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LOGARITMOS. QUAL É O TEMPO? Giovanna ganhou 1 000 reais de seu pai pra fazer sua festa de 15 anos. Ao receber o dinheiro, no entanto, resolveu abri mão.

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1 LOGARITMOS

2 QUAL É O TEMPO? Giovanna ganhou reais de seu pai pra fazer sua festa de 15 anos. Ao receber o dinheiro, no entanto, resolveu abri mão da festa. É que ela queria comprar um computador. Mas havia um problema: o computador que ela queria custava reais. O jeito era aplicar o dinheiro que tinha, até conseguir o valor necessário.

3 QUAL É O TEMPO? Giovanna foi ao banco e conseguiu uma taxa de 5 % ao mês, capitalizados mensalmente. Chegando em casa, ficou curiosa. Em quanto tempo os 1000 reais aplicados se transfor- mariam nos 1500 reais de que precisava? Ela havia acabado de aprender a calcular juros compostos. Fez, então, as suas contas.

4 VEJA OS CÁLCULOS Capital aplicado: C = Taxa: 5 % ao mês = 0,05 ao mês Montante pretendido: M = 1 500,00 M = C.(1 + i) t = (1,05) t 1,05 t = 1,5 Giovanna concluiu, portanto, que seu objetivo seria atingido no final do 9º mês de aplicação. 1,05 7 1,407 1,05 8 1,477 1,05 9 1,551

5 QUAL É O EXPOENTE? Como poderia ser obtido, com uma aproximação razoável e sem utilizar o método das tentativas, o valor de t na equação 1,05 t = 1,6? A teoria dos logaritmos é muito útil em problemas como esse, que envolve a determinação de um expoente.

6 HISTÓRIA A invenção dos logaritmos ocorreu no início do século XVII e é creditada ao escocês John Napier e ao suiço Jobst Burgi. Inicialmente seu objetivo era simplificar os cálculos numéricos, principalmente em problemas ligados à Astronomia e à Navegação. A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se mais simples e mais ágeis cálculos de expressões como

7 HISTÓRIA A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se mais simples e mais ágeis cálculos de expressões como 2,38 2,5 5,1 3,8. 12,4 3 O valor dessa expressão equivale ao valor de 10 2,5.log 2,38 + (1/3).log 12,4 – 3,8.log 5,1

8 HISTÓRIA Foi o matemático inglês Henry Briggs (1561 – 1631) quem propôs, inicialmente, a utilização do sistema de logaritmos decimais. Afinal, o nosso sistema de numeração utiliza justamente a base 10.

9 HISTÓRIA Atualmente, são inúmeras as aplicações tecnológicas dos logaritmos. Eles são úteis, por exemplo, na resolução de problemas que envolvem desintegração radiotiva, o crescimento de uma população de animais ou bactérias, etc.

10 TRABALHANDO COM POTÊNCIAS DE BASE 10

11 A BASE 10 Todo número positivo pode ser escrito como uma potência de base 10, ou como uma aproximação dessa potência. Veja os exemplos: 1= ,1= 10 –1 10= ,01= 10 –2 100= ,001= 10 – = ,0001= 10 – = ,00001= 10 –5

12 A BASE 10 2= 10 0,301 3= 10 0,477 7= 10 0,845 11= 10 1,041 13= 10 1,114 Na maioria dos casos, torna-se difícil escrever um número como potência de base 10. Em valores aproximados apresentamos os exemplos:

13 EXEMPLOS Usando as igualdades 2 = 10 0,301 e 3 = 10 0,477, escreva os números 4, 5 e 6 como potência de base = 2 2 = (10 0,301 ) 2 = 10 0,602 5 == = 10 1 – 0, ,301 = 10 0,699 6 = 2.3= 10 0, ,477 = 10 0, ,477 = 10 0,778

14 EXEMPLOS Usando as igualdades 2 = 10 0,301 e 3 = 10 0,477, escreva o número 60 como potência de base = = 10 0, , = 10 0, , = 10 1,778

15 EXEMPLOS Usando as igualdades 2 = 10 0,301 e 3 = 10 0,477, resolva a equação exponencial 2 x = x = 12 2 x = ( 10 0,301 ) x = (10 0,301 ) , ,301.x = 10 0, , ,301.x = 10 1,079 0,301.x = 1,079 x = 1,079 0,301 x 3,585

16 LOGARITMO COMO EXPOENTE

17 O conceito de logaritmo está associado à operação potenciação: mais precisamente à determinação do expoente. Veja: 2 x = 8 x = 3 No caso, dizemos, que o logaritmo de 8, na base 2, é igual ao expoente 3. Em símbolos, log 2 8 = 3

18 LOGARITMO COMO EXPOENTE Observe: calcular o log 2 8 é descobrir o expoente ao qual se deve elevar a base 2, para obter, como resultado, a potência 8. Vale, portanto a equivalência: log 2 8 = = 8 Calcular um logaritmo é obter um expoente. Logaritmo é o mesmo que expoente.

19 DEFINIÇÃO Suponhamos dois reais positivos a e b (a 1). Se a x = b, dizemos que x é o logaritmo de b na base a (simbolicamente log a b = x). log a b = x a x = b a é a base; b é o logaritmando ou antilogaritmo; x é o logaritmo;

20 EXEMPLOS log 5 25 = 2/3, porque 5 2/3 = 25 2 log 2 32 = 5, porque 2 5 = 32 log 3 (1/81) = –4, porque 3 –4 = 81 log 10 0,001 = –3, porque 10 –3 = 0, De acordo com a definição, calcular um logaritmo é descobrir o expoente, ou seja, resolver uma equação exponencial.

21 EXEMPLOS Calcular log 4 8. log 4 8 = x 4 x = 8 (2 2 ) x = x = 2 3 x = 3

22 EXEMPLOS Calcular log 1/ log 1/3 9 = x x = 9 5 (3 –1 ) x = 3 2/5 3 –x = 3 2/5 –x = 2/5 x = –2/5

23 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DO LOGARITMO Da definição, concluímos que o logaritmo só existe sob certas condições: log a b = x b > 0 a > 0 a 1

24 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA Analise quais seriam os significados de log 2 (–4), log (–2) 8, log 7 0, log 1 6 e log 0 2, caso fossem definidos. log 2 (–4) = x 2 x = –4impossível log –2 8 = x (–2) x = 8impossível log 7 0 = x 7 x = 0impossível log 1 6 = x 1 x = 6impossível log 0 2 = x 0 x = 2impossível

25 OBSERVAÇÃO Muitas vezes, um logaritmo envolve variáveis. Nesse caso, devemos analisar o domínio dessas variáveis. Para isso, usamos as condições de existência do logaritmo.

26 EXEMPLOS Resolver a equação log x (2x + 8) = 2. 1 o. Vamos analisar a condição de existência do logaritmo. 2x + 8 > 0 x > 0 x 1 x > –4 x > 0 x 1 x > 0 x 1 2 o. Usando a definição de logaritmo. log x (2x + 8) = 2 x 2 = 2x + 8 x 2 – 2x – 8 = 0 x = –2 ou x = 4. S = {4}

27 CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

28 Admitindo-se válidas as condições de existência dos logaritmos, temos os seguintes casos especiais, que são conseqüências da definição. log a 1 = 0 log a a = 1 log a a k = k porque a 0 = 1 porque a 1 = a porque a k = a k

29 EXEMPLOS log 3 3 = log = log 3,7 3,7 = 1 log 3 1 = log 10 1 = log 3,7 1 = 0 log = 9 log –3 = –3

30 CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO Sabemos que log a k é o expoente ao qual se deve elevar a base a para se obter k. Vale por isso, a seguinte igualdade: log a k a= k= k

31 EXEMPLOS log 5 3 5= log = log 2 6 = 2.6 = 12 log = (3 2 ) log log = = 5 2 = 25 1 – log = log = 15 3 = 5

32 SISTEMA DE LOGARITMOS

33 Sistema de logaritmos é o conjunto de todos os logaritmos numa determinada base. Entre os infinitos sistema de logaritmos, destacam-se dois: O sistema de logaritmos decimais utiliza a base 10. No cálculo de logaritmos decimais, convenciona-se não escrever a base, ou seja, log x é o mesmo que log 10 x. log x logaritmo decimal de x (base 10)

34 EXEMPLOS log 1000 = log = 3 log 0,01 = log –2 = –2 log 1 = log 10 1 = 0 log 100 = log = 2

35 SISTEMA DE LOGARITMOS O sistema de logaritmos naturais ou neperianos, utiliza, como base, o número irracional e. Esse número foi introduzido por Euler, em meados do século XVIII. Seu valor aproximado é e = 2, O logaritmo natural de um número x pode ser indicado por Ln x. Ln x logaritmo natural de x (base e)

36 EXEMPLOS Ln e = log e e = 1 Ln 10 = log e 10 2,3 Ln e 3 = log e e 3 = 3

37 OBSERVAÇÃO Chama-se co-logaritmo de a na base b (em símbolos, colog b a) o oposto do logaritmo de a na base b. colog b a = – log b a colog 2 8 = – log 2 8 = –3 colog 3 (1/9) = – log 3 (1/9) = 2

38 LOGARITMOS DECIMAIS

39 O primeiro a utilizar os logaritmos decimais foi o matemático inglês Henry Briggs ( ). Foi ele quem construiu a primeira tábua de logaritmos decimais.

40 TÁBUA DE LOGARITMOS DECIMAIS nlog nn n n , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , log 13 = 1,114 ou 10 1,114 = 13 log 35 = 1,544 ou 10 1,544 = 35

41 EXEMPLOS Calcule os logaritmos decimais a) log 10 b) log c) log d) log 10 –30 e) log 0,000001

42 EXEMPLOS Consultando a tábua de logaritmos calcule a) log 60 + log 31 – log 5 b) 10 0, ,505 – 100 0,69 c) os valores de x e y tais que 10 x = 26 e 1000 y = 15

43 EXEMPLOS Em valores aproximados, a tábua de logaritmos mostra que log 13 = 1,114 ou 10 1,114 = 13. A partir desses valores, sem uso de calculadora, obtenha os números seguintes. a) 10 2,114 ; 10 4,114 ; 10 0,114 e 100 1,557. b) log 130; log 13000; log 1,3 e log 1300 c) os valores de x e y tais que 10 x = 0,13 e 13 y = 10 3,342.

44 MUDANÇA DE BASE

45 Observe uma calculadora científica. Ela permite o cálculo apenas dos logaritmos decimais (tecla log) e dos logaritmos naturais (tecla Ln). Como obter então, numa calculadora, logaritmos em outras bases? Será possível achar, por exemplo, os valores de log 3 5 e log 7 23?

46 MUDANÇA DE BASE Na tábua de logaritmos decimais, encontramos que log = 1,362 e log 10 7 = 0,845. A partir deles, determine o valor log log = 1, ,362 = 23 log 10 7 = 0, ,845 = 7 log 7 23 = x 7 x = 23 (10 0,845 ) x = 10 1, ,845.x = 10 1,362 0,845.x = 1,362 1,362 0,845 x == 1,612 log 7 23 = log log 10 7

47 FÓRMULA DE MUDANÇA DE BASE De modo geral, podemos calcular log b a, utilizando uma outra base k arbitrária. Para isso, dividimos o logaritmo de a pelo logaritmo de b, na base k escolhida. log k a log k b Log b a =

48 EXEMPLOS Pela tecla Ln (logaritmo natural) de uma calculadora, obtemos Ln 6 = 1,792 e Ln 2 = 0,693. A partir desses valores, calcular log 2 6. log e 6 log e 2 log 2 6 = Ln 6 Ln 2 = 1,792 0,693 = = 2,586

49 EXEMPLOS Resolver a equação 5 x = 20, dados os logaritmos decimais log 5 = 0,699 e log 20 = 1, x = 20 x = log 5 20 log log 10 5 log 5 20 = log 20 log 5 = 1,301 0,699 = = 1,861

50 EXEMPLOS Se log k x = 2, calcular log x (1/k). log k (1/k) log k x log x (1/k) = –1 2 =

51 EXEMPLOS Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcular log 2 3. log 3 log 2 log 2 3 = 0,48 0,30 = 1 o. Vamos a fórmula de mudança de base. = 1,6 Observe que, log 2 3 = 1,6 2 1,6 = 3.

52 EXEMPLOS Escrevendo os logaritmos numa mesma base, obtenha o valor mais simples do produto log 2 7. Log Log 13 2 log 7 log 2. 1 o. Vamos a fórmula de mudança de base. log 13 log 7. log 2 log 13 =

53 CONSEQÜÊNCIA – MUDANÇA DE BASE Compare os valores dos log 5 25 e log Compare, também, os valores log 2 8 e log 8 2. Que conclusão se pode tirar dessas comparações? Se log x y = 3/5, calcule log y x. log 5 25 = 2 e log 25 5 = 1/2 log 2 8 = 3 e log 8 2 = 1/3 log b a = 1/log a b log y x = 5/3

54 GENERALIZANDO Como conseqüência da fórmula de mudança de base, temos: log a a log a b log b a = 1 log a b log b a =

55 PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

56 O logaritmo tem uma particularidade importante. Ele transforma operações mais complicadas em operações mais simples. Com as propriedades dos logaritmos podemos transformar: multiplicações em adições; divisões em subtrações; potenciações em multiplicações; radiciações em divisões.

57 LOGARITMO DO PRODUTO Vamos calcular o valor do log 21, a partir dos valores de log 3 = 0,477 e log 7 = 0,845. log 3 = 0, ,477 = 3 log 7 = 0, ,845 = 7 log 21 = x 10 x = x = x = 10 0, ,845 x = 0, ,845 x = 1, x = 10 0, ,845 log 21 = log (3.7) = log 3 + log 7

58 LOGARITMO DO PRODUTO De modo geral, o logaritmo do produto de dois números, numa certa base, é a soma dos logaritmos desses números, na mesma base. Log a (x.y) = log a x + log a y Para o produto de três ou mais fatores, a propriedade continua válida.

59 EXEMPLOS A partir de log 2 = 0,301 e log 13 = 1,114, calcular log 26 e log log 26 = log (2.13)= log 2 + log 13 log 26 = 0, ,114 = 1,415 log 2000 = log (2.1000)= log 2 + log 1000 log 2000 = 0, = 3,301

60 EXEMPLOS Sendo x e y reais positivos, decompor log 3 (9xy) numa soma de logaritmos. log 3 (9xy) =log log 3 x + log 3 y log 3 (9xy) =2 + log 3 x + log 3 y

61 EXEMPLOS Transformar num único logaritmo e calcular o valor da expressão log 4 + log 5 + log 50. log 4 + log 5 + log 50 = log (4.5.50) log 4 + log 5 + log 50 = log 1000= 3

62 LOGARITMO DO QUOCIENTE Vamos calcular o valor do log (3/2), a partir dos valores de log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477. log 2 = 0, ,301 = 2 log 3 = 0, ,477 = 3 log (3/2) = x 10 x = 3/2 10 x = 3 2 = 10 0, ,301 = 10 0,477 – 0,301 x = 0,477 – 0,301 x = 0,176 log (3/2) = log 3 – log 2

63 LOGARITMO DO QUOCIENTE De modo geral, o logaritmo do quociente de dois números, numa certa base, é a diferença dos logaritmos desses números, na mesma base. Log a = log a x – log a y x y

64 EXEMPLOS A partir de log 2 = 0,301 obter log 5. log 5 = log 10 2 = log 10 – log 2= 1 – 0,301 log 5 = 0,699

65 EXEMPLOS Se x e y são reais positivos, decompor em parcelas log 2 (x/4y). log 2 x 4y = log 2 x – log 2 4y = log 2 x – (log log 2 y) = log 2 x – (2 + log 2 y) = log 2 x – 2 – log 2 y = log 2 x – log 2 y – 2

66 EXEMPLOS Compor (transformar num único logaritmo) a expressão E = log m – log – log n. 1º. Vamos transformar a parcela 2 na forma de logaritmo decimal. log 100 = 2. E = log m – log 3 + log 100 – log n E = (log m + log 100) – (log 3 + log n) E = (log 100m) – (log 3n) E = log 100m 3n

67 LOGARITMO DA POTÊNCIA Vamos calcular o valor do log 3 4, a partir do valor de log 3 = 0,477. log 3 = 0, ,477 = 3 log 3 4 = x 10 x = x = (10 0,477 ) 4 x = 4. 0,477 x = 1,908 log 3 4 = 4. log 3

68 LOGARITMO DA POTÊNCIA Generalizando, o logaritmo de uma potência, é igual ao produto do expoente da potência pelo logaritmo da base. Log a x k = k. log a x

69 EXEMPLOS A partir do log 3 = 0,477, calcular log 0,009. log 0,009 = log = log 9 – log 100 = log 3 2 – 2= 2. log 3 – 2 = 2. 0,477 – 2 = 0,954 – 2= – 1,046

70 EXEMPLOS Calcular log, a partir dos valores log 2 = 0,301, log 3 = 0,477 e log 13 = 1, log = log 13 + log 3 – log 4 = log 13 + log 3 1/2 – log 2 2 = log log 3 – 2. log = 1, ,5.0,477 – 2.0,301 = 1, ,2385 – 0,601= 0,7505

71 EXEMPLOS Compor e simplificar a expressão E = 2.log 3 12 – log 3 8 – º. Vamos transformar a parcela 2 na forma de logaritmo de base 3. ( log 3 9 = 2). E = 2.log 3 12 – log log E = log – log 3 8 1/3 + log 3 9 E = log – log log 3 9 = log – log 3 (2.9) E = log – log 3 18 E = log = log 3 8

72 UTILIZANDO AS PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS COMPLETE A TABELA DE LOGARITMOS DECIMAIS A B A B + E 39 I 29 G 19 2B 9 A + G 38 2A + C 28 A + 2B 18 3A 8 K 37 3B 27 F 17 C 7 2(A+B) 36 A + E 26 4A 16 A + B 6 1–A + C 35 2(1 – A) B – A 15 1 – A 5 A + F 34 3A + B 24 A + C 14 2A 4 B + D 33 H 23 E 13 B 3 5A 32 A + D 22 2A + B 12 A 2 J 31 B + C 21 D 1101 log nn n n n

73 EXEMPLOS (FGV-RJ) A tabela abaixo fornece os valores dos logaritmos naturais (base e) dos números inteiros de 1 a 10. Ela pode ser usada para resolver a equação exponencial 3 x = 24, encontrando-se, aproximadamente, xLn xx 10,0061,79 20,6971,95 31,1082,08 41,3992,20 51,61102,30 a)2,1. b)2,3. c)2,5. d)2,7 e)2,9

74 EXEMPLOS Se log 2 = a e log 3 = b, escreva o log 2 72 em função de a e b. log 2 72 = log 72 log 2 = log log 2 = log log 3 2 log 2 = 3.log log 3 log 2 = 3a + 2b a


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