivas quando os alunos têm que resolver problemas de matemática relacionados ao seu cotidiano, ou situações- problema, do que simplesmente resolver contas matemáticas sem nenhum significado para eles. Outro fator interessante que não se pode deixar de destacar é a troca de ideias e sugestões para resolver os problemas, muitos dividiram as tarefas, mas, por fim discutiram suas soluções, trocaram informações e, desta forma, foram formando novos conceitos.

56 Assim, o conhecimento do aluno é elaborado pela interação dos conceitos matemáticos com os não matemáticos, e dos conceitos do dia-a-dia com os científicos e através desta interação a matemática tem significado para o aluno. Também foi possível perceber que os alunos apresentaram muitas dificuldades para elaborarem problemas ou situações envolvendo soma e subtração de números inteiros, a partir de uma resposta dada. Convém também destacar a utilização do material concreto na resolução dos problemas. Na maioria das situações as duplas utilizaram dinheiro falso para resolvê-las. As duplas demonstraram bastante empolgação por esta situação ser semelhante ao que se usa no dia-a-dia.

57 Atividades introduzindo o conceito de multiplicação com números inteiros. Objetivo: Manusear as fichas livremente, e em seguida utilizá- las para efetuar a operação multiplicação. A partir da aula 4, as atividades começaram a se tornar mais difíceis para os alunos pois eles se depararam com a operação de multiplicação entre números inteiros positivos e negativos ou entre números inteiros negativos. Mas no decorrer do desenvolvimento das atividades as dúvidas foram sendo esclarecidas e assim os alunos conseguiram resolver as atividades propostas uns com mais dificuldades e outros não. Inicialmente foi proposta a seguinte atividade: QUARTA AULA

58 a) Quantas fichas obtemos adicionando dois grupos com três fichas azuis cada um? Nesta questão, a proposta era trabalhar com a multiplicação de números inteiros através da adição. Como os alunos estavam com dificuldades para resolvê-la a professora pesquisadora explicou no quadro alguns exemplos semelhantes, colou as fichas no quadro montando operações de multiplicação entre números inteiros com a participação da turma e assim eles perceberam que a multiplicação de números com sinais iguais, nada mais é do que adicionar várias vezes a mesma quantidade. A partir deste momento ficou mais fácil para eles prosseguirem com as atividades. Nesta questão os alunos realizaram a operação trabalhando com as fichas em suas classes até chegar ao resultado, colocando em seu material de registro somente as respostas.

59 Resolução de duas duplas: A dupla B se expressou assim: 2 x 3 = 6 positivo. E a dupla G colocou somente o desenho: b) Quantas fichas obtemos adicionando dois grupos com três fichas vermelhas cada um? Já nesta questão, bastante semelhante à questão a, as duplas resolveram com mais facilidade. Seguem as resoluções:

60 Resolução de duas duplas: A dupla B colocou somente: 6 negativo. A dupla D colocou: menos seis (-6). c) Quantas fichas obtemos adicionando dois grupos com duas fichas azuis em cada grupo? Na questão c, a dupla G colocou como resposta zero para esta questão, isto mostra que a dupla não desenvolveu o seu raciocínio utilizando as fichas inicialmente e também não fez um retrospecto para ver se a resposta estava correta. Já as demais duplas responderam corretamente. As duplas B, C e D colocaram como resposta: +4.

61 d) Quantas fichas obtemos retirando dois grupos com duas fichas vermelhas em cada grupo? Na questão d as duplas responderam: A dupla B colocou: 3 negativo como resposta. A dupla C colocou: (-2) x (-2) = +4. A dupla D colocou: 0. A dupla G colocou: -2. Analisando as respostas das duplas, observa-se que somente a dupla C respondeu corretamente a pergunta. Quanto às demais duplas se nota que elas não utilizaram o material concreto para representar o que pedia o enunciado da questão, e desta forma também não fizeram uma revisão do resultado para ver se tinham respondido corretamente.

62 e) Quantas fichas obtemos adicionando três grupos com uma ficha vermelha em cada grupo? Todas as duplas responderam erradamente a questão e. Isto mostra que elas não realizaram a operação primeiramente utilizando o material concreto. As respostas foram: A dupla B colocou: 9 negativo como resposta. A dupla C colocou: (-3) x (-1) = +2. A dupla D colocou: -9. A dupla G colocou: 5. Para esta questão a representação correta e sua resposta seriam: totalizando

63 f) Quantas fichas obtemos retirando quatro grupos com duas fichas vermelhas em cada grupo? Na questão f as duplas responderam: A dupla B colocou: -2 como resposta. A dupla C colocou: (-4) x (-2) = +8. A dupla D colocou: -2. A dupla G colocou: +8.

64 Analisando as respostas das duplas, percebe-se que somente as duplas C e G responderam corretamente, sendo que a dupla C registrou no seu material de registro a expressão correspondente ao que foi pedido, porém a dupla G colocou somente a resposta. No segundo momento da aula 5, os alunos trabalharam com expressões matemáticas. Nesta situação ficou a critério do aluno utilizar ou não o material concreto para realizar as operações. Analisando o desenvolvimento deles no decorrer desta atividade foi possível perceber que praticamente todas as duplas usaram as fichas, pois eles apresentaram mais facilidade em manuseá-las para fazer as operações do que na atividade seguinte quando as fichas apresentam-se desenhadas e a partir do desenho os alunos precisam construir a representação matemática.

65 2) Utilizem as fichas, para efetuarem os cálculos a seguir: a) (+3) x (+2) = b) (+4) x (+1) = c) (+3) x (-2) = d) (+4) x ( -1) = e) (-3) x (+2) = f) (-3) x (-2) = Nesta atividade algumas duplas desenvolveram as questões utilizando o concreto, já outras não o utilizaram e acabaram cometendo erros. Na sequência está o processo de resolução das duplas para as questões acima.

66 A dupla B desenvolveu de forma correta as questões a, b, c, d e e, apenas errou a questão f, colocando o sinal errado no resultado. Nesta questão a dupla tinha que criar zeros com as fichas para resolvê-la corretamente. A dupla C desenvolveu de forma correta as questões a, c, e, f. Ela errou as questões b e d, pois ao invés de realizar a operação de multiplicação dos números a dupla somou, obtendo assim o resultado incorreto. A dupla D desenvolveu de forma correta as questões a, b, e e e errou as questões c, d e f pois não utilizou corretamente as fichas para a resolução das operações.

67 A dupla G resolveu todas as atividades corretamente, mostrando bastante interesse e gosto por utilizar o material concreto, abaixo se tem as soluções da dupla utilizando as fichas: a) totalizando b) totalizando c) totalizando

68 d) totalizando e) totalizando f) totalizando

69 No terceiro momento da aula 4, o objetivo era que os alunos construíssem as expressões matemáticas a partir do desenho das fichas em seu material de registro. Neste momento eles sentiram bastante dificuldade, pois tinham que interpretar o que o desenho informava. Para fazer esta atividade as duplas interagiram entre elas e a troca de informações foi fundamental para se chegar à solução da atividade totalizando As duplas analisaram a representação por fichas e escreveram a operação multiplicação correspondente. Para trabalhar inicialmente com a multiplicação as duplas tinham como informação que multiplicar um número inteiro por um número inteiro positivo significa adicionar várias vezes a mesma quantidade. Ao observar as representações por fichas, as duplas podiam escrever as expressões utilizando a operação de adição também.

70 Resolução de algumas das duplas: As duplas B e G colocaram a expressão: 2 x 3 = +6, de forma correta. A dupla C escreveu a expressão: (+2) x (+3) = +6, também de forma correta. Esta dupla também representou o desenho. totalizando Resolução de algumas das duplas: As duplas C e G responderam: (+2) x (-3) = -6, colocando de forma correta a expressão que correspondia ao desenho das fichas. A dupla B colocou em sua resposta: (+2) x (+3) = +6; analisando a resposta a dupla não levou em consideração nesta questão que estava se trabalhando com as fichas de cor vermelha, e que estas representam números negativos, assim acabaram errando.

71 Conforme o desenvolvimento das atividades desta aula, percebe-se como os alunos apresentam muitas dificuldades na compreensão desta operação. Já uma abordagem mais frequente utilizada em sala de aula quando se usa a multiplicação, é a relação entre ela e a operação adição, por exemplo: 3 x 4 = = 12. (PCNs, 2000). Destaca-se novamente a importância da interação entre a professora e a turma, pois foi fundamental a troca de informações para que o processo de ensino-aprendizagem ocorresse de forma significativa para os alunos. Ainda pode-se destacar que os alunos não precisam ter um ensino direto, onde o conhecimento é dado de forma clara e simples, não exigindo muito esforço para apresentar um melhor desenvolvimento lógico-matemático, pois ao se deparar com ideias conflitantes, que apresentam muitas dificuldades, isto leva o aluno ao desenvolver seu raciocínio (KAMII, 1991).

72 Situações-problema envolvendo o conceito de multiplicação com números inteiros. Objetivo: Resolver situações-problema envolvendo a operação de multiplicação, utilizando o material concreto como instrumento didático mediador. Na aula 5, os alunos resolveram situações-problema relacionadas ao seu cotidiano as quais envolviam a operação de multiplicação. Em seguida foi feita uma breve leitura dos problemas e explicado cada problema. A turma acompanhou as explicações e depois começou a desenvolver as atividades. Mas a grande dúvida era qual operação usar. Eles chamavam a professora nas mesas antes de resolver para ter certeza do que escrever no registro. Notou-se que uma das grandes dificuldades dos alunos era que ao lerem o enunciado das atividades, não às interpretavam corretamente, ou as liam correndo para terminar rápido. A seguir têm-se os problemas resolvidos por cada dupla e seu respectivo comentário. QUINTA AULA

73 1) No aniversário de Caroline, sua mãe comprou 3 dúzias de balões rosa, 2 dezenas de balões amarelo e 2 dúzias de balões verde. Estavam furados 23 balões. Quantos são os balões rosa? Quantos são os balões amarelos? Quantos são os balões verdes? Quantos balões ficaram? E quantos balões tinham ao total? Resolução de duas duplas: Dupla D: colocou em seu material de registro a seguinte resposta 36 balões rosas, 24 balões amarelos e 24 balões verdes. Assim a sua resposta ficou incompleta. A dupla não respondeu a todos os questionamentos e para calcular a quantidade de balões amarelos, a dupla não leu com atenção o que pedia o problema. No enunciado era pedido 2 dezenas de balões amarelos e a dupla calculou 2 dúzias, assim respondendo de forma incorreta. Dupla G: respondeu são 36 balões rosas, 20 balões amarelos, 24 balões verdes, ficaram 57 balões e ao total tinham 80 balões. A dupla desenvolveu de forma correta o problema, interpretou todas as informações, interagiu entre si para chegar à resposta correta.

74 2) Ana Luiza foi ao supermercado com seu pai para comprar bebidas. Eles compraram 3 caixas, contendo 12 garrafas cada caixa. Quantas garrafas foram compradas? Se cada garrafa contém 500 ml de bebida, quantos litros tem cada caixa? Quantos litros tem ao total as 3 caixas? Resolução de duas duplas: A dupla D respondeu que foram compradas 45 garrafas, contém em cada caixa 6 litros, ao total tem 18 litros. No primeiro momento da resolução a dupla errou a multiplicação, para saber a quantidade de garrafas que foram compradas, já para as demais perguntas eles desenvolveram os cálculos corretamente, chegando à resposta esperada. A dupla G respondeu foram compradas 36 garrafas, as garrafas continham 6 litros em cada, e ao total tinham 18 litros. A dupla respondeu com sucesso a todos os questionamentos do problema, desenvolvendo a resolução corretamente.

75 3) Meu álbum de figurinhas tem 40 páginas, em cada página cabem 9 figurinhas. a) Qual é o número total de figurinhas que cabem no álbum? b) Se já tenho colocadas 150 figurinhas. Quantas estão faltando para completá-lo? c) Se cada pacote de figurinhas custa R$2,00, e cada pacote contém 10 figurinhas. Quantos reais vou gastar para conseguir completar meu álbum?

76 Resolução de duas duplas A dupla C, na questão a, colocou tem 360 figurinhas no álbum, respondendo corretamente. Isto mostra que a dupla interpretou as informações e soube realizar os cálculos necessários para obter a resposta desejada. Na questão b, respondeu Faltam 210 figurinhas para completar o álbum, apresentando a resposta correta para esta questão. Na questão c, colocou a seguinte resposta: Vou gastar para conseguir completar o álbum R$42,00. Esta questão exigiu mais atenção da dupla na sua leitura e também na sua resolução para chegar ao resultado correto. As duplas D e G responderam as questões a e b da mesma forma que a dupla C, somente na questão c, que colocaram R$72,00, não conseguindo chegar à resposta certa. As duplas apresentaram mais dificuldades em resolver os cálculos, pois estas questões exigiram mais dos alunos quanto à interpretação e a realização dos cálculos.

77 4) Raquel resolveu alugar sua casa na praia, propondo o seguinte: Casa com 2 quartos e demais dependências, o aluguel mensal é de R$540,00. Sendo assim: a) Se a duração do contrato de aluguel é de 6 meses, quanto ela receberá de aluguel? b) E se for de 12 meses? c) Se alugarem por 4 meses, quanto o inquilino pagará por dia? d) E se alugarem por 14 dias? Resolução de duas duplas: A dupla D: na questão a respondeu R$3240,00, interpretando as informações do problema e realizando desta forma o cálculo correto para obter o resultado desejado. Na questão b respondeu R$6.480,00 também apresentando o resultado correto. Na questão c colocou R$18,00 sendo a resposta correta e na questão d colocou R$252,00 apresentando todos os cálculos corretamente.

78 A dupla G: na questão a respondeu R$3240,00, interpretando as informações do problema e realizando desta forma o cálculo correto para obter o resultado desejado. Na b a dupla respondeu R$6.480,00 também apresentando o resultado correto. Na c colocou R$18,00 sendo a resposta correta e na questão d R$212,00 apresentando um erro na multiplicação dos valores. Isso mostra que eles desenvolveram o raciocínio corretamente, entenderam todos os questionamentos, mas mais uma vez reforçam que na multiplicação apresentam dificuldades.

79 Neste problema ficou clara a dificuldade dos alunos em realizar as multiplicações. Ao final destas atividades a professora pesquisadora juntamente com os alunos da turma deduziu regras de sinais para a operação multiplicação. Nesta aula, foi possível perceber que os alunos possuem mais facilidades para desenvolver atividades quando as operações são realizadas através de situações-problema, onde os alunos podem fazer uma ligação com o seu cotidiano, desta forma, dando mais sentido e lógica para o seu estudo em sala de aula.

80 Introduzir o conceito da divisão de números inteiros. Objetivo: Manusear as fichas livremente, e em seguida utilizá-las para resolver expressões e situações-problema com os números inteiros que envolvam fatos do cotidiano. Trabalhar com a turma a divisão exata de números inteiros por um número inteiro positivo utilizando as fichas, não foi uma tarefa muito difícil, porém, a grande dificuldade da turma foi compreender a divisão exata de um número inteiro por um número inteiro negativo. Mesmo utilizando-se as fichas o processo não é tão simples. Desta forma, a divisão foi tratada como operação inversa à multiplicação e esse processo foi usado para dividir números inteiros por números inteiros negativos. Também foram utilizadas fichas como ferramenta de apoio nos cálculos. SEXTA AULA

81 a) Temos quatro fichas azuis e queremos dividi-las em dois grupos, de modo que cada grupo tenha o mesmo número de fichas, quantas fichas cada grupo vai ter? As duplas não colocaram o desenho das fichas no material de registro, mas desenvolveram os cálculos utilizando as fichas e calculando na classe. Segue abaixo a resolução das duplas. As duplas B e G colocaram a resposta por extenso Cada grupo vai ter duas fichas azuis. Analisando-se estas respostas se percebe que as duplas desenvolveram a atividade corretamente, mas não colocaram no material de registro o desenho das representações, sendo que a representação correta foi feita em suas classes.

82 b)Temos quatro fichas vermelhas e queremos dividi-las em dois grupos, de modo que cada grupo tenha o mesmo número de fichas, quantas fichas cada grupo vai ter? As duplas já começaram a apresentar algumas dúvidas, mostrando não terem muita confiança para desenvolver a atividade sem o auxílio do professor. Resolução de duas duplas: A dupla C apenas colocou o resultado -2, mas desenvolveu os cálculos com o material concreto em suas classes. A dupla G respondeu 2 fichas vermelhas. A dupla interpretou as informações e respondeu o que era pedido, não apresentando dificuldades. No primeiro momento da aula é notório que as duplas apresentaram mais dificuldades para desenvolver as questões quando se tratava de números inteiros negativos.

83 No segundo momento os alunos trabalharam com as expressões matemáticas. 2) Efetuem os seguintes cálculos: a) (+16) : (+2) = b) (-6) : (+2) = c) (+15) : (+3) = d) (-15) : (+3) = e) (+10) : (+5) = f) (-10) : (+5) = Nesta atividade, ficou a critério dos alunos utilizaram ou não o material concreto para desenvolverem os cálculos acima. Todas as duplas resolveram as operações de forma correta, não apresentaram os cálculos no material de registro, mas colocaram as respostas corretamente.

84 No decorrer desta atividade observou-se que mesmo não sendo exigido que os alunos utilizassem as fichas para efetuarem os cálculos todos utilizaram material concreto. Além das fichas alguns usaram canudos de refrigerante para realizar os cálculos e também palitos de sorvete. Desta forma, todas as duplas realizaram os cálculos corretamente, atingindo o objetivo da aula. Convém observar que ao se trabalhar com divisão de números inteiros por números negativos usa-se um resultado já conhecido, de que a operação divisão é a operação inversa da multiplicação. Na segunda etapa da divisão os alunos tiveram dificuldades para efetuarem os cálculos. As duas atividades da sequência foram resolvidas juntamente com os alunos no quadro para que eles compreendessem os passos para a resolução das operações.

85 Por exemplo, qual é o resultado da divisão de (+4) por (-2)? (+ 4) : (- 2) = a, ou seja, encontre o valor de a de modo que a x (- 2) = (+4). Para a = +2, tem-se dois grupos com duas fichas vermelhas cada (+2) x (-2) = totalizando representa o número (-4), esta não é a resposta desejada, logo o resultado da divisão não é o número +2. Ou para a = -2 desejam-se retirar dois grupos com duas fichas vermelhas cada (-2) x (-2) = totalizando que representa o número (+4), sendo esta a resposta correta.

86 Assim o que foi feito acima foi criar os zeros e a partir deles foram retirados dois grupos de fichas, sendo que cada grupo continha duas fichas vermelhas. Logo resultaram somente quatro fichas azuis que eram as esperadas no resultado. De modo análogo, ache o valor de [(- 4) : (- 2)]. a x (- 2) = (- 4), ou seja, deseja-se encontrar o valor de a que multiplicado por (-2) seja igual a (-4), ou seja, deseja-se encontrar que a x (- 2) = (-4). Existem duas possibilidades para o valor de a: Para a = -2 têm-se que retirar dois grupos com duas fichas vermelhas cada (-2) x (-2) = t otalizando que representa o número (+4), sendo que esta não é a resposta correta.

87 Assim foram criados zeros e a partir deles, retirados dois grupos sendo que cada grupo possuía duas fichas vermelhas. Logo, restaram somente quatro fichas azuis e esta não é a resposta correta. E para a = +2, têm-se dois grupos com duas fichas vermelhas cada (+2) x (-2) = totalizando que representa o número (-4), sendo a resposta certa

88 A partir destas explicações os alunos desenvolveram as operações seguintes. 3) Efetuem os seguintes cálculos: a) (+6) : (-2) = b) (-6) : (-2) = c) (+3) : (+1) = d) (-3) : (+1) = e) (-4) : (-2) = f) (+8) : (-2) = g) (+15) : (+3) = h) (-15) : (+3) = i) (+10) : (+5) = j) (-10) : (+5) = As duplas B, D e G resolveram todos os cálculos de forma correta, não apresentaram o desenvolvimento dos cálculos. Somente a dupla C não apresentou os resultados no seu material de registro, deixando as questões em branco.

89 Não se pode deixar de destacar a importância do uso do material concreto para o desenvolvimento desta aula. Desta forma o seu uso pode ser entendido de várias maneiras, pois os alunos do sétimo ano do ensino fundamental, podem não ter bem desenvolvida a capacidade de pensar sobre as coisas que não sejam apresentadas concretamente ou as quais não tiveram contato em suas experiências. Tal fato indica a importância e a necessidade de disponibilizar aos alunos uma grande variedade de materiais manipuláveis que sirvam de auxiliares para a compreensão do que estão estudando.

90 Situações-problema envolvendo a divisão. Objetivo: resolver situações-problema utilizando o material concreto como instrumento mediador. 1)Um restaurante de 6 sócios, teve um prejuízo de R$36.000,00 no fim do mês. Assim o valor que faltou foi dividido igualmente entre os sócios. Quanto cada sócio teve de pagar, para cobrir o valor que faltou? As duplas responderam, sem apresentar no material de registro, o processo que as levaram a chegar ao resultado. Todas expressaram as suas respostas de forma correta. De um modo geral responderam assim: Cada sócio teve que pagar R$6.000,00 de prejuízo. Mostrando que interpretaram as informações do problema e desenvolveram a atividade sem apresentar dificuldades. SÉTIMA AULA

91 2) Um auditório possui 23 filas com 25 assentos em cada uma delas, e uma fila com 20 assentos. Para um espetáculo nesse auditório já foram vendidos 420 ingressos. a)Quantos ingressos ainda estão à venda? b) Quanto custa cada ingresso se, com o auditório lotado a arrecadação foi de R$5.950,00? Diferentemente do problema anterior, as duplas precisaram interpretar as informações dadas e, assim, desenvolver cálculos para obterem as respostas corretas.

92 Resolução de duas duplas: A dupla B, na questão a, apenas colocou a resposta 170 ingressos. Esta resposta não esta correta, apesar de ser um resultado próximo do correto. Isso mostra que a dupla não revisou os passos para chegar à resposta final, mostrando algumas falhas nos cálculos. Na questão b, responderam O ingresso custa R$10,00, desta forma realizando a divisão corretamente. A dupla G, na questão a colocou como resposta São 155 ingressos à venda, esta resposta não é a correta, mas está bem próxima do resultado correto. Isso mostra que a dupla não revisou os passos para chegar à resposta final, e também, os alunos efetuaram erros de cálculo. Na questão b responderam O ingresso custa R$10,00, desta forma realizando a divisão corretamente para se obter o valor correto.

93 3) No momento Cívico da escola, os professores organizaram as 350 crianças em filas de 7 alunos cada uma. Quantas filas obtiveram? As duplas interpretaram corretamente todas as informações do enunciado do problema, resolveram-no corretamente, registrando como resposta: Obtiveram 50 filas.

94 4) A professora Ana organizou sua sala de aula da seguinte forma: como são 36 alunos, para as classes manterem uma distância considerável entre elas, colocou 4 fileiras iguais. Quantos alunos ficaram em cada fileira? Sobraram alunos? Faltaram? Couberam certo os alunos? As duplas não apresentaram muitas dificuldades para resolver. Resolução de duas duplas. A dupla D respondeu Ficaram 9 alunos em cada fileira, não, não, sim, mostrando desta forma que compreenderam o problema, interpretaram as informações e responderam a todos os questionamentos de forma correta. A dupla G colocou em sua resposta 9, sim, mostrando que realizaram a operação corretamente, mas não conseguiram atender a todos os questionamentos do problema.

95 A dupla B criou o seguinte problema A menina foi ao shopping e comprou 2 blusas uma custava R$20,00 e a outra R$15,00. Quanto que ela pagou pelas duas blusas? Resolução: (+20) + (+15) = 35. Ela pagou R$35,00 pelas duas blusas. A dupla C criou o seguinte problema Paula tem 23 figurinhas, ela ganhou mais 13 figurinhas de sua amiga. Quantas figurinhas Paula ficou? Resposta: Ela ficou com 36 figurinhas. Os demais problemas elaborados pelas duplas atingiram o objetivo proposto que era de elaborar um problema que envolvesse a operação de adição e resolvê-lo de modo correto. Para tanto, eles utilizaram material concreto, no caso, dinheiro falso, para facilitar a resolução dos mesmos. Percebe-se que os problemas elaborados estão relacionados a atividades do cotidiano dos alunos. Foi possível perceber que nos problemas elaborados pelas duplas que acertaram a atividade, a operação de adição foi sempre entre dois números inteiros positivos. Ninguém elaborou uma atividade de soma cujas grandezas fossem números inteiros negativos. Isso mostra que os alunos ainda têm dificuldades de trabalhar com quantidades inteiras negativas.

96 O processo de resolução das atividades propostas é mais significativo para o aluno quando apresentado na forma de situações que ele possa relacionar com o meio no qual vivem. Desta forma ele dará mais sentido e significado para o seu estudo. Partindo desta idéia ressalta-se a importância da utilização do material concreto para facilitar os cálculos e também a importância do desenvolvimento dos passos da Resolução de Problemas (POLYA, 1978) para alcançar os objetivos propostos.

97 2) Inventem um problema que faça uso somente da subtração de números inteiros e apresentem a sua solução: As dificuldades iniciais diminuíram e as duplas já tinham em mente sobre a situação que iam descrever em seus problemas. Segue abaixo os problemas elaborados pelas duas duplas com as respectivas respostas e comentários. A dupla G criou o seguinte problema Michael Jackson comprou um óculos de R$200,00 e tinha R$300,00. Quanto sobrou? Resposta: Sobrou R$100,00. A dupla montou um problema curto no qual existia a operação pedida no enunciado, apresentou a solução do mesmo atingindo o nosso objetivo.

98 A dupla D Ana comprou um carro no valor de R$32.000,00, mas ela ganhou um desconto de 10%. Quanto Ana pagou pelo carro? Resposta: Seu carro saiu por R$28.800,00. O problema elaborado pela dupla atingiu o objetivo proposto. Observa- se também que a dupla utilizou o conceito de porcentagem tornando o problema mais rico. A dupla desenvolveu a atividade corretamente e ainda expressou os seus conhecimentos sobre outros conteúdos. Também relacionou conteúdos entre si e usou-os para ligar a matemática da sala com o cotidiano.

99 3) Inventem um problema que faça uso somente da adição e subtração de números inteiros e apresentem a sua solução: A dupla B No estádio do Grêmio estavam jogando Grêmio e o Fluminense, o placar estava 3 x 0 para o Grêmio. No segundo tempo o placar estava 4 x 1. Quantos gols foi ao total no jogo? Qual o saldo de gols do Grêmio? Resposta: = 5 gols e 4 – 1 = +3, ao total foram 5 gols e o saldo de gols do Grêmio foi de 3 gols positivos. A dupla alcançou o objetivo da atividade, apresentando as duas operações pedidas no enunciado do problema e na sequência respondendo aos questionamentos feitos por eles mesmos no problema. A dupla C Bruna ganhou R$10,00 da sua mãe, e R$17,00 do seu pai, gastou R$15,00. Quanto ela ganhou? E quanto sobrou? Resposta: Ela ganhou R$27,00 e sobrou R$12,00. O problema proposto pela dupla está correto, bem como a sua resposta. A dupla também utilizou dinheiro falso como auxiliar na resolução do problema elaborado.

100 Foi possível perceber que nos problemas elaborados pelas duplas que acertaram a atividade a operação de subtração foi sempre entre dois números inteiros positivos cujo resultado continua sendo um número inteiro positivo. Isso mostra que os alunos ainda têm dificuldades de trabalhar com quantidades inteiras negativas.

101 Apresentação dos problemas criados pelos alunos. Objetivo: elaborar situações-problema e apresentá-las para a turma. NONA AULA

102 Elaborem um problema que faça uso somente da multiplicação de números inteiros e em seguida apresentem a sua solução: Seguem os problemas elaborados por duas duplas referentes à atividade A dupla D criou o seguinte problema Ganhei de mesada R$200,00, no outro dia achei na rua o quádruplo do que minha mesada. Com quanto fiquei? 200 x Resposta: Fiquei com R$1.000,00. A dupla elaborou um problema envolvendo a multiplicação e também a adição. Ela apresentou o desenvolvimento de seus cálculos corretamente em seu material de registro. A dupla C Marina comprou 13 balas e Caio comprou o sêxtuplo de balas que Marina. Quantas balas Caio comprou? Resposta: Caio comprou 78 balas. A situação-problema elaborada pela dupla está correta, a dupla fez uso somente da multiplicação e apresentou o resultado correto conforme o que se pedia no problema elaborado por eles.

103 Construam um problema que faça uso somente da divisão de números inteiros e em seguida apresentem a sua solução:. A dupla B Fabíola tinha 30 bolinhas de gude, ela dividiu suas bolinhas de gude entre 3 amigos, Quantas bolinhas de gude cada amigo de Fabíola vai ganhar? Resposta: Cada amigo de Fabíola vai ganhar 10 bolinhas de gude. O problema elaborado pela dupla atende ao que o enunciado pedia e sua resolução está correta. A dupla D criou o seguinte problema Tinha R$100,00 e tive que dividir este valor entre quatro pessoas. Com quanto cada pessoa ficou? Resposta: Cada pessoa ficou com R$25,00. O problema elaborado pela dupla atende ao que o enunciado pedia e sua resolução está correta.

104 3) Construam um problema que faça uso da multiplicação e divisão de números inteiros, e em seguida apresentem a solução: A dupla C criou o seguinte problema Lucas ganhou 10 balas, Tavares ganhou o dobro de balas de Lucas. Eles querem dividir com 4 amigos as balas. Quantas balas Tavares têm? Quanto Lucas e Tavares têm juntos? Quantas balas cada amigo ganhou? Resposta: Tavares tem 30 balas, eles tem juntos 40 balas e cada amigo ganhou 8 balas. Analisando o problema elaborado pela dupla, nele constam as operações de multiplicação e divisão, mas a dupla não soube resolvê-lo corretamente. Pelas informações fornecidas no problema Tavares tem 20 balas, ou seja, o dobro de Lucas que tem 10 balas, 2 x 10 = 20 balas, e juntos Lucas e Tavares possuem = 30 balas; se fossem dividir além dos dois com mais 4 amigos, então teriam que dividir o total de balas que são 30 entre 6 pessoas. Logo cada amigo receberia 5 balas.

105 A dupla D criou o seguinte problema Ana tinha R$565,00 e dividiu com seu irmão e com sua irmã este valor, no outro dia ela conseguiu multiplicar em 18 vezes o que valor que tinha ficado para ela. Com quanto Ana ficou dividindo o seu dinheiro com seus irmãos? E com quanto ficou quando multiplicou por 18 vezes? Resposta: Dividindo ela ficou com R$188,33 e quando multiplicou por 18 ficou R$3.389,94. A dupla elaborou um problema usando a multiplicação e a divisão como havia sido pedido no enunciado da atividade. Em seguida apresentou corretamente a resolução do problema criado por eles. Observou-se que apesar do problema apresentar somente números inteiros, na resposta do mesmo aparecem números decimais. Isso é comum quando se trabalha com a divisão não exata de números inteiros.

106 4) ELABOREM um problema que faça uso da adição, subtração, multiplicação e divisão de números inteiros, e em seguida apresentem a solução: A dupla C Tinha R$600,00 e ganhei mais R$500,00. Fui a uma loja e gastei R$100,00 com um tênis e ainda recebi o dobro do dinheiro que me restou e dividi com mais 4 pessoas. Com quanto fiquei no final de tudo isso? Resposta: Fiquei com R$400,00. A elaboração do problema envolveu as quatro operações nesta seqüência: adição, subtração, multiplicação e por fim a divisão, desta forma eles alcançaram o objetivo desta atividade e, posteriormente, resolveram o problema de forma correta, apresentando o seu resultado.

107 A dupla D criou o seguinte problema Ana tinha R$150,00, ganhou R$50,00 de sua mãe, tinha que pagar uma conta de R$50,00. Ela comprou uma camiseta e uma jaqueta por R$140,00, parcelou este valor em 2 vezes. Quanto ela pagará nas parcelas? Quanto sobrou? Resposta: Ela pagará pela R$140,00 e sobraram R$10,00. O problema elaborado pela dupla apresenta três das quatro operações pedidas no enunciado, possui a adição, subtração e a divisão, faltando somente a multiplicação. Na resolução do problema, a dupla fez confusão, pois dividindo o valor total gasto em duas vezes, o valor de cada parcela seria R$70,00 e não o valor total gasto como a dupla colocou. Já o segundo questionamento feito pela dupla estava correto, sobrando então o valor de R$10,00. Ao finalizar as das atividades da aula 9, os alunos apresentaram para a turma, explicando a forma de resolução.


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