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Jessica Kubrusly 1,4, Hélio Lopes 1,3, e Álvaro Veiga 2,3 Um Novo Modelo Probabilístico para Estimação de Reservas do Tipo IBNR 1 Departamento de Matemática.

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1 Jessica Kubrusly 1,4, Hélio Lopes 1,3, e Álvaro Veiga 2,3 Um Novo Modelo Probabilístico para Estimação de Reservas do Tipo IBNR 1 Departamento de Matemática 2 Departamento de Engenharia Elétrica 3 IAPUC 4 Bolsista FUNENSEG

2 Introdução IBNR (Incurred But Not Reported): Representa a soma de todos os sinistros ocorridos mas ainda não avisados à seguradora.

3 Alguns Trabalhos Anteriores 1934Tarbell, T. F.Incurred but not reported claim reserves Proceedings for the Casualty Actuarial Society - Part II Volume XX 1985Hertig, J.A statistical approach to ibnr-reserves in marine reinsurance ASTIN Bulletin – 15: Doray, L.G.Umvue of the ibnr reserve in a lognormal linear regression model Insurance: Mathematics and Economics AnoAutor TítuloJornal ou Revista

4 Alguns Trabalhos Anteriores 1999Herbst, T.An application of randomly truncated data models in reserving ibnr claims Insurance: Mathematics and Economics 2002England, P.D. and Verrall, R.J. Stochastic claims reserving in general insurance British Actuarial Journal, 8(3): (76) 2004De Jong, P.Forecasting General Insurance Liabilities Department of Actuarial Studies Research Series AnoAutor TítuloJornal ou Revista

5 Introdução O objetivo principal desse trabalho é apresentar um novo estimador probabilístico para a média do IBNR que leve em consideração não só os sinistros avisados como também os dados das apólices.

6 Introdução Esse método utiliza os seguintes dados de entrada: O valor total assegurado; O período de exposição; A data de ocorrência, a data de aviso e o valor do sinistro, para as apólices com sinistro.

7 O Novo Estimador - Notação = data presente N = número total de apólices Para cada apólice i, seja: Y i = o valor total assegurado; [a i, b i ] = o período de exposição; y i = o valor do sinistro; i = y i / Y i.

8 O Novo Estimador - Modelo

9

10 Então, temos que estimar: E[ i ] P(não foi avisado sinistro i | ocorreu sinistro i) P(ocorreu sinistro i)

11 O Novo Estimador - O Novo Estimador - E[ i ] Onde n= número de apólices com sinistro; Y i = valor total assegurado na i-ésima apólice; y i = valor do sinistro da i-ésima apólice.

12 O Novo Estimador - P(..|..) Onde, para a i-ésima apólice com sinistro ocorrido temos: S i = instante em que o sinistro ocorreu, S i Uniforme(a i,b i ) ; D i = tempo entre o dia da ocorrência o o dia do aviso D i Lognormal(, ).

13 O Novo Estimador - P(..|..) Por que usamos S i Uniforme? Dados dois intervalos I 1 e I 2 do mesmo tamanho espera- se que P(S i I 1 ) = P(S i I 2 ). Dessa forma, S i deve ser modelada como uma variável aleatória uniforme. Como [a i,b i ] é o período de exposição da i-ésima apólice, S i Uniform(a i,b i ).

14 O Novo Estimador - P(..|..) Por que usamos D i Lognormal? Os testes de Kolmogorov- Smirnov e Anderson-Darling mostraram que a Lognormal é a distribuição mais adequada para D i. Tabela gerada pelo Easy Fit

15 O Novo Estimador - P(..|..) Primeiro, os parâmetros da distribuição Lognormal foram estimados. Em seguida, utilizando o método de Monte Carlo, determinou-se uma estimativa para P(S i +D i > ).

16 O Novo Estimador - P(..) T i = tempo entre o início da exposição e o acontecimento de um sinistro na apólice i. T i é uma variável aleatória sem memória; T i > 0; T i exp( )

17 O Novo Estimador - P(..) será estimado pelo uso do algoritmo EM.

18 O Novo Estimador – Algoritmo O Novo Estimador – Algoritmo EM é o limite da sequencia definida por: Onde, A = conjunto dos índices das apólices com sinistro. B = conjunto dos índices das apólices sem sinistro. n a = número de elementos em A. n b = número de elementos em B.

19 O Novo Estimador

20 Resultados IBNR 1 : Chain Ladder IBNR 2 : Hertigs model IBNR 3 : Dorays UMVUE model

21 Resultados IBNR 1 IBNR 2 IBNR 3 IBNR NOVO IBNR OBSERVADO FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ

22 Resultados

23 Resultados FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ

24 Resultados Com Beta Fixo IBNR NOVO IBNR OBSERVADO FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ

25 Resultados Com Beta Fixo

26 Comentários Finais O novo estimador mostrou-se mais suave. Uma estável para o beta resulta numa estimativa estável para a reserva IBNR. Para melhores resultados seria necessário testar o novo estimador em outros bancos de dados.

27 Trabalhos Futuros Calcular a variância do novo estimador. Modificar o modelo de forma a incluir mais de um sinistro. Adaptar o modelo para o caso de seguro de vida.


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